Đáp án đúng là: B

Theo SGK, góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối sai khác nhau một bội nguyên của \[360^\circ .\]

Mà \(410^\circ - 50^\circ = 360^\circ .\)

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\alpha = \frac{\pi }{3} = \left( {\frac{\pi }{3}.\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = 60^\circ .\)

Đáp án đúng là: A

Chọn A vì đúng theo công thức cộng.

Đáp án đúng là: B

Có \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\) nên đáp án B sai.

Đáp án đúng là: C

Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)

Đáp án đúng là: D

Ta thấy:

Tại \(x = 0\) thì \(y = 0\). Do đó loại B và C.

Tại \(x = \pi \) thì \(y = - 1\). Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có D thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Nhắc lại kiến thức cơ bản:

- Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ.

- Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.

- Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.

- Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ.

Vậy B là đáp án đúng.

Đáp án đúng là: B

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Đáp án đúng là: B

\(1 + \tan x = 0 \Leftrightarrow \tan x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \({u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{a{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\).

Đáp án đúng là: B

Thay lần lượt \[n = 1;n = 2;n = 3\] vào công thức số hạng tổng quát ta được đáp án B.

Đáp án đúng là: B

 Dãy số \(\frac{1}{2};\,\frac{1}{{{2^2}}};\,\frac{1}{{{2^3}}};.....\)không phải cấp số cộng do \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{2}\\d = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {u_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\).

Đáp án đúng là: C

Ta có ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}+1}=\frac{\mathrm{a}.{\left(\mathrm{n}+1\right)}^2}{\left(\mathrm{n}+1\right)+1}=\frac{\mathrm{a}{\left(\mathrm{n}+1\right)}^2}{\mathrm{n}+2}$.

Đáp án đúng là: D

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \[q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2\].

Đáp án đúng là: A

Mẫu số liệu trên có 7 nhóm.

Đáp án đúng là: D

Độ dài của nhóm \(\left[ {200;\,235} \right)\) là 235 – 200 = 35.

Đáp án đúng là: B

Mẫu số liệu đã cho có một nhóm có số học sinh là lớn nhất nên mẫu số liệu này có 1 mốt.

Đáp án đúng là: A

Công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

\({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\alpha }}=1+{\cot }^2\mathrm{\alpha }=1+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{25}{16}\\ 0°<\mathrm{\alpha }<90°\Rightarrow \mathrm{sin\alpha }>0\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\mathrm{sin\alpha }=\frac{4}{5}.$

Đáp án đúng là: D

Áp dụng quy tắc từ tích sang tổng, ta được:

\[A = 4\sin x.\sin 2x.\sin 3x\]

\( = 4.\left[ { - \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {x + 2x} \right) - \cos \left( {x - 2x} \right)} \right)} \right]\sin 3x\)

\[ = 2\left( {\cos x - \cos 3x} \right)\sin 3x\]

\( = 2\sin 3x\cos x - 2\sin 3x\cos 3x\)

\( = 2.\frac{1}{2}\left( {\sin \left( {3x + x} \right) + \sin \left( {3x - x} \right)} \right) - \sin 6x\)

\[ = \sin 4x + \sin 2x - \sin 6x\].

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 - \frac{1}{7}.\frac{3}{4}}} = 1 \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Mà \(\alpha ,{\rm{ }}\beta \) là hai góc nhọn \( \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow 1 \ge - \sin x \ge - 1 \Leftrightarrow 3 \ge - 3\sin x \ge - 3\)

\( \Leftrightarrow 8 \ge 5 - 3\sin x \ge 2 \Leftrightarrow 2 \le y \le 8 \Rightarrow T = \left[ {2;8} \right].\)

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho xác định \( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{2} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]

Đáp án đúng là: A

Dễ thấy với \(m = 0\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Với \(m \ne 0\), ta có: \(m.\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{m}{\rm{ }}\left( 1 \right)\).

Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm

\( \Leftrightarrow \) \[\left| {\frac{1}{m}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{\left| m \right|}} \le 1 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le - 1\end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện \(m \ne 0\)).

Đáp án đúng là: B

Phương trình \[3\cot x - \sqrt 3  = 0\] có nghĩa \[\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi  \Leftrightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi } \right\}\]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Ta có \[3\cot x - \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[0 \le {v_n} \le \frac{1}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

           \[ - 1 \le {u_n} \le 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

           \[2 \le {b_n} \le 10,\forall n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

Lấy số tự nhiên \[N\] bất kỳ, tồn tại \(n = N + 1\) sao cho \({a_n} = {a_{N + 1}} = {3^{N + 1}} \ge N\). Suy ra dãy số \[\left( {{a_n}} \right)\] không là dãy số bị chặn trên.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({a_1} = \frac{1}{2}\). Loại A.

           \({c_3} = 0\). Loại C.

           \({d_4} = \frac{1}{4}\). Loại D.

Đáp án đúng là: C

Sử dụng công thức SHTQ \[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d{\rm{ }}\left( {\forall n \ge 2} \right).\]

Ta có: \[{u_n} = - 3 + \left( {n - 1} \right)\frac{1}{2}\].

Đáp án đúng là: C

Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai \(d = 3\) và \({u_1} = 25.\)

Tổng số ghế là \({S_{30}} = {u_1} + {u_2} + \cdots + {u_{30}} = 30{u_1} + \frac{{30.29}}{2}d = 2055\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \( - 1533 = {S_n} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)\( = - 3 \cdot \frac{{1 - {2^n}}}{{1 - 2}}\)\( = - 3\left( {{2^n} - 1} \right)\)

\( \Rightarrow {2^n} = 512 = {2^9} \Leftrightarrow n = 9\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)^2}.\left( {\frac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {{q^4} - 1} \right)\left( {q + 1} \right)}}{{\left( {q - 1} \right)\left( {{q^4} + 1} \right)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Từ đó ta tìm được \({u_1} = 1,{u_1} = 8\).

Đáp án đúng là: B

Tần số lớn nhất của mẫu số liệu trên là 15 nên nhóm chứa mốt là \(\left[ {129;131} \right)\).

Ta có:

\(j = 3\), \({a_3} = 129\), \({m_3} = 15\), \({m_2} = 7,\,\,{m_4} = 10\), \(h = 2\). Do đó:

\({M_o} = 129 + \frac{{15 - 7}}{{\left( {15 - 7} \right) + \left( {15 - 10} \right)}}.2 \approx 130,23\).

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu: \(n = 3 + 6 + 12 + 6 + 3 = 30\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \({x_8}\). Do \({x_8}\) thuộc nhóm \(\left[ {80;90} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\).

Do đó: \(p = 2\), \({a_2} = 80\), \({m_2} = 6\), \({m_1} = 3\), \({a_3} - {a_2} = 10\). Ta có:

\({Q_1} = 80 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 3}}{6}.10 = 87,5\).

Lời giải:

a) \({\sin ^2}x + 5\sin x\cos x + 6{\cos ^2}x = 6\)

TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1,\) khi đó phương trình trở thành \(1 = 6\) (vô nghiệm).

TH2: \(\cos x \ne 0.\) Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\), ta được:

\({\tan ^2}x + 5\tan x + 6 = 6\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \Leftrightarrow 5{\tan ^2}x - 5\tan x = 0\)

\( \Leftrightarrow 5\tan x\left( {\tan x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 0\\\tan x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[S = \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]

b) \(\cos 3x - \sin 2x - \cos x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\cos 3x - \cos x} \right) - \sin 2x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2\sin 2x\sin x - \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow - \sin 2x\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\sin x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)

Lời giải:

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là: \( - \frac{b}{{3a}} = - \frac{{ - 9}}{3} = 3\) là nghiệm của phương trình.

Suy ra \({3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \({m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 2\\m = 3\end{array} \right.\)

Với \(m = - 1,m = 2,m = 3\) thì \({m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0\) nên \({m^3} - 4{m^2} + m - 9 = - 15\).

Do vậy, với \(m = - 1,m = 2,m = 3\) ta có phương trình

\({x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1,x = 3,x = 5\).

Ba số 1, 3, 5 lập thành cấp số cộng.

Vậy \(m = - 1,m = 2,m = 3\) là các giá trị cần tìm.

Do đó \({\left( { - 1} \right)^3} + {2^3} + {3^3} = 34\).