Lý thuyết Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Phương pháp giản đồ Fre – nen (mới 2024 + Bài Tập) - Vật lí 12

I. Vectơ quay

Mỗi dao động điều hòa được biểu diễn bằng một vectơ quay có đặc điểm:

+ Độ dài vectơ bằng biên độ A của dao động.

+ Tốc độ góc quay của vectơ đúng bằng tần số góc $\omega$ của dao động.

+ Góc ban đầu chính là pha ban đầu φ của dao động.

Về bản chất, biểu diễn vectơ quay không khác gì so với biểu diễn chuyển động tròn đều.

$x=A\cos \left(\omega t+\phi \right)$

II. Phương pháp giản đồ Fre – nen

- Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hòa cũng phương, cùng tần số với hai dao động đó.

- Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:

$x_1=A_1\cos \left(\omega t+{\phi }_1\right)$

$x_2=A_2\cos \left(\omega t+{\phi }_2\right),$

Ta sử dụng phương pháp giản đồ Fre – nen: Lần lượt vẽ hai vectơ quay biểu diễn hai phương trình dao động thành phần. Sau đó, vẽ vectơ tổng hợp của hai vectơ trên. Vectơ tổng là vectơ quay biểu diễn phương trình của dao động tổng hợp $x=A\cos \left(\omega t+\phi \right)$.

Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp

$\text{A}=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2{\text{A}}_1{A}_{2}cos({\phi }_2-{\phi }_1)}$

$\tan \phi =\frac{A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2}{A_{1}c\text{os}{\phi }_1+A_{2}c\text{os}{\phi }_2}$

- Một số trường hợp đặc biệt cần lưu ý:

+ Hai dao động thành phần cùng pha: $\Delta \phi ={\phi }_2-{\phi }_1=2k\pi$ với $k=0;\pm 1;\pm 2;\mathrm{...}$

Biên độ dao động tổng hợp: $A=A_1+A_2$

Ví dụ:

+ Hai dao động thành phần ngược pha: $\Delta \phi ={\phi }_2-{\phi }_1=\left(2k+1\right)\pi$ với $k=0;\pm 1;\pm 2;\mathrm{...}$

Biên độ dao động tổng hợp: $A=\left|A_1-A_2\right|$

Ví dụ:

+ Hai dao động thành phần vuông pha: $\Delta \phi ={\phi }_2-{\phi }_1=\left(2k+1\right)\frac{\pi }{2}$ với $k=0;\pm 1;\pm 2;\mathrm{...}$

Biên độ dao động tổng hợp: $\text{A}=\sqrt{A_1^2+A_2^2}$

Ví dụ:

- Trong mọi trường hợp, ta luôn có bất đẳng thức: $\left|A_1-A_2\right|\le A\le \left|A_1+A_2\right|$

Chú ý: Có thể sử dụng phép cộng lượng giác: $x=x_1+x_2$khi tổng hợp hai dao động cùng biên độ.

Trắc nghiệm Vật Lí 11 Bài 5: Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số. Phương pháp giản đồ Fre-nen

Câu 1. Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động có phương trình li độ lần lượt là $x_1=A_{1}co\text{s(}\omega \text{t + }{\phi }_1)$ và $x_2=A_{2}co\text{s(}\omega \text{t + }{\phi }_2)$. Biên độ dao động tổng hợp A được tính bằng biểu thức

A. $A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2.cos\left({\phi }_2-{\phi }_1\right)}$

B. $A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+A_1{A}_2.cos\left({\phi }_2-{\phi }_1\right)}$

C. $A=\sqrt{A_1^2+A_2^2-A_1{A}_2.cos\left({\phi }_2-{\phi }_1\right)}$

D. $A=\sqrt{A_1^2+A_2^2-2A_1{A}_2.cos\left({\phi }_2-{\phi }_1\right)}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Biên độ dao động tổng hợp A được tính bằng biểu thức:

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2.cos\left({\phi }_2-{\phi }_1\right)}$

Câu 2. Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động có phương trình li độ lần lượt là $x_1=A_{1}co\text{s(}\omega \text{t + }{\phi }_1)$ và $x_2=A_{2}co\text{s(}\omega \text{t + }{\phi }_2)$. Pha ban đầu của dao động tổng hợp được tính bằng biểu thức

A. $\tan \phi =\frac{A_{1}cos{\phi }_1+A_{2}sin{\phi }_2}{A_{2}cos{\phi }_2+A_1\sin {\phi }_1}$

B. $\tan \phi =\frac{A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2}{A_{1}cos{\phi }_1+A_{2}cos{\phi }_2}$

C. $\tan \phi =\frac{A_{1}cos{\phi }_1+A_{2}cos{\phi }_2}{A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2}$

D. $\tan \phi =\frac{A_{1}cos{\phi }_1+A_{1}sin{\phi }_1}{A_{2}cos{\phi }_2+A_2\sin {\phi }_2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Pha ban đầu của dao động tổng hợp $\tan \phi$ được tính bằng biểu thức:

$\tan \phi =\frac{A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2}{A_{1}cos{\phi }_1+A_{2}cos{\phi }_2}$

Câu 3. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=6co\text{s4}\pi \text{t\hspace{0.17em}(cm)}\\ x_2=6co\text{s}\left(\text{4}\pi \text{t}+\frac{\pi }{3}\right)\left(cm\right)\end{array}\right.$.

Dao động tổng hợp của hai dao động trên có phương trình là

A. $x=6\sqrt{3}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\left(cm\right)$.

B. $x=6\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{3}\right)\left(cm\right)$.

C. $x=6\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\left(cm\right)$.

D. $x=6\cos \left(4\pi t\right)\left(cm\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Dao động tổng hợp có dạng: $x=Aco\text{s(}\omega \text{t + }\phi \text{) (cm)}$

Ta có:

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_{2}co\text{s(}{\phi }_2-{\phi }_1)}$

$\text{ =}\sqrt{6^2+6^2+\mathrm{2.6.6.}co\text{s}\left(\frac{\pi }{3}-0\right)}=6\sqrt{3}\left(cm\right)$

$\tan \phi =\frac{A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2}{A_{1}co\text{s}{\phi }_1+A_{2}co\text{s}{\phi }_2}$

$\text{=}\frac{6.\sin 0+6.\sin \frac{\pi }{3}}{6.co\text{s}0+6.co\text{s}\frac{\pi }{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow \phi =\frac{\pi }{6}$

Vậy dao động tổng hợp của hai dao động trên là:

$x=6\sqrt{3}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\left(cm\right)$

Câu 4. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động cùng phương, cùng tần số phụ thuộc vào

A. biên độ dao động thứ nhất.

B. biên độ dao động thứ hai.

C. độ lệch pha của hai dao động thành phần.

D. Cả A, B và C đều đúng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Công thức tính biên độ tổng hợp của hai dao động cùng phương, cùng tần số là

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_{2}co\text{s(}{\phi }_2-{\phi }_1)}$

Nhìn vào công thức ta thấy được, biên độ dao động tổng hợp phụ thuộc vào cả biên độ dao động thứ nhất, biên độ dao động thứ hai và độ lệch pha của hai dao động thành phần.

Câu 5. Hai dao động là cùng pha khi

A. ${\phi }_2-{\phi }_1=n\pi$.

B. ${\phi }_2-{\phi }_1=2n\pi$.

C. ${\phi }_2-{\phi }_1=(n-1)\pi$.

D. ${\phi }_2-{\phi }_1=(2n-1)\pi$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hai dao động cùng pha khi độ lệch pha của chúng bằng số chẵn của π.

A – Sai, vì n có thể chẵn hoặc lẻ => Hai dao động có thể cùng pha hoặc ngược pha.

B – Đúng

C – Sai, vì (n – 1) có thể chẵn hoặc lẻ => Hai dao động có thể cùng pha hoặc ngược pha.

D – Sai, vì (2n – 1) là một số lẻ => hai dao động ngược pha.

Câu 6. Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc $\omega =5\pi \text{ rad/s}$, với các biên độ $A_1=\frac{\sqrt{3}}{2}cm,{\text{ A}}_2=\sqrt{3}cm$ và các pha ban đầu tương ứng ${\phi }_1=\frac{\pi }{2}$ và ${\phi }_2=\frac{5\pi }{6}$. Phương trình dao động tổng hợp của hai dao động trên là

A. x = $2,3co\text{s(5}\pi \text{t + }\pi \left)\right(cm)$.

B. x = $2,3co\text{s(5}\pi \text{t - }\pi \left)\right(cm)$.

C. x = $2,3co\text{s(5}\pi \text{t + 0,73}\pi \left)\right(cm)$.

D. x = $2,3co\text{s(5}\pi \text{t - 0,73}\pi \left)\right(cm)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Biên độ của dao động tổng hợp là:

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_{2}co\text{s(}{\phi }_2-{\phi }_1)}$

$\Rightarrow A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_{2}co\text{s(}{\phi }_2-{\phi }_1)$

$\text{= }{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2+2.\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}co\text{s}\left(\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{21}{4}$

$\Rightarrow A=2,3\left(cm\right)$

Pha ban đầu của dao động tổng hợp:

$\tan \phi =\frac{A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2}{A_{1}co\text{s}{\phi }_1+A_{2}co\text{s}{\phi }_2}$

$\text{=}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}.\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+\sqrt{3}.\sin \left(\frac{5\pi }{6}\right)}{\frac{\sqrt{3}}{2}.co\text{s}\left(\frac{\pi }{2}\right)+\sqrt{3}.co\text{s}\left(\frac{5\pi }{6}\right)}$

$\Rightarrow \phi =0,73\pi \left(rad\right)$

Vậy phương trình dao động tổng hợp là:

x = $2,3co\text{s(5}\pi \text{t + 0,73}\pi \left)\right(cm)$

Câu 7. Dùng phương pháp giản đồ Fre – nen, có thể biểu diễn được dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa

A. cùng phương, cùng biên độ.

B. cùng phương, cùng tần số.

C. khác phương, cùng tần số.

D. khác phương, khác tần số.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Dùng phương pháp giản đồ Fre – nen, có thể biểu diễn được dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số.

Câu 8. Cho hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình lần lượt là $x_1=A_{1}co\text{s}\omega \text{t}$ và $x_2=A_{2}co\text{s}\left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right)$. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động này là

A. $A_1$.

B. $A_2$.

C. $A_1+A_2$.

D. $\sqrt{A_1^2+A_2^2}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Độ lệch pha của hai dao động thành phần: $\Delta \phi =\frac{\pi }{2}$

Biên độ dao động tổng hợp:

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_{2}co\text{s(}{\phi }_2-{\phi }_1)}$

$\Rightarrow A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_{2}co\text{s(}{\phi }_2-{\phi }_1)$

$\text{= }{A}_1^2+A_2^2+2A_1{A}_{2}co\text{s}\frac{\pi }{2}$

$\Rightarrow A=\sqrt{A_1^2+A_2^2}$

Câu 9. Cho hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình lần lượt là $x_1=4co\text{s}\left(\pi t-\frac{\pi }{6}\right)\left(cm\right)$ và $x_2=4co\text{s}\left(\pi t-\frac{\pi }{2}\right)\left(cm\right)$. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động này là

A. 4 cm.

B. $4\sqrt{3}\text{ cm}$.

C. 12 cm.

D. $12\sqrt{3}\text{ cm}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Biên độ dao động tổng hợp:

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_{2}co\text{s(}{\phi }_2-{\phi }_1)}$

$\Rightarrow A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_{2}co\text{s(}{\phi }_2-{\phi }_1)$

${\text{= 4}}^2+4^2+\mathrm{2.4.4}co\text{s}\left(-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}\right)=48$

$\Rightarrow A=4\sqrt{3}cm$

Câu 10. Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và có các pha ban đầu là $\frac{\pi }{3}$ và $\frac{\pi }{6}$ (phương trình dạng cos). Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai dao động trên bằng

A. $\frac{\pi }{4}$.

B. $\frac{\pi }{8}$.

C. $\frac{2\pi }{5}$.

D. $\frac{3\pi }{7}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$\tan \phi =\frac{A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2}{A_1\cos {\phi }_1+A_2\cos {\phi }_2}=\frac{a\sin \frac{\pi }{3}+a\sin \frac{\pi }{6}}{a\cos \frac{\pi }{3}+a\cos \frac{\pi }{6}}\Rightarrow \phi =\frac{\pi }{4}$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Vật lí lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác: