30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình Logarit

Phương trình $4^{2 x + 5} = 2^{2 - x}$ có nghiệm là:

A. $- \frac{8}{5}$

B. 3

C. $\frac{8}{5}$

D. $\frac{12}{5}$

Xem đáp án

$\Leftrightarrow 2^{4 x + 10} = 2^{2 - x}$

$\Leftrightarrow 4 x + 10 = 2 - x$

$\Leftrightarrow x = \frac{- 8}{5}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

12/07/2024

Tổng các nghiệm của phương trình $3^{x^{4} - 3 x^{2}} = 81$

A. 0

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

$\Leftrightarrow x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Tổng các nghiệm sẽ bằng 0

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Giải phương trình $4^{x} = 8^{x - 1}$

A. x=−3

B. x=−2

C. x=2

D. x=3

Xem đáp án

$4^{x} = 8^{x - 1}$

$\Leftrightarrow 2^{2 x} = 2^{3 (x - 1)}$

$\Leftrightarrow 2 x = 3 (x - 1)$

$\Leftrightarrow x = 3$

Chọn D

Câu 4:

Phương trình $2^{x - 1} - 2^{x^{2} - x} = {(x - 1)}^{2}$ có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 1.

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Phương trình

$2^{x - 1} - 2^{x^{2} - x} = {(x - 1)}^{2}$

$(*)$

Xét hàm số $f' (t) = 2^{t} \ln 2 + 1 > 0, \forall t \in ℝ .$

Suy ra hàm số $ℝ .$

Nhận thấy $f (x - 1) = f (x^{2} - x)$

$\Leftrightarrow x - 1 = x^{2} - x$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất $x = 1.$

Chọn A.

Câu 5:

19/07/2024

Số nghiệm của phương trình $\log_{4} (\log_{2} x) + \log_{2} (\log_{4} x) = 2$ là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. Nhiều hơn 2.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Câu 6:

21/07/2024

Giải phương trình $\log_{4} (x + 1) + \log_{4} (x - 3) = 3$

A. x=1±2 $\sqrt{17}$

B. x=1+2 $\sqrt{17}$

C. x=33

D. x=5

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{matrix} x + 1 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow x > 3$

Ta có:

$\log_{4} (x + 1) + \log_{4} (x - 3) = 3$

$\Leftrightarrow \log_{4} (x + 1) (x - 3) = 3$

$\Leftrightarrow (x + 1) (x - 3) = 4^{3}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 67 = 0$

$= x = 1 \pm 2 \sqrt{17}$

So sánh với điều kiện nghiệm của pt là $x = 1 \pm 2 \sqrt{17}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Tổng lập phương các nghiệm của phương trình $\log_{2} x . \log_{3} (2 x - 1) = 2 \log_{2} x$ bằng:

A. 6

B. 26

C. 126

D. 216

Xem đáp án

Điều kiện: $x > \frac{1}{2}$

Phương trình đã cho

$\Leftrightarrow \log_{2} x . [\log_{3} (2 x - 1) - 2] = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \log_{2} x = 0 \\ \log_{3} (2 x - 1) = 2 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ 2 x - 1 = 9 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 (T M) \\ x = 5 (T M) \end{matrix}$

$\Rightarrow 1^{3} + 5^{3} = 126$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8:

11/07/2024

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $[0; π] .$

A. x=π

B. x= $\frac{π}{4}$

C. $x = \frac{π}{2}$

D. $x = \frac{3 π}{4}$

Xem đáp án

Phương trình

Xét hàm số $\forall t \in ℝ .$

Suy ra hàm số $ℝ .$

Nhận thấy $f (\sin^{2} x) = f (\cos^{2} x)$

$\Leftrightarrow \sin^{2} x = \cos^{2} x$

$\Leftrightarrow \cos^{2} x - \sin^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow \cos 2 x = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ .$

Vì $x \in [0; π]$

$\overset{}{\to} x = \{\frac{π}{4}; \frac{3 π}{4}\}$

$\overset{}{\to} T = \frac{π}{4} + \frac{3 π}{4} = π .$

Chọn A.

Câu 9:

Phương trình $4^{x^{2} + x} + 2^{x^{2} + x + 1} - 3 = 0$ có bao nhiêu nghiệm không âm?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Phương trình tương đương với $4^{x^{2} + x} + {2.2}^{x^{2} + x} - 3 = 0$ .

Đặt $t^{2} + 2 t - 3 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 3 (l o a i) \end{array}$

Với $2^{x^{2} + x} = 1$

$\Leftrightarrow x^{2} + x = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \end{array}$

Vậy chỉ có duy nhất nghiệm $x = 0$ là nghiệm không âm.

Chọn B.

Câu 10:

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} 2 x$ là:

B. {2;41}

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{matrix} x^{2} - 1 > 0 \\ 2 x > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow x > 1$

Với điều kiện này thì phương trình đã cho tương đương với

$x^{2} - 1 = 2 x$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{2} (t m) \\ x = 1 - \sqrt{2} (k t m) \end{matrix}$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $\{1 + \sqrt{2}\}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 11:

19/07/2024

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $[0; 3 π] .$

A. T=π

B. T= $\frac{3 π}{2}$

C. T=6π

D. T=0

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{cases} \cos x \neq 0 \\ x \in [0; 3 π] \end{cases}$

$\Leftrightarrow x \neq \{\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2}\} .$

Ta có $4^{\tan^{2} x} + 2^{\frac{1}{\cos^{2} x}} - 3 = 0$

$\Leftrightarrow {(2^{\tan^{2} x})}^{2} + 2^{\tan^{2} x + 1} - 3 = 0$

$\Leftrightarrow {(2^{\tan^{2} x})}^{2} + {2.2}^{\tan^{2} x} - 3 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{\tan^{2} x} = 1 \\ 2^{\tan^{2} x} = - 3 (l o a i) \end{array}$

$\Leftrightarrow 2^{\tan^{2} x} = 1$

$\Leftrightarrow \tan^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow x = k π, k \in ℤ .$

Vì $0 \leq x \leq 3 π$

$\overset{}{\to} x = \{0; π; 2 π; 3 π\} (thỏa mãn)$

$\overset{}{\to} T = 6 π .$

Chọn C.

Câu 12:

Tính P là tích tất cả các nghiệm của phương trình =0

A. P = 4

B. P = 2 $\sqrt{2}$

C. P = 2

D. P = 1

Xem đáp án

Điều kiện: $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x} > 0$

Phương trình đã cho

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x} = 1$

$\Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 2 - \sqrt{2} = x_{1} \\ x = 2 + \sqrt{2} = x_{2} \end{matrix}$ (tm)

$\Rightarrow P = x_{1} x_{2}$

$= (2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$

$= 4 - 2 = 2$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 13:

11/07/2024

Biết rằng phương trình

A. P = 4

B. P = $\frac{1}{4}$

C. P = 64

D. P = $\frac{1}{64}$

Xem đáp án

Câu 14:

12/07/2024

Giải phương trình $\log_{3} (2 x - 1) = 2$ , ta có nghiệm là:

A. x=15

B. x= $\frac{1}{5}$

C. x=25

D. x=5

Xem đáp án

Điều kiện: x > $\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2 x - 1 = 3^{2}$

$\Leftrightarrow 2 x = 10$

$\Leftrightarrow x = 5$ (tm)

Đáp án cần chọn là: D

Câu 15:

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} - x + 2) = 1$

A. {0}

B. {0;1}

C. {−1;0}

D. {1}

Xem đáp án

Điều kiện: $x^{2} - x + 2 > 0$ (luôn đúng với mọi x)

Khi đó phương trình tương đương:

$x^{2} - x + 2 = 2$

$\Leftrightarrow x^{2} - x = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \end{matrix}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \{0; 1\}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 16:

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình

A. T = 2

B. T = 3

C. T = $\frac{13}{4}$

D. T = $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

$\Leftrightarrow 4 - 13. {(\frac{2}{3})}^{x} + 9. {(\frac{2}{3})}^{2 x} = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} {(\frac{2}{3})}^{x} = 1 \\ {(\frac{2}{3})}^{x} = \frac{4}{9} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \end{matrix}$

$\Rightarrow T = 0 + 2 = 2$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 17:

19/07/2024

Giải phương trình $\sqrt{3^{x} + 6} = 3^{x}$ có tập nghiệm bằng:

A. {1; $\log_{3} 2$ }

B. {−2;3}

C. {1}

D. {3}

Xem đáp án

Đặt $t = 3^{x}, t > 0$

$\Rightarrow \sqrt{t + 6} = t$

$\to t + 6 = t^{2}$

$\Rightarrow [\begin{matrix} t = - 2 (l) \\ t = 3 \end{matrix}$

$t = 3 \Rightarrow 3^{x} = 3$

$\Rightarrow x = 1$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 18:

18/07/2024

Khi đặt $9^{x + 1} - 3^{x + 1} - 30 = 0$ trở thành:

Xem đáp án

Ta có: $9^{x + 1} - 3^{x + 1} - 30 = 0$

$\Leftrightarrow {9.9}^{x} - {3.3}^{x} - 30 = 0$

$\Leftrightarrow 3. {(3^{x})}^{2} - 3^{x} - 10 = 0$ (*)

Đặt $\Leftrightarrow 3 t^{2} - t - 10 = 0$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 19:

Tìm tích các nghiệm của phương trình ${(\sqrt{2} - 1)}^{x} + {(\sqrt{2} + 1)}^{x} - 2 \sqrt{2} = 0$

A. 2

B. – 1

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Đặt $t = {(\sqrt{2} - 1)}^{x} (t > 0)$ phương trình có dạng

$t + \frac{1}{t} = 2 \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow t^{2} - 2 \sqrt{2} t + 1 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} t = \sqrt{2} + 1 (t m) \\ t = \sqrt{2} - 1 (t m) \end{matrix}$

Khi đó:

$t = \sqrt{2} + 1 \Rightarrow x = - 1$

$t = \sqrt{2} - 1 \Rightarrow x = 1$

Suy ra tích các nghiệm bằng – 1.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 20:

Giải phương trình

A. x=1

Xem đáp án

$\log_{3} (x + 2) + \log_{9} {(x + 2)}^{2} = \frac{5}{4}$ (*)

ĐKXĐ: x > - 2.

$\Leftrightarrow \log_{3} (x + 2) + \log_{3} (x + 2) = \frac{5}{4}$ (*)

$\Leftrightarrow \log_{3} (x + 2) = \frac{5}{8}$

$\Leftrightarrow x + 2 = 3^{\frac{5}{8}}$

$\Leftrightarrow x = \sqrt[8]{3^{5}} - 2 (t m)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 21:

15/07/2024

Phương trình $\log_{2} (x - 3) + 2 \log_{4} 3. \log_{3} x = 2$ có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{matrix} x - 3 > 0 \\ x > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow x > 3$

Phương trình đã cho

$\log_{2} (x - 3) + 2 \log_{4} x = 2$

$\Leftrightarrow \log_{2} (x - 3) + \log_{2} x = 2$

$\Leftrightarrow \log_{2} [(x - 3) x] = 2$

$\Leftrightarrow (x - 3) x = 2^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 (l) \\ x = 4 (t m) \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 22:

17/07/2024

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $4^{x^{2}} - {5.2}^{x^{2}} + 4 = 0$ là:

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án

$4^{x^{2}} - {5.2}^{x^{2}} + 4 = 0$

$\Leftrightarrow {(2^{x^{2}})}^{2} - {5.2}^{x^{2}} + 4 = 0$

$\Leftrightarrow (2^{x^{2}} - 4) (2^{x^{2}} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 2^{x^{2}} = 4 \\ 2^{x^{2}} = 1 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x^{2} = 2 \\ x^{2} = 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \pm \sqrt{2} \\ x = 0 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 23:

Giải phương trình $\log_{2} (2^{x} - 1) . \log_{4} (2^{x + 1} - 2) = 1$ . Ta có nghiệm:

B. x=1 và x=−2

Xem đáp án

Câu 24:

Cho a, b, x là các số thực dương khác 1 thỏa : $4 \log_{a}^{2} x + 3 \log_{b}^{2} x = 8 \log_{a} x . \log_{b} x$ (1). Mệnh đề (1) tương đương với mệnh đề nào sau đây:

D. x=ab

Xem đáp án

Câu 25:

21/07/2024

Tìm m để phương trình $x \in (1; 3)$

A. −13<m<−9

B. 3<m<9

C. −9<m<3

D. −13<m<3

Xem đáp án

Đặt $t = 2^{x}; x \in (1; 3)$

$\Rightarrow t = 2^{x} \in (2; 8)$

Xét hàm số $y = t^{2} - 8 t + 3$ trên (2; 8) có:

$y' = 2 t - 8; y' = 0$

$\Leftrightarrow 2 t - 8 = 0$

$\Leftrightarrow t = 4 \in (2; 8)$

Bảng biến thiên:

Căn cứ bảng biến thiên:

Phương trình $x \in (1; 3) \Leftrightarrow - 13 < m < - 9$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 26:

11/07/2024

Tìm giá trị của tham số m để phương trình $x_{1} + x_{2} = 3$

A. m=4

B. m=1

C. m= $\frac{5}{2}$

D. m=3

Xem đáp án

Phương trình tương đương với: $3^{2 x} - 9 m {.3}^{x} + 9 m = 0$ (*)

Đặt $a^{2} - 9 m . a + 9 m = 0$

Giả sử phương trình có 2 nghiệm $3^{x_{1}}; 3^{x_{2}}$ lần lượt là nghiệm của (*)

Suy ra: $3^{x_{1}} {.3}^{x_{2}} = 9 m$

$\Leftrightarrow 3^{x_{1} + x_{2}} = 9 m$

$\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = \log_{3} 9 m = 3$

$\Rightarrow 9 m = 27 \Leftrightarrow m = 3$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 27:

17/07/2024

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình $[0; 2 π]$

A. T=π

B. T= $\frac{3 π}{4}$

C. T=2π

D. T=4π

Xem đáp án

Ta có: $5^{\sin^{2} x} + 5^{\cos^{2} x} = 2 \sqrt{5}$

$\Leftrightarrow 5^{\sin^{2} x} + 5^{1 - \sin^{2} x} = 2 \sqrt{5}$

$\Leftrightarrow 5^{\sin^{2} x} + \frac{5}{5^{\sin^{2} x}} = 2 \sqrt{5}$

$\Leftrightarrow {(5^{\sin^{2} x})}^{2} - 2 \sqrt{5} {.5}^{\sin^{2} x} + 5 = 0$

$\Leftrightarrow {(5^{\sin^{2} x} - \sqrt{5})}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow 5^{\sin^{2} x} - \sqrt{5} = 0$

$\Leftrightarrow 5^{\sin^{2} x} = 5^{\frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow \sin^{2} x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in Z$

Do $x \in [0; 2 π]$

$\Rightarrow x = \{\frac{π}{4}; \frac{3 π}{4}; \frac{5 π}{4}; \frac{7 π}{4}\}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 28:

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $2^{x + \frac{1}{4 x}} + 2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} = 4$ là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Điều kiện: $x \neq 0$

Với x < 0 ta có: $\{\begin{matrix} x + \frac{1}{4 x} < 0 \\ \frac{x}{4} + \frac{1}{x} < 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} 2^{x + \frac{1}{4 x}} < 1 \\ 2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} < 1 \end{matrix}$

$\Rightarrow 2^{x + \frac{1}{4 x}} + 2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} < 2$

$\Rightarrow$ Phương trình không có nghiệm x < 0.

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được:

$\{\begin{matrix} x + \frac{1}{4 x} \geq 2 \sqrt{x . \frac{1}{4 x}} \\ \frac{x}{4} + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{\frac{x}{4} . \frac{1}{x}} \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} 2^{x + \frac{1}{4 x}} \geq 2 \\ 2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \geq 2 \end{matrix}$

$\Rightarrow 2^{x + \frac{1}{4 x}} + 2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \geq 4$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\{\begin{matrix} x = \frac{1}{4 x} \\ x^{2} = 4 \end{matrix}$ (không xảy ra)

Vậy $2^{x + \frac{1}{4 x}} + 2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} > 4$ nên phương trình vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 29: