Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(180^\circ = \pi \left( {{\rm{rad}}} \right) \Rightarrow 150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{5\pi }}{6}\left( {{\rm{rad}}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

\[{\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = {\tan ^2}\alpha + \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }} \ge 2\sqrt {{{\tan }^2}\alpha \cdot \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }}} = 2\]

\[ \Rightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \ne 1\], do đó B là đáp án sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì \(\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \sin \alpha \) nên \(\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \frac{5}{{13}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

\(\sin 3x.\sin x = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {3x - x} \right) - \cos \left( {3x + x} \right)} \right] = \frac{1}{2}\left( {\cos 2x - \cos 4x} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức cộng lượng giác, ta có:

\(\sin \left( {x - y} \right) = \sin x\cos y - \sin y\cos x\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

\(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}} = 1 \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

\(M = \cos 54^\circ .\cos 4^\circ - \cos 36^\circ .\cos 86^\circ \)

\( = \cos 54^\circ .\cos 4^\circ - \cos \left( {90^\circ - 54^\circ } \right).\cos \left( {90^\circ - 4^\circ } \right)\)

\( = \cos 54^\circ .\cos 4^\circ - \sin 54^\circ .\sin 4^\circ \)

\( = \cos 54^\circ .\cos 4^\circ - \sin 54^\circ .\sin 4^\circ \)

\( = \cos \left( {54^\circ + 4^\circ } \right) = \cos 58^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số \(y = \cos x\) là hàm chẵn vì tập xác định của \(y = \cos x\) là \(\mathbb{R}\) và \(\cos \left( { - x} \right) = \cos x\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: \(\sin x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow \) tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos x}}{{\sin x - 1}}\) là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì \[ - 1 \le \sin x \le 1\] nên \[1 \le 2 - \sin x \le 3\].

Dấu  của bất đẳng thức \(1 \le 2 - \sin x\) xảy ra khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Dấu của bất đẳng thức \(2 - \sin x \le 3\)xảy ra khi \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy \(m = 1\) và \(M = 3 \Rightarrow S = 2m + M = 2 + 3 = 5\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

\(\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

\(\cos \left( {5x - 45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x - 45^\circ = 30^\circ + k360^\circ \\5x - 45^\circ = - 30^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = 75^\circ + k360^\circ \\5x = 15^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15^\circ + k72^\circ \\x = 3^\circ + k72^\circ \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vì \({x_0}\) là nghiệm âm nên ta có 2 trường hợp sau:

TH1: \(x = 15^\circ + k72^\circ < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{{15}}{{72}} = - \frac{5}{{24}} \Rightarrow k \le - 1\), vì \({x_0}\) lớn nhất nên \(k = - 1\).

\( \Rightarrow {x_0} = - 57^\circ \).

TH1: \[x = 3^\circ + k72^\circ < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{3}{{72}} = - \frac{1}{{24}} \Rightarrow k \le - 1\], vì \({x_0}\) lớn nhất nên \(k = - 1\).

\( \Rightarrow {x_0} = - 69^\circ \).

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \({x_0} = - 57^\circ \Rightarrow {x_0} \in \left( { - 60^\circ ; - 45^\circ } \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

\(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác, ta có 4 điểm \(A,B,C,D\) như sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n + 1;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + 2.1 + 1 = 4\\{u_3} = {u_2} + 2.2 + 1 = 9\\{u_4} = {u_3} + 2.3 + 1 = 16\\{u_5} = {u_4} + 2.4 + 1 = 25\end{array} \right.\)

Vậy 5 số hạng đầu tiên của dãy số là 1; 4; 9; 16; 25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

\({u_n} = {5.2^{n - 1}} + {3^n} \Rightarrow {u_{n + 1}} = {5.2^{n + 1 - 1}} + {3^{n + 1}} = {5.2^n} + {3^{n + 1}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

\({u_n} = \frac{{an + 5}}{{n + 1}} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 5 - a}}{{n + 1}} = a + \frac{{5 - a}}{{n + 1}}\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = a + \frac{{5 - a}}{{n + 2}} - \left( {a + \frac{{5 - a}}{{n + 1}}} \right) = \frac{{5 - a}}{{n + 2}} - \frac{{5 - a}}{{n + 1}} = \frac{{a - 5}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng thì \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{a - 5}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0 \Leftrightarrow a - 5 > 0\) (vì \[\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]) \( \Leftrightarrow a > 5\)

\( \Rightarrow a \in \left\{ {6;7;8;9} \right\} \Rightarrow \) có 4 số thoả mãn đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có \( - 18 - \left( { - 13} \right) = - 13 - \left( { - 8} \right) = - 8 - \left( { - 3} \right) = - 3 - 2 = - 5\) nên dãy số này là một cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: \({v_1} = 5.1 - 2 = 3\) và \(d = {v_{n + 1}} - {v_n} = 5\left( {n + 1} \right) - 2 - \left( {5n - 2} \right) = 5\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = 2\end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2 + 2\left( {n - 1} \right) = 2n\).

Khi đó \({u_{2023}} = 2023.2 = 4046\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì \(\frac{{81}}{{27}} = \frac{{27}}{9} = \frac{9}{3} = \frac{3}{1} = 3 \Rightarrow \) dãy số là một cấp số nhân có công bội là 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Cấp số nhân có \({u_1} = \frac{1}{2}\) và công bội \(q = \frac{{ - \frac{1}{4}}}{{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2}\).

\( \Rightarrow \) số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \[{u_n} = \frac{1}{2}.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = - {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n}\].

Khi đó, \( - \frac{1}{{4096}} = - {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{12}} \Rightarrow - \frac{1}{{4096}}\) là số hạng thứ 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 256\\{u_7} = 1024\end{array} \right. \Rightarrow q = \frac{{{u_7}}}{{{u_6}}} = 4\)

Mặt khác, \({u_6} = {u_1}.{q^5} \Rightarrow {u_1} = \frac{{{u_6}}}{{{q^5}}} = \frac{{256}}{{{4^5}}} = \frac{1}{4}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng thì chỉ xác định được 1 và chỉ 1 mặt phẳng. Ở đây ba điểm thuộc hai mặt phẳng phân biệt nên ít nhất 1 trong 2 điều kiện phân biệt hoặc thẳng hàng không thỏa mãn. Mà 3 điểm đã cho phân biệt nên chúng phải thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Qua hai đường thẳng chéo nhau không xác định được mặt phẳng nào.

Ta chỉ xác định được một mặt phẳng qua hai đường thẳng đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì \(S\) và \(B\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\)

\( \Rightarrow SB\) là giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì \(MN,AB\) đồng phẳng nên giao điểm \(K\) của đường thẳng \(MN\) và \(\left( {SAB} \right)\) là giao giữa \(MN\) và \(AB\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Khi hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Các cặp đường thẳng chéo nhau là: \(AB\) và \(CD\); \(AC\) và \(BD\); \(AD\) và \(BC\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì \(I \in AB\) mà \(AB\) nằm trên \(\left( {ABD} \right)\) nên \(I\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {IJK} \right)\).

Tương tự, điểm \(K\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {IJK} \right)\).

\( \Rightarrow \) giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {IJK} \right)\) là đường thẳng \(KI\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có \(S\) là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

Mà \(AD{\rm{//}}BC\) nên giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng \(Sx{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC\).

Hướng dẫn giải:

a) \(\sin 3x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = 0 \Leftrightarrow - \sin 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 3x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3} - x = \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \\\frac{\pi }{3} - x = - \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{24}} - \frac{{k\pi }}{2}\\x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{{24}} - \frac{{k\pi }}{2}; - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

b) \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

c) \(\cos 3x + \cos 2x + \cos x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\cos 3x + \cos x} \right) + \left( {\cos 2x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x + 2{\cos ^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 2x + \cos x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 4\cos x.\cos \frac{{3x}}{2}.\cos \frac{x}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos \frac{{3x}}{2} = 0\\\cos \frac{x}{2} = 0\end{array} \right.\)

TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

TH2: \(\cos \frac{{3x}}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{2} + m\pi ,m \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}\).

TH3: \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + n\pi ,n \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \pi + 2n\pi ,n \in \mathbb{Z}\).

Kết hợp 3 nghiệm của 3 phương trình trên vòng tròn lượng giác như sau:

Nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) được biểu diễn bởi các điểm \(B,\,\,B'\).

Nghiệm \(\frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}\) được biểu diễn bởi các điểm \({B_1},{B_2},{B_3}\).

Nghiệm \(\pi + 2n\pi ,n \in \mathbb{Z}\) được biểu diễn bởi điểm \({B_2}\).

\( \Rightarrow \) phương trình đã cho có các nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{3} + \frac{{2k\pi }}{3};k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Hướng dẫn giải:

a) Vì \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm \(BD\).

Xét tam giác \(SBD\) có \(O\) là trung điểm \(BD\), \(M\) là trung điểm \(SD\) nên \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(SBD \Rightarrow OM{\rm{//}}SB\).

b) Kéo dài \(BG\) cắt \(CD\), \(AD\) lần lượt tại \(I\), \(J\). Kéo dài \(JM\) cắt \(SA\) tại \(K\).

Khi đó \(K \in \left( {MBG} \right)\), do đó \(K\) là giao điểm của \(SA\) và \(\left( {MBG} \right)\).

c) Vì \(I\) là giao điểm của \(BG\) và \(CD\) nên \(I\) là trung điểm của \(CD\).

Ta chứng minh được \(I\) là trung điểm của \(JB\).

Tam giác \(ABJ\) có \(DI{\rm{//}}AB\), \(I\) là trung điểm \(JB\) nên \(DI\) là đường trung bình tam giác \(ABJ\).

\( \Rightarrow D\) là trung điểm \[JA\].

Từ \(D\) kẻ \(DN{\rm{//}}AK\left( {N \in JK} \right)\). Khi đó \(DN\) là đường trung bình của tam giác \(AKJ\)

\( \Rightarrow \frac{{DN}}{{AK}} = \frac{1}{2}\) hay \(AK = 2DN\).

Mặt khác, xét \(\Delta MND\) và \(\Delta MSK\) có:

\(\widehat {SKM} = \widehat {DNM}\) (2 góc so le của \(SK{\rm{//}}ND\))

\(SM = MD\,\,\,\left( { = \frac{1}{2}SD} \right)\) (\(S\) là trung điểm \(AD\))

\(\widehat {SMK} = \widehat {DMN}\) (đối đỉnh)

Do đó, \(\Delta MND = \Delta MSK\left( {{\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g}}} \right) \Rightarrow SK = ND\).

\( \Rightarrow \frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{AK}}{{AK + KS}} = \frac{{2DN}}{{2DN + DN}} = \frac{2}{3}\)\(\left( 1 \right)\)

Lại có \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên \(\frac{{OG}}{{OC}} = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AO + OG}}{{2OC}} = \frac{{OC + \frac{1}{3}OC}}{{2OC}} = \frac{{\frac{4}{3}OC}}{{2OC}} = \frac{2}{3}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{AG}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow KG{\rm{//}}SC\) (định lí Talet trong tam giác \(SAC\)). (đpcm)

Xét tam giác \(SCD\) có \(M,I\) lần lượt là các trung điểm \(SD,DC\) nên \(MI\) là đường trung bình tam giác \(SCD \Rightarrow MI{\rm{//}}SC\), mà \(KG{\rm{//}}SC\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow MI{\rm{//}}KG \Rightarrow \frac{{JM}}{{MK}} = \frac{{JI}}{{IG}}\).

Ta có: \(DI\) là đường trung bình \(\Delta ABJ\) nên \(I\) là trung điểm \(BJ \Rightarrow BI = IJ = \frac{1}{2}BJ\).

\(G\) là trọng tâm \(\Delta BCD\) nên \(\frac{{GI}}{{BI}} = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{JI}}{{IG}} = \frac{{BI}}{{\frac{1}{3}BI}} = 3 \Rightarrow \frac{{JM}}{{KM}} = 3 \Rightarrow \frac{{JM}}{{JK}} = \frac{{JM}}{{JM + MK}} = \frac{3}{4}\).

Vậy \(\frac{{JM}}{{JK}} = \frac{3}{4}\).

Hướng dẫn giải:

Giả sử đa giác đã cho có \(n\) cạnh \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 3} \right)\) và số đo các cạnh lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 44\). Khi đó chu vi của đa giác là tổng cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), tức là:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {{u_1} + 44} \right)}}{2} = 158\)

\( \Leftrightarrow n\left( {{u_1} + 44} \right) = 316\)

Vì \(n\) và \({u_1} + 44\) là một số nguyên dương nên \({u_1} + 44 \in \)Ư\(\left( {316} \right) = \left\{ {1;2;4;79;158;316} \right\}\).

Mặt khác \(n \ge 3\) nên \(44 < {u_1} + 44 \le \frac{{316}}{3} \Leftrightarrow 44 < {u_1} + 44 \le 105\).

\( \Rightarrow {u_1} + 44 = 79 \Leftrightarrow {u_1} = 35\).

Vậy đa giác đó có cạnh nhỏ nhất là 35 cm.