Lời giải

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành

+ Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau

+ Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ngoài ra còn có

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau

+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi

Lời giải

+ Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi

+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi

+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi

Nên A, C, D đúng, B sai

Lời giải

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành:

+ Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau.

+ Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ngoài ra còn có:

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau

+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi

Lời giải

+ Tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường là hình thoi

+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi

Nên tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau là hình thoi

Lời giải

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi nên A đúng.

Lời giải

Gọi cạnh của hình thoi là a cm (a > 0)

Vì hình thoi có 4 cạnh bằng nhau nên chu vi hình thoi

là 4a = 20 $\iff$ a = 5cm

Vậy cạnh hình thoi có độ dài là 5cm

Lời giải

Hình 1 là hình thoi vì có hai đường cheo giao nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau

Hình 2 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau

Hình 3 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau

Lời giải

Gọi cạnh của hình thoi là a cm (a > 0)

Vì hình thoi có 4 cạnh bằng nhau nên chu vi hình thoi

là 4a = 36 $\iff$ a = 9cm

Vậy cạnh hình thoi có độ dài là 9cm

Lời giải

Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H

và AC =10cm, BD = 24cm

Do ABCD là hình thoi nên:

AC ⊥ BD;

AH = $\frac{1}{2}$AC =$\frac{1}{2}$ .10 = 5 (cm);

HB = $\frac{1}{2}$BD =$\frac{1}{2}$ .24 = 12 (cm)

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

AB² = AH² + HB²

= 5² + 12² = 25 + 144 = 169

Suy ra AB = 13cm

Lời giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC ⊥ BD

(do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được:

AB = AD, $\hat{B} =\hat{D}$; BE = DF

Từ đó suy ra ΔABE = ΔADF (c.g.c)

Suy ra $\widehat{A_1} =\widehat{A_4}$ (hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của $\hat{A}$ => $\widehat{A_2} =\widehat{A_3}$ (1)

Do đó AO là phân giác của $\widehat{HAG}$.

Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A.

Suy ra HO = OG (2)

Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi.

Lời giải

Vì OC = 4; OH = 3 nên

CH = $\sqrt{O{H}^2+O{C}^2} =\sqrt{3^2+4^2}$ (định lý Pytago)

Vì AHCG là hình thoi (theo câu trước) nên chu vi tứ giác AHCG

bằng 4.CH = 4.5 = 20cm.

Lời giải

Vì chu vi hinh thoi là 16cm nên cạnh hình thoi có độ dài 16 : 4 = 4cm.

Suy ra AD = 4cm

Xét tam giác AHD vuông tại H có 

Lời giải

Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC =12cm, BD = 16cm

Do ABCD là hình thoi nên:

AC ⊥ BD;

AH = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$.12 = 6 (cm);

HB =$\frac{1}{2}$ BD = $\frac{1}{2}$.16 = 8 (cm)

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

AB² = AH² + HB² = 6² + 8²

= 36 + 64 = 100

Suy ra AB = 10cm

Lời giải

Vì M’ đối xứng M qua D nên DM = DM’ (1)

M, D lần lượt là trung điểm của BC, AB nên MD là đường trung bình của ΔABC.

Suy ra MD // AC (2)

Mặt khác ΔABC vuông ở A nên AB ⊥ AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra DM ⊥ AB

=> MM’ ⊥ AB.

Vì D là trung điểm của AB (gt) và D là trung điểm của MM’

nên tứ giác AMBM’ là hình bình hành. Mặt khác MM’ ⊥ AB nên AMBM’ là hình thoi.

Lời giải

Lời giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét tứ giác EDFB có $\left\{\begin{array}{l}ED//FB\\ ED=FB(=\frac{1}{2}AD)\end{array}\right.$ nên EDFB là hình bình hành suy ra $\left\{\begin{array}{l}BE=DF\\ BE//DF\end{array}\right.$ 

Xét tam giác ABD có P là giao điểm hai đường trung tuyến

nên P là trọng tâm ΔABD

=> EP = $\frac{1}{3}$BE

Xét tam giác CBD có Q là giao điểm hai đường trung tuyến nên Q là

trọng tâm ΔCBD

=> QF =$\frac{1}{3}$ DF

Mà BE = DF (cmt) => EP = QF

Xét tứ giác EPFQ có $\left\{\begin{array}{l}EP=QF\\ EP//QF\end{array}\right.$ 

 => EPQF là hình bình hành

Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì EF ⊥ PQ.

Mà EF // CD (do E là trung điểm AD, F là trung điểm BC)

Nên PQ ⊥ CD hay AC ⊥ CD

=> $\widehat{ACD}$ = 90⁰.

Lời giải

+ Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình

nên MN // AC; MN = $\frac{1}{2}$AC (1)

Tương tự ta có PQ là đường trung bình tam giác ADC

nên PQ // AC; PQ =$\frac{1}{2}$ AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ; MN = PQ

=> MNPQ là hình bình hành

Để hình bình hành MNPQ là hình thoi ta cần có MN = MQ

Mà MN = $\frac{1}{2}$AC (cmt); MQ = $\frac{1}{2}$BD (do MQ là đường trung bình tam giác ABD)

Suy ra AC = BD

Vậy để hình bình hành MNPQ là hình thoi thì AC = BD

Lời giải

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC nên EF là đường trung bình của ΔABC. Suy ra EF // AC và EF = $\frac{1}{2}$AC. (1)

Tương tự ta có: HG // AC và HG =$\frac{1}{2}$ AC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành.

Muốn cho tứ giác EFGH là hình thoi thì nó cần phải có thêm hai cạnh kề bằng nhau.

Nên EH = EF $\iff$ AC = BD

Lời giải

Từ giả thiết ta có: KM, IM, IN, KN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BCD, CAB, ADC, DBA (định nghĩa đường trung bình).

Đặt BA = CD = 2a.

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

MK = $\frac{1}{2}$CD = a; IM = $\frac{1}{2}$AB = a;

NI = $\frac{1}{2}$CD = a; KN = $\frac{1}{2}$BA = a

Suy ra MK = KN = NI = IM.

Tứ giác KMIN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi KMIN ta được: MN ⊥ KI;

MN là đường phân giác $\widehat{KMI}$ .

Lời giải

Gọi G, H lần lượt là trung điểm của AC, BD.

Vì E, G lần lượt là trung điểm của AB, AC nên EG là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra EG = $\frac{1}{2}$BC, EG // BC.

Chứng minh tương tự ta cũng có:

GF =$\frac{1}{2}$ AD, FH = $\frac{1}{2}$BC, HE = $\frac{1}{2}$AD;

GF // AD; FH // BC; HE // AD

Mà AD = BC (gt),

nên EG = GF = FH = HE

Suy ra: tứ giác EGFH là hình thoi.

Suy ra EF là tia phân giác của góc  

Lời giải

Từ giả thiết ta có MP, NP, NQ, QM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BDE, ECD, DCB, BEC (định nghĩa đường trung bình).

Đặt BD = CE = 2a

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

MP = $\frac{1}{2}$BD = a; NQ = $\frac{1}{2}$BD = a;

NP = $\frac{1}{2}$CE = a; MQ = $\frac{1}{2}$CE = a.

Suy ra MN = NP = PQ = QM

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi MNPQ ta được: MN ⊥ PQ

Lời giải

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến canh CD. Từ giả thiết ta có: AH ⊥ DC, CH = HD suy ra AH là đường trung trực của đoạn CD nên AC = CD. (1)

Do ABCD là hình thoi nên AD = CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD =CD = AC nên tam giác ACD là tam giác đều,

do đó  $\hat{D}$= 60⁰.

Vì góc A và góc D là hai góc trong cùng phía của AB // CD nên chúng bù nhau

hay 180⁰ – 60⁰ = 120⁰.

Áp dụng tính chất về góc vào hình thoi ta được:

$\widehat{B }=\hat{D}$ = 60⁰, $\widehat{A }=\hat{C}$  = 120⁰

Lời giải

Tam giác EAM vuông tại E, EI là đường trung tuyến nên: EI = IM = IA = $\frac{1}{2}$AM.

Từ EI = IA suy ra tam giác IAE cân tại I, từ đó có:

$\widehat{EIM }=2\widehat{EAI}$ (góc ngoài của tam giác).

Chứng minh tương tự với tam giác vuông ADM ta có:

$\widehat{MID}$ = 2$\widehat{IAD}$, DI = $\frac{1}{2}$AM.

Do đó: EI = DI ( = $\frac{1}{2}$AM);  

Tam giác IED cân (vì EI = DI) có: $\widehat{EID}$ = 60⁰ nên là tam giác đều, từ đó EI = ED = ID.

Tương tự tam giác IDF đều suy ra: ID = DF = IF.

Do đó EI = ED = DF = IF. Suy ra tứ giác EIFD là hình thoi.

Suy ra K là trung điểm chung của EF và ID.

Gọi N là trung điểm của AH.

Tam giác ABC đều có H là trực tâm của tam giác ABC nên H cũng là trọng tâm tam giác.

Do đó AN = NH = HD.

Ta có: MH // IN (vì IN là đường trung bình của tam giác AMH)

và KH // IN (vì KH là đường trung bình của tam giác DIN).

Từ H ta chỉ vẽ được một đường thẳng song song với IN (tiên đề Ơ – clit)

nên M, H, K thẳng hang.

Vậy D sai vì ID = IF.