Ta có:

Đặt $t={\left(2+\sqrt{3}\right)}^x \left(t>0\right)$, phương trình đã cho trở thành

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

Ta có:

Vì $t_1+t_2=4$ nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm t = 3 và t = 1.

Khi đó 

Trong 4 đáp án chỉ có B là đúng.

Đáp án cần chọn là: B.

Đặt $t=2^{x^2-2x+1}\ge 1$, phương trình đã cho trở thành $t^2-2mt+3m-2=0$ (*)

Với t = 1 ta tìm được 1 giá trị của x.

Với t > 1 ta tìm được 2 giá trị của x.

Do đó, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

$\iff$ phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Đáp án cần chọn là: D.

Đáp án đúng là B

Lời giải

Ta có:

Đặt $t=2^{x^2-2x}$. Ta có:

Khi đó phương trình trở thành (*) với $t\ge \frac{1}{2}$

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm t phân biệt thỏa mãn $t>\frac{1}{2}$

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $m\in (2;2020]$

Vậy có 2020-3+1=2018 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

*Phương pháp giải:

Cho phương trình  ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0)    (1)

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành: at² + bt + c = 0 (2)

+ Để phương trình (1) có 4 nghiệm thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

*Lý thuyết:

- Cho phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Khi đó

+ Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu: a.c < 0

+ Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu: 

( nếu là 2 nghiệm phân biệt cùng dấu ta thay ∆ ≥ 0 bởi ∆ > 0)

+ Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương: 

( nếu là 2 nghiệm phân biệt cùng dấu ta thay ∆ ≥ 0 bởi ∆ > 0)

+ Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu âm: 

( nếu là 2 nghiệm phân biệt cùng dấu ta thay ∆ ≥ 0 bởi ∆ > 0)

Xem thêm

Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp phương trình có 2 nghiệm trái dấu 

Từ các đáp án đã cho, ta thấy giá trị m = 2 không thuộc đáp án C nên ta thử m = 2 có thỏa mãn bài toán hay không sẽ loại được đáp án.

Thử với m = 2 ta được phương trình:

Do dó, phương trình có nghiệm trong khoảng (-1; 0), mà đáp án C không chứa  nên loại C.

Lại có giá trị m = 3 thuộc đáp án C nhưng không thuộc hai đáp án A và D nên nếu kiểm tra m = 3 ta có thể loại tiếp được đáp án.

Thử với m = 3 ta được phương trình:

Mà hàm số này đồng biến khi m = 3 nên $f\left(x\right)<0, \forall x\in \left(-1;0\right)$, suy ra phương trình f(x)=0 sẽ không có nghiệm trong (-1; 0), loại B.

Cuối cùng, ta thấy giá trị m = 1 thuộc đáp án A và không thuộc đáp án D nên ta sẽ thử m = 1 để loại đáp án,

Thử với m = 1 ta được phương trình:

Do đó phương trình f(x)=0 sẽ có nghiệm trong (-1; 0) nên loại D và chọn A.

Đáp án cần chọn là: A.

Ta có:

Khi đó phương trình tương đương với:

Đặt , khi đó phương trình trở thành

Đáp án cần chọn là: D.

Đặt  thì phương trình trở thành

Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng y = m phải cắt đồ thị hàm số  tại ít nhất một điểm  

Xét trên (0;1] có

Ta có:

Vậy phương trình có nghiệm nếu hay 

Đáp án cần chọn là: A.

Điều kiện: $x\ne m$

Phương trình

Lấy logarit cơ só 5 hai vế của (*), ta được:

Với 

Với

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{2;m-{\log }_{3}5\right\}$

Đáp án cần chọn là: D.

Đáp án cần chọn là: A.

Ta xét các trường hợp sau:

TH1:  thỏa mãn phương trình

TH2:  thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm

Đáp án cần chọn là: A.

Vậy

Đáp án cần chọn là: A.

Ta có:

Chia cả hai vế cho $9^x$

Đặt 

Khi đó ta có phương trình

Để phương trình (1) có nghiệm dương thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn 1.

(*) có nghiệm

Với $m\le 3$ thì (*) có nghiệm 

Để (*) có nghiệm lớn hơn 1 thì:

Mà m nguyên dương nên $m\in \left\{1;2\right\}$

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B.

Ta có:

Xét  có:

Suy ra

Xét g(x) trên đoạn [0;2] :

+ Trong khoảng (0; 1) thì  nên

hay g'(x)>0

+ Trong khoảng (1; 2) thì  nên

hay g'(x)<0

Từ đó ta có bảng biến thiên của g (x) như sau:

Từ BBT ta thấy 

Vậy yêu cầu bài toán thỏa nếu và chỉ nếu hay giá trị lớn nhất của m là 

Đáp án cần chọn là: A.

Xét hàm số:

Theo vi-et cho phương trình bậc ba ta có:

Đáp án cần chọn là: D.

Điều kiện: x > - 3

Do  nên để phương trình có nghiệm thì x > 0

Lấy logarit cơ số 2 của hai vế phương trình, ta được 

Đặt

Chia hai vế phương trình cho $5^x$, ta được 

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 1 (hàm hằng) và đồ thị hàm số (hàm số này nghịch biến vì nó là tổng của hai hàm số nghịch biến)

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất. Nhận thấy t = 1 thỏa mãn phương trình

Với  (tm)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Đáp án cần chọn là: A.

Điều kiện: 

Đặt . Ta có:

BBT:

Do đó 

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm m để phương trình (*) có nghiệm với 

Xét hàm số 

Ta có:

Dựa vào BBT ta được giá trị m cần tìm là $-41\le m\le -32$

Đáp án cần chọn là: C.

Đặt , suy ra 

Ta có: 

Phương trình trở thành

Đáp án cần chọn là: D.

Xét hàm số  trên R. Ta có:

Nên phương trình f(x)=0 có tối đa 1 nghiệm trong các khoảng $\left(-\infty ;x_0\right)$ và $\left(x_0;+\infty \right)$

Mà f(1)=f(2)=0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm x = 1 và x = 2

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 7.

Đáp án cần chọn là: A.

Ta có:

Đặt . Phương trình trở thành:

+ Dễ dàng kiểm tra u = 0 hoặc v = 0 là nghiệm của (*)

+ Với

Xét hàm  trên $R\backslash \left\{0\right\}$ ta thấy:

+ với t > 0 thì 

+ với t < 0 thì 

Do đó, f(t)>0 với mọi $t\ne 0$

Do đó phương trình  vô nghiệm

Vậy 

Hai phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt, tổng hai nghiệm ở mỗi phương trình là:

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho nhỏ nhất là: $-\frac{1}{4}$ khi $m=-\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: C.

Đặt 

với 

Theo bài ra ta có:

Ta có:

Lấy (1) nhân với 2018 rồi trừ đi (2) ta được:

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: 

Đáp án cần chọn là: B.

Điều kiện x>0

Ta đặt:

Khi đó:

Do đó phương trình có 2 nghiệm 1, 15 và tổng hai nghiệm bằng 16 là một số chính phương.

Đáp án cần chọn là: D.

Điều kiện: x > 0.

Đặt

Ta có:

Khi đó ta có phương trình đã cho trở thành:

Với

Với

Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình.

Đáp án cần chọn là: B.

Điều kiện x>0, $x\ne 1$

Đáp án cần chọn là: D.

ĐK:

Ta có:

Xét

Vì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ nên

Theo hệ thức Vi-et ta có

Ta có:

Lại có hai nghiệm của phương trình (*) là:

Thay vào điều kiện ban đầu (x-m)(x+2m)>0 ta được:

Kết hợp (1), (2) và (3) ta được: 

Đáp án cần chọn là: B.

ĐK $x>2,x\ne 4$

Ta có

Vậy tổng các nghiệm là: 

Đáp án cần chọn là: A.

Ta có:

Xét hàm số  có  hàm số đồng biến trên R.

=> phương trình (*)

Do  nên

Với mỗi giá trị y vừa tìm được đúng 1 giá trị x nguyên thỏa mãn

=> có 4 cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên.

Đáp án cần chọn là: D.

ĐKXĐ: x>0

Phương trình (*) có 3 nghiệm

Đáp án cần chọn là: C.

ĐKXĐ: cosx>0

Ta có:

Với k chẵn, đặt , khi đó ta có 

Với k lẻ, đặt , khi đó ta có 

Kiểm tra ĐKXĐ:

: thỏa mãn

 loại.

Suy ra nghiệm của phương trình là: 

Theo bài ra ta có:

=> có 1009 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Vậy phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0$ có 1009 nghiệm khoảng $\left(0;2020\mathrm{\pi }\right)$

Đáp án cần chọn là: B.

ĐKXĐ:

Ta có:

BBT:

Từ BBT suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm 

Kết hợp ĐK: . Vậy có 2015 giá trị của a thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: D.

ĐKXĐ: x > - 1

Ta có:

Dễ dàng kiểm tra x = 0 không phải nghiệm của phương trình trên.

Với $x\ne 0$, phương trình (1) 

Xét hàm số ta có: 

Nhận xét: Trên , hàm số y=ln(x+1) đồng biến, hàm số  nghịch biến.

(2) có tối đa 1 nghiệm trên $\left(1;+\infty \right)$

Mà => pt (2) có nghiệm duy nhất 

Ta có BBT của f (x) trên 2 khoảng (0; 2) và $\left(4;+\infty \right)$ như sau:

Như vậy, để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn  thì

Đáp án cần chọn là: A.

Ta có:

Đặt

Ta có:

Với x>2 ta có:

Khi đó phương trình trở thành:

Để phương trình ban đầu có nghiệm x > 2 thì phương trình (*) có nghiệm $t\in \left(0;2-\sqrt{3}\right)$

Đáp án cần chọn là: D.

Điều kiện 

Ta có:

Đặt

suy ra f(t)=1 có tối đa 1 nghiệm

Nhận thấy t = - 1 là nghiệm của phương trình

Ta có:

Do k nguyên nên k=0,1,...1008

Vậy phương trình có 1009 nghiệm

Đáp án cần chọn là: A.

Điều kiện: . Phương trình đã cho trở thành:

Xét hàm số  trên  

Do đó hàm số f (t) đồng biến trên D

Xét hàm số :  trên R có:

Dựa vào BBT ta thấy: phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi và chỉ khi:

do 

Đáp án cần chọn là: C.

ĐK: 

Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì có 2 TH:

TH1: Phương trình trên có nghiệm duy nhất: 

Tuy nhiên giá trị m = 0 loại do khi đó nghiệm là x = - 1.

TH2: Phương trình trên có 2 nghiệm thỏa: 

Nếu có , thay lại vô lí

Như vậy sẽ có các giá trị -2017;-2016;...;-1 và 4

Có 2018 giá trị

Đáp án cần chọn là: C.

Điều kiện: x > 0

Phương trình

Đáp án cần chọn là: A.

+ Cô lập m:

 với 1>x>0

+ Nhận xét đáp án: ta thấy . Loại C và D

+ Tính giới hạn của  khi x tiến dần tới 1 thì thấy y dần tiến tới 0. Loại B

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

Giả sử $x_0$ là nghiệm của phương trình  (*), thì $x_0\ne 0$ và $2x_0$ là nghiệm của (1) và $-2x_0$ là nghiệm của (2) hoặc ngược lại.

Phương trình (*) có 5 nghiệm nên hai phương trình (1), (2) có 5 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình  có 10 nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: C.

Đặt $t={\log }_{3}x$ suy ra phương trình trở thành

Để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì (*) cũng có hai nghiệm $t_1,t_2$

Phương trình (*)) có 2 nghiệm phân biệt $t_1,t_2$

Ta có:

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Suy ra $m\in \left(-1;1\right)$

Đáp án cần chọn là: C.

ĐKXĐ: x > 0

Đặt $t={\log }_{2}x$, phương trình trở thành  (*)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) cũng phải có 2 nghiệm phân biệt

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Theo bài ra ta có:

Đặt , phương trình trở thành

Vậy 

Đáp án cần chọn là: D.

Điều kiện: x > - 1.

Ta có:

Với m = 0 thì phương trình (*) có nghiệm x=-2<-1 (1) nên không thỏa bài toán

Với $m\ne 0$ thì (*) 

Xét  có

Và  nên ta có bảng biến thiên trên $\left(-1;+\infty \right)$ như sau:

Để phương trình có nghiệm $x_1,x_2$ thỏa thì 

Suy ra 

Đáp án cần chọn là: B.

Ta có:

Xét hàm số đặc trưng ta có: 

=> hàm số y=f(t) luôn đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

Do đó (*) 

Ta có:

Kết hợp điều kiện đề bài ta có: 

Xét biểu thức

Do

Vậy

Đáp án cần chọn là: C.

Đặt khi đó 

Đặt

Xét (1):

nên hàm số đồng biến trên R.

Mặt khác, f(0)=2 do đó phương trình f(a)=f(0) có 1 nghiệm duy nhất  

Suy ra:  x(vô nghiệm)

Xét (2) 

Đặt

Nên hàm số g (a) nghịch biến trên R do đó phương trình g(a)=1 có tối đa 1 nghiệm.

Mà g(a)=g(1) nên a = 1.

Suy ra  có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B.

Điều kiện:

Phương trình

Xét hàm số  với t > 0. Ta có:

Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

Nhận thấy (*) có dạng:

Đáp án cần chọn là: A.

Ta có:

Đặt 

Phương trình

Ta có:

Phương trình (**) có nghiệm 

Vậy 

Đáp án cần chọn là: C.

Ta có:

Đặt  ta có:  (do a, b, c >1)

Khi đó phương trình (*) trở thành:

TH1: y=-4x loại do x, y > 0

TH2: . Khi đó ta có: 

Đáp án cần chọn là: A.

Ta có:

Xét hàm đặc trưng  ta có:

do đó hàm số đồng biến trên $[2;+\infty )$

Lại có

Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt

Dựa vào đồ thị hàm số ta có  thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án cần chọn là: D.

Ta có:

Đặt , khi đó ta có;

Thay x, y vào (1) ta có:

Để tồn tại các số a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (2) phải có nghiệm

Vậy:

Đáp án cần chọn là: D.