Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1. Do đó (I) sai.

Rõ ràng (II) đúng theo lý thuyết SGK.

Ta có $A>0,B>0$. Do đó (III) sai.

Ta có $0<a,b,c\ne 1$. Do đó (IV) sai.

Vậy chỉ có mệnh đề (II) đúng.

Chọn A.

Nếu $2\ln C=\ln \left|A\right|+\ln \left|B\right|$. Do đó (I) sai.

● Với $\left(a-1\right){\log }_{a}x\ge 0$

$\iff {\log }_{a}x\ge 0\iff x\ge 1$

● Với $\left(a-1\right){\log }_{a}x\ge 0$

$\iff {\log }_{a}x\le 0\iff x\ge 1$

Do đó (II) đúng.

Lấy lôgarit cơ số a hai vế của $M^{{\log }_{a}N}=N^{{\log }_{a}M}$, ta có

${\log }_a\left(M^{{\log }_{a}N}\right)={\log }_a\left(N^{{\log }_{a}M}\right)$

$\iff {\log }_{a}N.{\log }_{a}M={\log }_{a}M.{\log }_{a}N$                           .

Do đó (III) đúng.

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\log }_{\frac{1}{2}}x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[-{\log }_{2}x\right]$

$=-\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\log }_{2}x\right)=-\infty$

 Do đó (IV) đúng.

Vậy ta có các mệnh đề (II), (III) và (IV) đúng.

Chọn C.

Điều kiện để $0<a\ne 1,b>0$ 

Chọn C.

Để biểu thức $3-x>0\iff x<3$ 

Chọn D.

Ta có 

$\begin{array}{l}{x}^{1+\frac{1}{2{\log }_{4}x}}=x^{1+\frac{1}{{\log }_{2}x}}\\ \end{array}$

$=x^{1+{\log }_{x}2}=x^{{\log }_x\left(2x\right)}=2x$

$8^{\frac{1}{3{\log }_{x^2}2}}=2^{3.\frac{1}{3.{\log }_{x^2}2}}$

$=2^{\frac{1}{{\log }_{x^2}2}}=2^{{\log }_2{x}^2}=x^2$

Khi đó $f\left(x\right)={\left(x^2+2x+1\right)}^{\frac{1}{2}}-1$

$={\left[{\left(x+1\right)}^2\right]}^{\frac{1}{2}}-1=x.$

Suy ra $f\left(2017\right)=2017$

$\stackrel{}{\to }f\left(f\left(2017\right)\right)=f\left(2017\right)=2017.$ 

Chọn C.

Ta có: $\left(0<a\ne 1;b,c>0\right)$

$\left(0<a\ne 1;b,c>0\right)$

Chọn D

Nếu a > 1 và b > c > 0 thì ${\log }_{a}b>{\log }_{a}c$

Chọn A

Từ giả thiết, ta có

 $P=\left({\log }_{a}b+{\log }_{b}a+2\right)$

$\times ({\log }_{a}b-\frac{1}{1+{\log }_{b}a}).{\log }_{b}a-1$

$\stackrel{t={\log }_{b}a}{\to }\left(t+\frac{1}{t}+2\right)\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\right)t-1$

$=\frac{{(t+1)}^2}{t}.\frac{1}{t(t+1)}t-1$

$=\frac{t+1}{t}-1=\frac{1}{t}={\log }_{a}b.$

 Chọn D.

Vì B là trọng tâm của tam giác OAC nên

$\left\{\begin{array}{l}\frac{0+b+b}{3}=c\\ \frac{0+{\log }_{a}b+3{\log }_{a}b}{3}=2{\log }_{a}c\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}b+b=3c\\ 4{\log }_{a}b=6{\log }_{a}c\end{array}\right.$

$\iff \{\begin{array}{l}2b=3c\\ 2{\log }_{a}b=3{\log }_{a}c\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}2b=3c\\ {\log }_a{b}^2={\log }_a{c}^3\end{array}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2b=3c\\ b^2=c^3\end{array}\right.$

$\stackrel{c>0}{\to }\{\begin{array}{l}b=\frac{27}{8}\\ c=\frac{9}{4}\end{array}$

$\stackrel{}{\to }S=2b+c=9.$

Chọn A.

Ta có: $I={\log }_{\frac{a}{4}}\left(\frac{a^3}{64}\right)$

$={\log }_{\frac{a}{4}}{\left(\frac{a}{4}\right)}^3$

$=3{\log }_{\frac{a}{4}}\frac{a}{4}=3$ 

Chọn A

Ta có:

${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b;$

${\log }_{a^n}b={\log }_a\sqrt[n]{b}$ (C đúng)

Mặt khác: ${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b;$

${\log }_{b^n}a=\frac{1}{n}{\log }_{b}a$ nên các đáp án A, B, D đều sai.

Chọn C.

Ta có $S=2\ln a-\left(\ln b+\ln c\right)$

$=\ln a^2-\ln \left(bc\right)$

$=\ln \left(bc\right)-\ln \left(bc\right)=0.$ 

Chọn D.

Từ $M={\log }_{12}x={\log }_{3}y$

$\to \left\{\begin{array}{l}x={12}^M\\ y=3^M\end{array}\right.$

$\to \frac{x}{y}=4^M$

$\stackrel{}{\to }M={\log }_4\left(\frac{x}{y}\right).$ 

Chọn A.

Cách trắc nghiệm.

● Cho $M=1.$ 

Thử $x=12;y=3$ vào các đáp án thì có các đáp án A, C, D đều thỏa. Ta chưa kết luận được.

● Cho $M=2$.

Thử $x=144;y=9$ vào các đáp án thì có các đáp án A thỏa.

Nhận thấy các đáp án đều có tích xy nên ta sẽ tính tích này.

Ta có $xy={\log }_a{b}^2.{\log }_{b^2}\sqrt{c}$

$={\log }_a\sqrt{c}=\frac{1}{2}{\log }_{a}c$

$=\frac{1}{2{\log }_{c}a}$

$\stackrel{}{\to }{\log }_{c}a=\frac{1}{2xy}.$ 

Chọn C.

Chọn D.

Vì $P={\log }_b{a}^{1+2+3+\mathrm{...}+n}$

$=\left(1+2+3+\mathrm{...}+n\right).{\log }_{b}a$

.logba

Ta có: $a^{\frac{3}{4}}>a^{\frac{4}{5}}\Rightarrow 0<a<1$ 

${\log }_b\frac{1}{2}<{\log }_b\frac{2}{3}\Rightarrow b>1$

Chọn C

Ta có $M=\frac{1}{{\log }_{a}x}+\frac{1}{\frac{1}{2}{\log }_{a}x}+\frac{1}{\frac{1}{3}{\log }_{a}x}+\mathrm{...}+\frac{1}{\frac{1}{k}{\log }_{a}x}$

$=\frac{1}{{\log }_{a}x}+\frac{2}{{\log }_{a}x}+\frac{3}{{\log }_{a}x}+\mathrm{...}+\frac{k}{{\log }_{a}x}$

$=\frac{1}{{\log }_{a}x}.\left(1+2+3+\mathrm{...}+k\right)$

$=\frac{1}{{\log }_{a}x}.\frac{k(k+1)}{2}.$

Chọn C

Áp dụng công thức ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$, ta được:

$P={\log }_{2017!}2+{\log }_{2017!}3+\mathrm{...}+{\log }_{2017!}2017$

$={\log }_{2017!}\left(\mathrm{2.3.4....2017}\right)$

$={\log }_{2017!}2017!=1.$

Chọn B.

Ta có $I=\ln \left(\frac{3}{4}.\frac{4}{5}.\frac{5}{6}\mathrm{...}\frac{124}{125}\right)$

$=\ln \frac{3}{125}=\ln 3-\ln 125$

$=\ln 3-3\ln 5=a-3b.$

Chọn D.

Trong tích trên có $\ln \left(2\cos {60}^0\right)=\ln \left(2.\frac{1}{2}\right)=\ln 1=0$

 Vậy $P=0$.

Chọn D.

Xét $f\left(x\right)+f\left(1-x\right)$

$=\frac{1}{2}{\log }_2\left(\frac{2x}{1-x}\right)+\frac{1}{2}{\log }_2\left[\frac{2\left(1-x\right)}{1-\left(1-x\right)}\right]$

$=\frac{1}{2}{\log }_2\left(\frac{2x}{1-x}\right)+\frac{1}{2}{\log }_2\left[\frac{2\left(1-x\right)}{x}\right]$

$=\frac{1}{2}{\log }_2[\frac{2x}{1-x}.\frac{2\left(1-x\right)}{x}]$

$=\frac{1}{2}{\log }_{2}4=1$

Áp dụng tính chất trên, ta được

$S=\left[f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2016}{2017}\right)\right]+\mathrm{...}+\left[f\left(\frac{1008}{2017}\right)+f\left(\frac{1009}{2017}\right)\right]$

$=1+1+\mathrm{...}+1=1008.$

Chọn B.

Có: $b={\log }_{2}6=1+{\log }_{2}3$

$\Rightarrow {\log }_{2}3=b-1$ 

${\log }_{3}90={\log }_3\left(3^2\mathrm{.2.5}\right)$

$=2+{\log }_{3}2+{\log }_{3}5$

$=2+\frac{1}{{\log }_{2}3}+\frac{{\log }_{2}5}{{\log }_{2}3}$

$=2+\frac{1+{\log }_{2}5}{{\log }_{2}3}$

$=2+\frac{1+a}{b-1}$

$=\frac{a+2b-1}{b-1}$

Chọn B

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}{\log }_{a}3=2\\ {\log }_{b}3=\frac{1}{4}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{1}{{\log }_{3}a}=2\\ \frac{1}{{\log }_{3}b}=\frac{1}{4}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}{\log }_{3}a=\frac{1}{2}\\ {\log }_{3}b=4\end{array}\right.$

Tiếp tục có: $\iff {\log }_3\left(abc\right)=\frac{15}{2}$

$\iff {\log }_{3}a+{\log }_{3}b+{\log }_{3}c=\frac{15}{2}$

$\iff \frac{1}{2}+4+{\log }_{3}c=\frac{15}{2}$

$\iff {\log }_{3}c=3$

$\iff {\log }_{c}3=\frac{1}{3}$

Chọn D

Ta có: $x=\ln {\left(a^2-ab+b^2\right)}^{1000}$

$=1000\ln \left(a^2-ab+b^2\right)$

$y=1000\ln a-\ln \frac{1}{b^{1000}}$

$=1000\ln a+1000\ln b$

$=1000\ln ab$

Ta có: $a^2-ab+b^2\ge ab$

$\Rightarrow \ln \left(a^2-ab+b^2\right)\ge \ln ab$

$1000\ln \left(a^2-ab+b^2\right)\ge 1000\ln ab$

$\iff x\ge y$ 

Chọn D

Ta có:

$T=2\ln \sqrt{ex}-\ln \frac{e^2}{\sqrt{x}}+\ln 3.{\log }_{3}e{x}^2$

$=2\ln \left(e^{\frac{1}{2}}.x^{\frac{1}{2}}\right)-\left(\ln e^2-\ln x^{\frac{1}{2}}\right)+\ln 3.\frac{\ln \left(e.x^2\right)}{\ln 3}$

$=2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln x\right)-\left(2-\frac{1}{2}\ln x\right)+\ln e+2\ln x$

$=2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.2\right)-\left(2-\frac{1}{2}.2\right)+1+2.2=7$

Chọn A

Ta có $P=2{\log }_{2}x-3{\log }_{2}x+\frac{1}{2}{\log }_{2}x$

$=-\frac{1}{2}{\log }_{2}x=-\frac{1}{2}.\sqrt{2}$

$=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Chọn C.

Ta có  $A={\log }_{m}8m={\log }_{m}8+{\log }_{m}m$

$=3{\log }_{m}2+1=\frac{3}{{\log }_{2}m}+1$

$=\frac{3}{a}+1=\frac{3+a}{a}.$

Chọn D.

Ta có ${\log }_{27}{\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)}^3=\frac{3}{3}{\log }_3\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)$

$={\log }_3\sqrt{x}-{\log }_{3}y$

$=\frac{1}{2}{\log }_{3}x-{\log }_{3}y=\frac{a}{2}-b.$

Chọn B.

Ta có $A=\frac{{\log }_{5}120}{2^{{\log }_4\sqrt{2}}}=\frac{{\log }_5\left(2^3\mathrm{.5.3}\right)}{2^{\frac{1}{4}}}$

$=\frac{3{\log }_{5}2+1+{\log }_{5}3}{\sqrt[4]{2}}$

$=\frac{\frac{3}{a}+1+\frac{1}{b}}{\sqrt[4]{2}}=\frac{3b+ab+a}{\sqrt[4]{2}ab}.$

 Chọn C.

Cách 2. Dùng CASIO:

Bấm máy ${\log }_{3}5$ và lưu vào biến B.

Giả sử với đáp án A, nếu đúng thì hiệu $\frac{{\log }_{5}120}{2^{{\log }_4\sqrt{2}}}-\frac{2b+ab+a}{\sqrt[4]{2}ab}$ phải bằng 0.

Nhập vào màn hình $\frac{{\log }_{5}120}{2^{{\log }_4\sqrt{2}}}-\frac{2\text{B}+\text{AB}+\text{A}}{\sqrt[4]{2}\text{AB}}$ với A, B là các biến đã lưu và nhấn dấu =.

Màn hình xuất hiện số khác 0. Do đó đáp án A không thỏa mãn.

Thử lần lượt và ta chọn được đáp án đúng là C.