Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: \(180^\circ = \pi \) (rad) \( \Rightarrow \frac{\pi }{5}\,\,{\rm{rad}} = \left( {\frac{{180}}{5}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = 36^\circ \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Từ hình vẽ, ta có:

$\text{s}đ\left(OA,OM\right)=75°+m360°,m\in \mathbb{Z}\Rightarrow \text{s}đ\left(OM,OA\right)=-75°+k360°$. 

$sđ\left(OA,ON\right)=-25°+n360°,n\in \mathbb{Z}$.

$\Rightarrow sđ\left(OM,ON\right)=sđ\left(OM,OA\right)+sđ\left(OA,ON\right)=-75°+\left(-25°\right)+k360°=-100°+k360°$

với \(k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án đúng là: C.

Đổi \(\left( {\frac{1}{{60}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = \frac{1}{{60}} \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{{10800}}\) rad.

Khi đó, độ dài cung chắn góc \(\alpha \) là: \(l = R\alpha = 6371 \cdot \frac{\pi }{{10800}} \approx 1,85\) (km).

Vậy 1 hải lí \( = 1,85\)km.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \[\left\{ \begin{array}{l}0 < \sin \alpha < 1\\ - 1 < {\rm{cos}}\alpha < 0\end{array} \right.\].

Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha + {\left( {\frac{5}{{13}}} \right)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{144}}{{169}} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{12}}{{13}}\) (vì \[ - 1 < {\rm{cos}}\alpha < 0\]).

Vậy \[{\rm{cos}}\alpha = - \frac{{12}}{{13}}\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: \(\tan \left( {2\alpha } \right) = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

\[{\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)^2} - \sin 2\alpha = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2\sin \alpha .\cos \alpha - 2\sin \alpha .\cos \alpha \]

\[ = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\].

Vậy \[{\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)^2} - \sin 2\alpha = 1\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

\[{\rm{cos}}\alpha .{\rm{cos}}\beta = \frac{1}{2}\left[ {{\rm{cos}}\left( {\alpha - \beta } \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Chu kì của hàm số \(y = 5\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{3}} \right)\) là: \(\frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Điều kiện xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos 2x}}{{\sin x + 1}}\) là \(\sin x + 1 \ne 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos 2x}}{{\sin x + 1}}\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: \( - 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Rightarrow - \sqrt 3 \le \sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \le \sqrt 3 \).

Dấu  của \( - \sqrt 3 \le \sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) xảy ra khi \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = - 1\)

\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là \( - \sqrt 3 \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

\[\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0 \Leftrightarrow \sin x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ { - \frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì \( - 1 \le \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) nên phương trình \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \( - 1 \le m \le 1\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: \[\tan x + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].

Điểm biểu diễn của \[x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\] trên đường tròn lượng giác là điểm \(I\) và điểm \(D\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

\(\sin \left( {2x} \right) = {\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {2x} \right) = {\rm{sin}}\left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x} \right) = {\rm{sin}}\left( {\frac{{5\pi }}{6} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{5\pi }}{6} - x + k2\pi \\2x = \pi - \left( {\frac{{5\pi }}{6} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \left[ {0;6} \right]\) nên ta có:

+) \[0 \le \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \le 6 \Leftrightarrow - \frac{{5\pi }}{{18}} \le k\frac{{2\pi }}{3} \le 6 - \frac{{5\pi }}{{18}} \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{9}{\pi } - \frac{5}{{12}}\]

\( \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\}\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\))\( \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{{18}};\frac{{17\pi }}{{18}};\frac{{29\pi }}{{18}}} \right\}\).

+) \[0 \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 6 \Leftrightarrow - \frac{\pi }{6} \le k2\pi \le 6 - \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{3}{\pi } - \frac{1}{{12}}\]

\( \Rightarrow k = 0\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\))\( \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\).

Vậy tổng các nghiệm thoả mãn yêu cầu đề bài là: \(S = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{17\pi }}{{18}} + \frac{{29\pi }}{{18}} + \frac{\pi }{6} = 3\pi \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 2n + 3\):

\({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) + 3 - \left( {2n + 3} \right) = 2 > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\).

Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy tăng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố lẻ nhỏ hơn 20 theo thứ tự tăng dần là:

3; 5; 7; 11; 13; 17; 19

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}} = 1 - \frac{2}{{3n + 1}} < 1\).

Mặt khác, \({u_2} = \frac{5}{7} > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > 0\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi số 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Chồng gỗ là một cấp số cộng với \({u_1} = 14\) và công sai \(d = 1\).

Do đó \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 14 + \left( {n - 1} \right).1 = 13 + n\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: \({u_1} = 5\) và \({u_8} = {u_1} + \left( {8 - 1} \right).d = 40 \Rightarrow d = \frac{{{u_8} - {u_1}}}{7} = \frac{{40 - 5}}{7} = 5\).

Vậy công sai của cấp số cộng là 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: \({S_{100}} = \frac{{100\left[ {2.4 + 99.\left( { - 5} \right)} \right]}}{2} = - 24350\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có \[6;x;20\] lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi \(x - 6 = 20 - x\)

\( \Leftrightarrow 2x = 26 \Leftrightarrow x = 13\).

Vậy \(x = 13\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét dãy số \({1^2};{2^2};{3^2};...\) có: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{4}{1} = 4 \ne \frac{9}{4} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên \({1^2};{2^2};{3^2};...\) không phải là cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \(\frac{{{u_5}}}{{{u_4}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} \Rightarrow u_4^2 = {u_5}.{u_3}\)

\( \Leftrightarrow u_4^2 = 45.80 = 3600 \Rightarrow {u_4} = \sqrt {3600} = 60\).

Vậy \({u_4} = 60\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Rightarrow 3.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 192 \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 64 = {\left( { - 2} \right)^6} \Rightarrow n - 1 = 6 \Leftrightarrow n = 7\).

Vậy 192 là số hạng thứ 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có \({u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}} = \left( {{u_1}.{q^{m - 1}}} \right).{q^{k - 1 - \left( {m - 1} \right)}} = {u_m}.{q^{k - m}}\) hay \({u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Vì \(A \in \left( {OAB} \right)\) và \(A \in \left( {ABC} \right)\) nên \(A\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

Tương tự, \(B \in \left( {OAB} \right)\) và \(B \in \left( {ABC} \right)\) nên \(B\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

Do đó \(AB\) là giao tuyến chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm này.

B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng sẽ có vô số mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng nào.

D sai. Bốn điểm không đồng phẳng sẽ không tạo được mặt phẳng nào chứa cả 4 điểm đó.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

A sai vì hai đường thẳng cắt nhau có 1 điểm chung duy nhất.

B và C sai vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Điểm \(I\) là giao điểm của \[EF\] và \(BC\) mà \(EF\) nằm trên \(\left( {DEF} \right)\), \(\left( {ABC} \right)\) và \[\left( {AEF} \right)\] nên điểm \(I\) sẽ là điểm chung giữa các cặp mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {DEF} \right)\); \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\); \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {AEF} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Theo giả thiết, \(a\) và \(b\) chéo nhau nên \(a\) và \(b\) không đồng phẳng.

Giả sử \(AD\) và \(BC\) đồng phẳng. Khi đó ta có 2 trường hợp:

\(AD \cap BC = I \Rightarrow I \in \left( {ABCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {a,b} \right)\), mà \(a\) và \(b\) không đồng phẳng nên không tồn tại điểm \(I\).

\(AD{\rm{//}}BC \Rightarrow a\) và \(b\) đồng phẳng. (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy điều giả sử là sai, do đó \(AD\) và \(BC\) chéo nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Giả sử \(b{\rm{//}}c\) thì ta có \(a{\rm{//}}c\) (mâu thuẫn với giả thiết).

Do đó \(b\) và \(c\) cắt nhau hoặc chéo nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(BD\).

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD \Rightarrow MN{\rm{//}}CD\left( 1 \right)\).

Mặt khác, \(I,J\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(ABD\)

\( \Rightarrow \frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ{\rm{//}}MN\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \[IJ{\rm{//}}CD\].

Hướng dẫn giải:

a) \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6} + \pi } \right)\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {2x + \frac{{5\pi }}{6}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {2x + \frac{{5\pi }}{6}} \right)} \right]\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - 2x - \frac{\pi }{3}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = - 2x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \pi - \left( { - 2x - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = 2x + \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{{19\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ { - \frac{\pi }{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}; - \frac{{19}}{{12}} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}\].

b) \( - 2{\cos ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow - 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 5\sin x + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2 = 0\left( 1 \right)\)

Đặt \[\sin x = t\], vì \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên \( - 1 \le t \le 1\). Khi đó, ta có:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2t - 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\,\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\t = 2\,\,\left( {{\rm{k}}\,\,{\rm{t/m}}} \right)\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}\].

c) \(3\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sin 2x + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {\sin x + \cos x} \right) + 4\sin x.\cos x + 3 = 0\)

Đặt \(\sin x + \cos x = t\), ta có: \(\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = t\).

Vì \[ - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\] nên \[ - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \], hay \( - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 \).

Lại có: \[\sin x + \cos x = t \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.\cos x = {t^2}\]

\( \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó, phương trình\( \Leftrightarrow 3t + 4 \cdot \frac{{{t^2} - 1}}{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} + 3t + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2t + 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{1}{2}\\t = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - \frac{1}{2}\\\sin x = - 1\end{array} \right.\)

TH1: \[\sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\].

TH2: \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k2\pi ; - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

a) Vì \(M,N\) là các trung điểm của \(SA\), \(SB\) nên \(MN\) là đường trung bình trong tam giác \(SAB\). Do đó \(MN{\rm{//}}AB\), mà \(AB{\rm{//}}CD\) nên \(MN{\rm{//}}CD\). (đpcm)

b)

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(J\) là giao điểm của \(SO\) và \(ND\). Ta có:

Vì \(J \in SO\) mà \(SO\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\) nên \(J \in \left( {SAC} \right)\).

Mà \(J \in ND\), \(ND\) nằm trên \(\left( {AND} \right)\) nên \(J \in \left( {AND} \right)\).

Từ đó suy ra được \(J\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\) và mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\).

Mặt khác \(A \in \left( {SAC} \right)\), \(A \in \left( {AND} \right)\), nên \(A\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\) và mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\).

\( \Rightarrow AJ\) là giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\) và mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\).

c) Kéo dài \(AJ\) cắt \(SC\) tại \(P\). Khi đó \(P\) là giao điểm giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\).

Ta có \(I \in AN\) mà \(AN\) nằm trên \(\left( {SAB} \right)\) nên \(I \in \left( {SAB} \right)\).

\(I \in DP\) mà \(DP\) nằm trên \(\left( {SCD} \right)\) nên \(I \in \left( {SCD} \right)\).

\( \Rightarrow I\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

\( \Rightarrow SI\) là giao tuyến giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Xét 3 mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) cắt nhau đôi một theo 3 giao tuyến \(SI,AB\) và \(DC\) nên theo định lí về ba đường giao tuyến, ta có \(SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\) hoặc \(SI,AB,CD\) đồng quy.

Mà \(AB{\rm{//}}CD\) nên \(SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\).

Lại có: \(SI{\rm{//}}AB\) nên theo định lí Talet, ta có:\(\frac{{SN}}{{NB}} = \frac{{IN}}{{NA}} = \frac{{SI}}{{AB}}\).

Do \(N\) là trung điểm \(SB\) nên \(SN = NB\) hay \(\frac{{SN}}{{NB}} = 1 \Rightarrow \frac{{SN}}{{NB}} = \frac{{IN}}{{NA}} = \frac{{SI}}{{AB}} = 1\)

\( \Rightarrow SI = AB\).

Tứ giác \(SIBA\) có \(\left\{ \begin{array}{l}SI{\rm{//}}AB\\SI = AB\end{array} \right. \Rightarrow \) tứ giác \(SIBA\) là hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

a) Xét \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}}\), ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + b}}{{c\left( {n + 1} \right) + d}} - \frac{{an + b}}{{cn + d}} = \frac{{an + \left( {a + b} \right)}}{{cn + \left( {c + d} \right)}} - \frac{{an + b}}{{cn + d}}\)

\( = \frac{{\left[ {an + \left( {a + b} \right)} \right]\left( {cn + d} \right) - \left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]\left( {an + b} \right)}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}\)

\( = \frac{{ac{n^2} + \left( {ad + ac + bc} \right)n + d\left( {a + b} \right) - \left[ {ac{n^2} + n\left( {bc + ac + ad} \right) + b\left( {c + d} \right)} \right]}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}\)

\( = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}\)

Vì \(c,d\) là các số thực thoả mãn \(cn + d > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right] > 0\).

Do đó, ta có các trường hợp sau:

Khi \(ad - bc > 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.

Khi \(ad - bc < 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} < 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm.

Khi \(ad - bc = 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} = 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy \({u_1} = {u_2} = {u_3} = ... = {u_n}\), hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy không thay đổi.

b) \(ad - bc = 0 \Leftrightarrow ad = bc \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}\). Đặt \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = t\left( {t \ne 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = ct\\b = dt\end{array} \right.\).

Khi đó \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}} = \frac{{ct.n + dt}}{{cn + d}} = \frac{{t\left( {cn + d} \right)}}{{cn + d}} = t\) hay \({u_n} = \frac{a}{c}\).

Vậy \({u_n} = \frac{a}{c}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).