Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(180^\circ = \pi \) (rad) \( \Rightarrow 105^\circ = \frac{{105}}{{180}}\pi = \frac{{7\pi }}{{12}}\)(rad).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì \(\gamma = \alpha + 2\pi \) nên \(\alpha \) và \(\gamma \) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

Vì \(\alpha = \delta + 2\pi \) nên \(\alpha \) và \(\delta \) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

Vậy \(\alpha ,\gamma ,\delta \) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

Ngoài ra, \(\alpha + \pi = \beta \) nên điểm biểu diễn \(\alpha \) và điểm biểu diễn \(\beta \) đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.

Ở hình vẽ bên, điểm \(B\) biểu diễn các góc \(\alpha ,\gamma ,\delta \) trên đường tròn lượng giác.

Điểm \(B'\) biểu diễn góc \(\beta \) trên đường tròn lượng giác.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:  với \(k \in \mathbb{Z}\), nên \(Ou\) và \(Ov\) là hai tia đối nhau. (hình vẽ dưới đây)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

\(\cos \left( {2\alpha } \right) = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = {v^2} - {u^2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({\rm{sin}}\left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha .{\rm{cos}}\beta + {\rm{cos}}\alpha {\rm{.sin}}\beta \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

\[S = \sqrt 3 \sin x + \cos x = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x} \right)\]

\[ = 2\left( {\cos \frac{\pi }{6} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi }{6} \cdot \cos x} \right) = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(0 < \sin \alpha < 1\) và \(0 < \cos \alpha < 1\).

Ta có: \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{{15}}{{16}} \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) (vì \(0 < \sin \alpha < 1\)).

Do đó \[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt {15} }}{4}}}{{\frac{1}{4}}} = \sqrt {15} \].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn vì tập xác định của \(y = \cos x\) là \(\mathbb{R}\) và \[\cos \left( { - x} \right) = \cos x.\]

Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ vì tập xác định của \(y = \sin x\) là \(\mathbb{R}\) và \[\sin \left( { - x} \right) = - \sin x.\]

Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ vì tập xác định của \(y = \sin x\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\) và \[\tan \left( { - x} \right) = - \tan x\].

Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ vì tập xác định của \(y = \cot x\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\) và \[\cot \left( { - x} \right) = - \cot x\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\), do đó hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\). Do \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right) \subset \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên C là đáp án đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tập xác định của hàm số \(y = \tan x\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Chu kì hàm số \(y = {\rm{cos}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) là: \(T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow - \sqrt 5 \le \sqrt 5 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 5 \).

Dấu  của \(\sqrt 5 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 5 \) xảy ra khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt 5 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) là \(\sqrt 5 \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\sin \left( {4x} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x = k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{4},k \in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\[\begin{array}{l}\sqrt 2 \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\end{array}\].

Nhận thấy điểm biểu diễn \[\frac{\pi }{4} + k2\pi \] trên đường tròn lượng giác là điểm \(B\), điểm biểu diễn \[\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \] trên lượng giác là điểm \(D\).

Do đó điểm \(B\) và điểm \(D\) là các điểm biểu diễn nghiệm của phương trình \[\sqrt 2 \sin x - 1 = 0\] trên đường tròn lượng giác.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\[\begin{array}{l}{\rm{cos}}\left( {\frac{x}{2}} \right) = \cos \left( {135^\circ - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = 135^\circ - x + k360^\circ \\\frac{x}{2} = x - 135^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} = 135^\circ + k360^\circ \\\frac{x}{2} = 135^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 90^\circ + k240^\circ \\x - = 270^\circ + k720^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \/{90^\circ + k240^\circ ;270^\circ + k720^\circ ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình \[2\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\].

Vì \(x \in \left[ {0;3\pi } \right]\) nên ta có:

\(0 \le \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le 3\pi \Leftrightarrow - \frac{{2\pi }}{3} \le k2\pi \le \frac{{7\pi }}{3} \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le k \le \frac{7}{6}\)

\( \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\)) \( \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{8\pi }}{3}} \right\}\).

\(0 \le - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le 3\pi \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3} \le k2\pi \le \frac{{11\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le k \le \frac{{11}}{6}\)

\( \Rightarrow k = 1\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\))\( \Rightarrow x = \frac{{4\pi }}{3}\).

Vậy phương trình có 3 nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;3\pi } \right]\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình \(2\sin x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) nên ta có:

\(0 \le \frac{\pi }{3} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow - \frac{\pi }{3} \le k2\pi \le \frac{{13\pi }}{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{6} \le k \le \frac{{13}}{{12}}\)

\( \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\)) \( \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{7\pi }}{3}} \right\}\).

\(0 \le \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow - \frac{{2\pi }}{3} \le k2\pi \le \frac{{11\pi }}{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le k \le \frac{{11}}{{12}}\)

\( \Rightarrow k = 0\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\)) \( \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3}\).

Vậy tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) của phương trình là: \(\frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{7\pi }}{3} = \frac{{10\pi }}{3}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Dãy các số tự nhiên không chia hết cho 3 xác định trên \({\mathbb{N}^*}\) nên là một dãy vô hạn.

Ngoài ra:

Dãy các số tự nhiên có tận cùng là 5 nhỏ hơn 30 là dãy số: 5; 15; 25.

Dãy các số chính phương lẻ nhỏ hơn 100 xác định trên tập 1; 9; 25; 49; 81.

Dãy các số tự nhiên chẵn có nhỏ hơn 20 xác định trên tập 2; 4; 6; 8;…; 18.

Các dãy số này đều có hữu hạn số hạng, do đó dãy số này là dãy hữu hạn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là: 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95 \( \Rightarrow \) có 18 số hạng.

Cách khác:

Số lượng số hạng của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là: \(\frac{{95 - 10}}{5} + 1 = 18\) (số hạng).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[{u_3} = {u_1} + {u_2} = 3\], \({u_4} = {u_3} + {u_2} = 3 + 2 = 5\), \({u_5} = 5 + 3 = 8\), \({u_6} = {u_5} + {u_4} = 8 + 5 = 13\).

Vậy giá trị của \({u_6}\) là 13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 2n + 1\), ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) + 1 - \left( {2n + 1} \right) = 2 > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\), do đó dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy tăng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 7 + 2\left( {n - 1} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) hay \({u_n} = 5 - 3\left( {n - 1} \right)\). Khi đó \({u_7} = 5 - 3\left( {7 - 1} \right) = - 13\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: \({u_{10}} = {u_1} + 9d \Rightarrow d = \frac{{{u_{10}} - {u_1}}}{9} = \frac{{30 - 3}}{9} = 3\). Vậy \(d = 3\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Công thức tính tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng: \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\).

Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left( {2.10 + 14.2} \right) = 360\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Công bội của cấp số nhân là: \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = ... = 2\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Công bội của cấp số nhân là: \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2\).

Công thức tổng quát của cấp số nhân đó là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {5.2^{n - 1}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^n} - 1} \right)\).

\( \Rightarrow 3\left( {{2^n} - 1} \right) = 3069 \Leftrightarrow {2^n} = 1024 \Rightarrow n = 10\). Vậy \(n = 10\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Sau năm thứ nhất, trữ lượng gỗ của cánh rừng là:

\({8.10^5} + {8.10^5}.4,5\% = {8.10^5}.1,045 = 8,{36.10^5}\)(m³)

Từ năm thứ nhất trở đi, trữ lượng gỗ (đơn vị \({m^3}\)) của cánh rừng là một cấp số nhân với \({u_1} = 8,{36.10^5}\), công bội \(q = 1 + 4,5\% = 1,045\).

Khi đó, trữ lượng gỗ sau \(n\) năm là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 8,{36.10^5}.1,{045^{n - 1}}\).

Vậy sau 10 năm, trữ lượng gỗ của khu rừng là: \({u_{10}} = 8,{36.10^5}.1,{045^9} \approx 1242376\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

A sai vì qua 2 điểm phân biệt, ta xác định được vô số mặt phẳng qua chúng.

B sai vì qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng, ta xác định được vô số mặt phẳng qua chúng.

D sai vì không có mặt phẳng nào chứa 4 điểm không đồng phẳng, hay qua 4 điểm không đồng phẳng, ta không xác định được mặt phẳng nào qua chúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(A,B,C,G\) cùng nằm trên một phẳng phẳng, do đó ta xác định được 1 mặt phẳng duy nhất qua 4 điểm \(A,B,C,G\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có \(S \in \left( {SAM} \right)\) và \(S \in \left( {SBC} \right)\) nên \(S\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Mặt khác: \(M \in BC\) nên \(M \in \left( {SBC} \right)\), mà \(M \in \left( {SAM} \right)\) nên \(M\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Do đó \(SM\) là giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể chéo nhau (khi không đồng phẳng) hoặc song song với nhau (khi đồng phẳng).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ba mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) và \(\left( \gamma \right)\) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến \({d_1}\), \({d_2}\) và \({d_3}\) phân biệt thì \({d_1}\), \({d_2}\) và \({d_3}\) đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hướng dẫn giải:

a) \[\cos x.\left( {2\sin x - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\2\sin x - \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\]

TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).

TH2: \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{k\pi }}{2};\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].

b) \[5\sin x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 5\sin x - 2\sin x.\cos x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x\left( {\frac{5}{2} - \cos x} \right) = 0\]

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(\frac{7}{2} \ge \frac{5}{2} - \cos x \ge \frac{3}{2} > 0\) nên:

\[2\sin x\left( {\frac{5}{2} - \cos x} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

c) Đặt \(\sin x = t\), vì \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên \( - 1 \le t \le 1\).

Phương trình đã cho tương đương với \(2{t^2} - 5t + 2 = 0\)

 \( \Leftrightarrow \left( {2t - 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = 2\,\,\left( {{\rm{ktm, }}1 \le t \le 1} \right)\end{array} \right.\)

\(t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Hướng dẫn giải:

a) *Giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\):

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAC} \right)\\S \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow S\) là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

\(O \in AC\) mà \(AC\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\) nên \(O \in \left( {SAC} \right)\).

Tương tự \(O \in \left( {SBD} \right)\), do đó \(O\) cũng là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

Vậy \(SO\) là giao tuyến giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

*Giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\):

Gọi \(I\) là giao điểm giữa \(AB\) và \(CD\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right)\\S \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow S\) là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

\(I \in AB\) mà \(AB\) nằm trên \(\left( {SAB} \right)\) nên \(I \in \left( {SAB} \right)\).

Tương tự \(I \in \left( {SCD} \right)\), do đó \(I\) cũng là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Vậy \(SI\) là giao tuyến giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

b) Xét mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) có hai đường thẳng \(SO\) và \(BN\) cắt nhau tại \(P\). Khi đó ta có:

\(P \in SO\) mà \(SO\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\), nên \(P \in \left( {SAC} \right)\). Mà \(P \in BN\) nên \(P\) là giao điểm giữa \(BN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Vì \(x\), \(y\), \(z\) lập thành một cấp số nhân nên \(y = xq\), \(z = yq = x{q^2}\), \(q \ne 0\).

Vì \(x,2y,3z\) lập thành cấp số cộng nên \(2y - x = 3z - 2y \Leftrightarrow 3z - 4y + x = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x{q^2} - 4xq + x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {3{q^2} - 4q + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\3{q^2} - 4q + 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Nếu \(x = 0\) thì \(y = z = 0\), điều này mâu thuẫn với đề bài là \(x\), \(y\), \(z\) phân biệt.

Khi đó \(3{q^2} - 4q + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {3q - 1} \right)\left( {q - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\q = 1\end{array} \right.\).

Vì \(x\), \(y\), \(z\) là 3 số thực phân biệt nên \(q \ne 1\), do đó \(q = \frac{1}{3}\), hay \(y = \frac{x}{3},z = \frac{x}{9}\).

Mặt khác, \(x + 1\), \(y + 2\) và \(z + 1\) cũng lập thành một cấp số nhân nên ta có:

\(\frac{{y + 2}}{{x + 1}} = \frac{{z + 1}}{{y + 2}} \Rightarrow {\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right) \Leftrightarrow {\left( {\frac{x}{3} + 2} \right)^2} = \left( {\frac{x}{9} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{4x}}{3} + 4 = \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{10x}}{9} + 1 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{9} = - 3 \Leftrightarrow x = - \frac{{27}}{2}\)

\( \Rightarrow y = - \frac{9}{2};z = - \frac{3}{2}\).

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{{27}}{2}; - \frac{9}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).