+ Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất).

Mà AE = BF = CG = DH (gt) nên AB – AE = BC – BF = CD – CG = DA – DH hay DG = CF = EB = AH

Từ đó suy ra ΔAHE = ΔDGH = ΔCFG = ΔEBF (c-g-c) nên HG = GF = HE = EF.

Vì HG = GF = HE = EF nên tứ giác EFGH là hình thoi.

Hình vuông có 4 cạnh bằng nhau nên chu vi hình vuông bằng 4a. (a là độ dài một cạnh)

Từ giả thiết ta có 4a = 28 => a = 7cm.

Vậy cạnh hình vuông là a = 7cm

Đáp án cần chọn là: B

Hình vuông có 4 cạnh bằng nhau nên chu vi hình vuông bằng 4a. (a là độ dài một cạnh)

Từ giả thiết ta có 4a = 32 nên a = 8cm.

Vậy cạnh hình vuông là a = 8cm

Đáp án cần chọn là: D

Gọi hình vuông ABCD có chu vi là 16cm. Khi đó 4.AB = 16cm

=> AB = 4cm = AB = CD = DA

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Pytago ta có

AB² + BC² = AC² => AC² = 4² + 4² => AC² = 32

Vậy bình phương độ dài một đường chéo là: 32

Đáp án cần chọn là: A

Gọi hình vuông ABCD có chu vi là 20cm. Khi đó 4.AB = 20cm

=> AB = 5cm = AB = CD = DA

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Pytago ta có

AB² + BC² = AC² => AC² = 5² + 5² => AC² = 50

Vậy bình phương độ dài một đường chéo là: 50

Đáp án cần chọn là: B

Tứ giác AFME có: $\widehat{AFM}=\hat{A}=\widehat{AEM}$ = 90⁰ nên AEMF là hình chữ nhật

Để hình chữ nhật AEMF là hình vuông thì AM là phân giác

Mà ta lại có: AC là phân giác $\widehat{DAB}$ (do ABCD là hình vuông)

Nên suy ra M Є AC.

Đáp án cần chọn là: A

Hình chữ nhật AMNP là hình vuông ó AM = AP

Mà AM = $\frac{1}{2}$AB; AP = $\frac{1}{2}$AC (gt) nên AM = AP => AB = AC

Vậy nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì hình chữ nhật AMNP là hình vuông.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: ΔABC vuông cân tại A nên $\hat{B}=\hat{C}=\frac{{180}^0-A}{2}={45}^0$ 

Xét tam giác vuông FGC có  $\widehat{GFC}$ = 180⁰ - $\widehat{FGC}$ = 180⁰ – 90⁰ – 45⁰ = 45⁰

=> $\widehat{GFC}$ = $\hat{C}$

Suy ra ΔFGC là tam giác vuông cân tại G => FG = GC

Chứng minh tương tự:

Xét tam giác vuông EHB có $\widehat{BEH}$ = 180⁰ - $\widehat{EBH}$ - $\hat{B}$ = 180⁰ – 90⁰ – 45⁰ = 45⁰

=> $\widehat{BEH} = \hat{B}$

Suy ra tam giác EBH vuông cân tại H => EH = HB

Mà BH = HG = GC (gt) nên FG = EH = HG

Lại có:  => EFGH là hình bình hành (dhnb)

Mà $\hat{H}$ = 90⁰ (do EH ⊥ BC) nên hình bình hành EFGH là hình chứ nhật

Mặt khác EH = HG (cmt) nên hình chữ nhật EFGH là hình vuông.

Đáp án cần chọn là: D

Vì FG = EH = HG nên HG = $\frac{BC}{3}$= 4 cm

Do đó chu vi hình vuông EFGH là 4.HG = 4.3 = 12 cm

Đáp án cần chọn là: A

+ Tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao.

=> AM ⊥ BC => $\widehat{AMC}$ = 90⁰

Xét tứ giác AMCK có: $\left\{\begin{array}{l}AI=IC \left(gt\right)\\ MI=IK\left(gt\right)\\ AC\cap MK=I\left(gt\right)\end{array}\right.$

Suy ra tứ giác AMCK là hình bình hành (dhnb)

Lại có $\widehat{AMC}$ = 90⁰ (cmt) nên hình bình hành AMCK là hình chữ nhật.

+ Ta có: AK // MC (do AMCK là hình chữ nhật), M Є BC (gt) => AK // BM

Mà BM = MC (do AM là trung tuyến), AK = MC (do AMCK là hình chữ nhật) nên AK – BM (tính chất bắc cầu)

Xét tứ giác ABMK có: $\left\{\begin{array}{l}AK=BM \left(cmt\right)\\ AK//BM\left(cmt\right)\end{array}\right.$

Suy ra tứ giác ABMK là hình bình hành.

Đáp án cần chọn là: C

Hình chữ nhật AMCK là hình vuông => AM = MC

Mà MC = $\frac{1}{2}$BC (gt) nên AM = MC => AM = $\frac{1}{2}$BC

Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AM =  BC

=> tam giác ABC vuông tại A.

Vậy nếu tam giác ABC vuông cận tại A thì tứ giác AMCK là hình vuông

Đáp án cần chọn là: A

Vì MD //AB; ME // AC mà AB ⊥ AC nên MD ⊥  AC; ME ⊥  AB.

Suy ra $\hat{A}=\widehat{MDA}=\widehat{MEA}$ = 90⁰ nên tứ giác DMEA là hình chữ nhật

Đáp án cần chọn là: A

Hình chữ nhật ADME là hình vuông => AM là phân giác $\widehat{DAE}$.

Hay AM là phân giác góc BAC.

Đáp án cần chọn là: A