Gọi cạnh của hình thoi là a cm (a > 0)

Vì hình thoi có 4 cạnh bằng nhau nên chu vi hình thoi là 4a = 20  a = 5cm

Vậy cạnh hình thoi có độ dài là 5cm

Đáp án cần chọn là: B

Gọi cạnh của hình thoi là a cm (a > 0)

Vì hình thoi có 4 cạnh bằng nhau nên chu vi hình thoi là 4a = 36  a = 9cm

Vậy cạnh hình thoi có độ dài là 9cm

Đáp án cần chọn là: C

+ Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // AC; MN = $\frac{1}{2}$AC (1)

Tương tự ta có PQ là đường trung bình tam giác ADC nên PQ // AC; PQ = $\frac{1}{2}$AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ; MN = PQ => MNPQ là hình bình hành

Để hình bình hành MNPQ là hình thoi ta cần có MN = MQ

Mà MN = $\frac{1}{2}$AC (cmt); MQ = $\frac{1}{2}$BD (do MQ là đường trung bình tam giác ABD)

Suy ra AC = BD

Vậy để hình bình hành MNPQ là hình thoi thì AC = BD

Đáp án cần chọn là: D

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét tứ giác EDFB có $\left\{\begin{array}{l}ED//FB\\ ED=FB=\frac{1}{2}AD\end{array}\right.$

nên EDFB là hình bình hành

suy ra $\left\{\begin{array}{l}BE=DF\\ BE//DF\end{array}\right.$

Xét tam giác ABD có P là giao điểm hai đường trung tuyến nên P là trọng tâm ΔABD => EP = $\frac{1}{3}$BE

Xét tam giác CBD có Q là giao điểm hai đường trung tuyến nên Q là trọng tâm ΔCBD => QF = $\frac{1}{3}$DF

Mà BE = DF (cmt) => EP = QF

Xét tứ giác EPFQ có $\left\{\begin{array}{l}EP=QF\\ EP//QF\end{array}\right.$

 => EPQF là hình bình hành

Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì EF ⊥ PQ.

Mà EF // CD (do E là trung điểm AD, F là trung điểm BC)

Nên PQ ⊥ CD hay AC ⊥ CD => $\widehat{ACD}$ = 90⁰.

Đáp án cần chọn là: B

Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC =10cm, BD = 24cm

Do ABCD là hình thoi nên:

AC ⊥ BD; AH = $\frac{1}{2}$AC = 5 (cm); HB = $\frac{1}{2}$BD = 12 (cm)

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

AB² = AH² + HB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169

Suy ra AB = 13cm

Đáp án cần chọn là: B

Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC =12cm, BD = 16cm

Do ABCD là hình thoi nên:

AC ⊥ BD; AH = $\frac{1}{2}$AC = 6 (cm); HB = $\frac{1}{2}$BD = 8 (cm)

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

AB² = AH² + HB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

Suy ra AB = 10cm

Đáp án cần chọn là: D

Vì M’ đối xứng M qua D nên DM = DM’ (1)

M, D lần lượt là trung điểm của BC, AB nên MD là đường trung bình của ΔABC.

Suy ra MD // AC (2)

Mặt khác ΔABC vuông ở A nên AB ⊥ AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra DM ⊥ AB => MM’ ⊥ AB.

Vì D là trung điểm của AB (gt) và D là trung điểm của MM’ nên tứ giác AMBM’ là hình bình hành. Mặt khác MM’ ⊥ AB nên AMBM’ là hình thoi.

Đáp án cần chọn là: A

Vì BC = 4cm nên BM = $\frac{BC}{2}$ = 2cm

Chu vi tứ giác AMBM’ bằng 4.BM = 4.2 = 8cm

Đáp án cần chọn là: D

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC ⊥ BD (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được:

AB = AD, $\hat{B}=\hat{D}$; BE = DF

Từ đó suy ra ΔABE = ΔADF (c.g.c)

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_4}$ (hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của $\hat{A}$ 

=> $\widehat{A_2}=\widehat{A_3}$ (1)

Do đó AO là phân giác của $\widehat{HAG}$

Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A.

Suy ra HO = OG (2)

Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi.

Đáp án cần chọn là: A

Vì OC = 4; OH = 3

nên CH = $\sqrt{O{H}^2+O{C}^2}=5$ (định lý Pytago)

Vì AHCG là hình thoi (theo câu trước) nên chu vi tứ giác AHCG bằng 4.CH = 4.5 = 20cm.

Đáp án cần chọn là: A

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC nên EF là đường trung bình của ΔABC.

Suy ra EF // AC và EF = $\frac{1}{2}$AC (1)

Tương tự ta có: HG // AC và HG = $\frac{1}{2}$AC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành.

Muốn cho tứ giác EFGH là hình thoi thì nó cần phải có thêm hai cạnh kề bằng nhau.

Nên EH = EF => AC = BD

Đáp án cần chọn là: A

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến canh CD. Từ giả thiết ta có: AH ⊥ DC, CH = HD suy ra AH là đường trung trực của đoạn CD nên AC = CD. (1)

Do ABCD là hình thoi nên AD = CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD =CD = AC nên tam giác ACD là tam giác đều, do đó $\hat{D}$ = 60⁰.

Vì góc A và góc D là hai góc trong cùng phía của AB // CD nên chúng bù nhau hay $\hat{A}$ = 80⁰ – 60⁰ = 120⁰.

Áp dụng tính chất về góc vào hình thoi ta được: $\hat{B}=\hat{D}$ = 60⁰,  $\hat{A}=\hat{C}$ = 120⁰

Đáp án cần chọn là: D