Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$sđ\left(ON,OM\right)=sđ\left(ON,OA\right)+sđ\left(OA,OM\right)=25°+50°+k360°=75°+k360°,k\in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\tan x = \tan \left( {x - \pi } \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi \(\alpha ,l,R\) lần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính của đường tròn.

Vì độ dài cung bằng một nửa bán kính nên ta có \(l = \frac{R}{2}\).

Ta có: \(l = R\alpha = \frac{R}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2}\) rad.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Công thức đúng là \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({\sin ^2}\left( {2\alpha } \right) + {\cos ^2}\left( {2\alpha } \right) = 1\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

\(\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì \(A,B,C\) là các góc nhọn nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 < \sin A < 1;0 < \cos A < 1\\0 < \sin B < 1;0 < \cos B < 1\end{array} \right.\).

Mặt khác, \(\left\{ \begin{array}{l}\cos A = \frac{4}{5}\\\cos B = \frac{5}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \frac{3}{5}\\\sin B = \sqrt {1 - {{\cos }^2}B} = \frac{{12}}{{13}}\end{array} \right.\)

Mà \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) nên \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)\)

\( \Rightarrow \cos C = \cos \left[ {180^\circ - \left( {A + B} \right)} \right] = - \cos \left( {A + B} \right) = - \left( {\cos A.\cos B - \sin A.\sin B} \right)\)

\( = - \left( {\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{{13}} - \frac{3}{5} \cdot \frac{{12}}{{13}}} \right) = \frac{{16}}{{65}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Biểu thức \(2\tan x + 3\) có nghĩa khi \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số \(y = x\cos 2x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Xét \(f\left( x \right) = x\cos 2x\) có \(f\left( { - x} \right) = - x.\cos \left( { - 2x} \right) = - x\cos 2x = - f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[ - 1 \le \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 3\]

\[ \Rightarrow - 2 \le 1 + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 4\]

Dấu xảy ra của bất đẳng thức \[ - 2 \le 1 + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\] khi \[\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\]

\( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

\(2\sin \left( {\frac{\pi }{5} - x} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5} - x} \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{5} - x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{5} - x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{30}} + k2\pi \\x = - \frac{{19\pi }}{{30}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) nên ta có:

\( - \frac{\pi }{2} \le \frac{\pi }{{30}} + k2\pi \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{{8\pi }}{{15}} \le k2\pi \le \frac{{7\pi }}{{15}} \Leftrightarrow - \frac{4}{{15}} \le k \le \frac{7}{{30}} \Rightarrow k = 0\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\)).

\( \Rightarrow x = \frac{\pi }{{30}}\).

\[ - \frac{\pi }{2} \le - \frac{{19\pi }}{{30}} + k2\pi \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{{15}} \le k2\pi \le \frac{{17\pi }}{{15}} \Leftrightarrow \frac{1}{{15}} \le k \le \frac{{17}}{{30}} \Rightarrow \] không có \(k\) nguyên nào thoả mãn.

Vậy phương trình có có 1 nghiệm \(x = \frac{\pi }{{30}}\) trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì \( - 1 \le \cos 2x \le 1\) nên phương trình có nghiệm khi \( - 1 \le 1 - m \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Kết quả đúng là: \({u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}.2.4 = 8\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: \({u_n} = {3^n} \Rightarrow {u_{n + 1}} = {3^{n + 1}} = {3.3^n}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[{u_n} = \frac{{ - 2n + 1}}{{n + 1}} = \frac{{ - 2\left( {n + 1} \right) + 3}}{{n + 1}} = - 2 + \frac{3}{{n + 1}}\].

Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( { - 2 + \frac{3}{{n + 1 + 1}}} \right) - \left( { - 2 + \frac{3}{{n + 1}}} \right) = \frac{3}{{n + 2}} - \frac{3}{{n + 1}} = - \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} < 0\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\).

Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(d = {u_2} - {u_1} = 1 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right).1 = n\).

Khi đó \({u_{10}} = 10\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì \(5;x;15\) tạo thành cấp số cộng \[ \Rightarrow 15 - x = x - 5 \Leftrightarrow 2x = 20 \Leftrightarrow x = 10\].

Vì \(x;15;y\) tạo thành cấp số cộng \( \Rightarrow 15 - x = y - 15 \Leftrightarrow x + y = 30 \Rightarrow y = 30 - x = 20\).

\( \Rightarrow 3x + 2y = 3.10 + 2.20 = 70\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left( {2{u_1} + 19d} \right) = 10\left( {3.2 + 19d} \right)\)

\( \Rightarrow d = \frac{1}{{19}}\left( {\frac{{{S_{20}}}}{{10}} - 6} \right) = \frac{1}{{19}}\left( {\frac{{440}}{{10}} - 6} \right) = 2\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Các số hạng trong dãy giống nhau nên dãy số là cấp số nhân với \({u_1} = - 1\); \(q = 1\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = - {\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}}\).

Khi đó \({u_n} = \frac{1}{{{{10}^{2023}}}} \Leftrightarrow - {\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{{10}^{2023}}}} \Leftrightarrow n - 1 = 2023 \Leftrightarrow n = 2024\).

Vậy \(\frac{1}{{{{10}^{2023}}}}\) là số hạng thứ 2024.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên ta có: \(\frac{{{u_7}}}{{{u_6}}} = \frac{{{u_6}}}{{{u_5}}} \Rightarrow u_6^2 = {u_5}.{u_7} \Rightarrow {u_6} = \sqrt {{u_5}.{u_7}} = 6\).

Vậy \({u_6} = 6\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

A sai vì hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song với nhau.

B sai vì hai đường thẳng có thể song song với nhau.

C sai vì hai đường thẳng phân biệt không song song có thể cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có 6 mặt phẳng tạo thành: \(\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right);\left( {SAD} \right);\left( {SBC} \right);\left( {SBD} \right);\left( {SCD} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì \(O \in AC\) nên \(SO \subset \left( {SAC} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi \(N\) là trung điểm \(CD\), khi đó \(N \in BG\) (do \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\)).

\( \Rightarrow N \in \left( {GAB} \right)\), mà \(N \in \left( {ACD} \right)\) nên \(N\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {GAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).

Mà \(A\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {GAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).

\( \Rightarrow AN\) là giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {GAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hai đường thẳng song song thì chúng đồng phẳng hay hai đường thẳng này cùng nằm trên một mặt phẳng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Khi \(a{\rm{//}}b\) thì tồn tại mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa cả \(a\) và \(b\).

Khi \(a\) cắt \(c\) thì tồn tại mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa cả \(a\) và \(c\).

Khi đó, nếu \(\left( \alpha \right)\) trùng với \(\left( \beta \right)\) thì \(b\) cắt \(c\), còn khi \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là 2 mặt phẳng phân biệt thì \(b,c\) là 2 đường thẳng chéo nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác \(ABC\) có \(M,N\) là trung điểm \(BA,BC\) nên \(MN\) là đường trung bình tam giác \(ABC\), do đó \(MN{\rm{//}}AC\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Trong tam giác \(DAC\) có \(M,Q\) lần lượt là trung điểm \(AC,DC\) nên \(MQ\) là đường trung bình tam giác \(DAC \Rightarrow MQ{\rm{//}}AD\).

Trong tam giác \(SAD\) có \(T,R\) lần lượt là trung điểm \(SD,SA\) nên \(RT\) là đường trung bình tam giác \(SAD \Rightarrow RT{\rm{//}}DA\).

\( \Rightarrow RT{\rm{//}}MQ \Rightarrow \) bốn điểm \(M,Q,T,R\) đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \({v_n} = {u_n} + 3 \Rightarrow {v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 3\)

Xét \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{u_{n + 1}} + 3}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{4{u_n} + 9 + 3}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{4\left( {{u_n} + 3} \right)}}{{{u_n} + 3}} = 4 \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = 4\) và \({v_1} = {u_1} + 3 = 2 + 3 = 5\).

\( \Rightarrow {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {5.4^{n - 1}}\).

Vậy cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({v_n} = {5.4^{n - 1}}\).

b) Gọi \[{T_n}\] là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) và \({S_n}\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Khi đó \({T_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n}\) và \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Ta có: \({T_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \left( {{u_1} + 3} \right) + \left( {{u_2} + 3} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3} \right)\)

\( = \left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) + 3n = {S_n} + 3n\)

\( \Rightarrow {S_n} = {T_n} - 3n\)

\( \Rightarrow {S_{10}} = {T_{10}} - 3.10 = \frac{{{v_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} - 3.10 = \frac{{5\left( {1 - {4^{10}}} \right)}}{{1 - 4}} - 30 = 1747595\).

Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của \(\left( {{u_n}} \right)\) là 1 747 595.

a) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BI\), khi đó \(SE\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Mà \(IJ\) và \(SE\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( {SIB} \right)\), nên giao điểm của \(IJ\) và \(SE\) chính là giao điểm giữa \(IJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Vậy \(K\) là giao điểm giữa \(IJ\) và \(SE\).

b) Gọi giao điểm giữa \(AC\) và \(BD\) là \(F\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) lấy \(DJ\) giao với \(SF\) tại \(L\).

Vì \(SF\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\) nên \(L\) là giao điểm giữa \(DJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

c) \(K \in IJ \Rightarrow K \in \left( {OAJ} \right)\), mà \(K \in \left( {SAC} \right)\) nên \(K\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right) \Rightarrow \)\(K\) thuộc giao tuyến giữa 2 mặt phẳng này (1).

Tương tự, \(L \in JD \Rightarrow L \in \left( {OAJ} \right)\), mà \(L \in \left( {SAC} \right)\) nên \(L\) thuộc giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) (2).

Mặt khác, \(M \in OJ \Rightarrow M \in \left( {OAJ} \right)\), mà \(M \in SC \Rightarrow M \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow M\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), kết hợp \(A\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right) \Rightarrow AM\) là giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(A,K,L,M\) thẳng hàng. (đpcm)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\)

\( \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 4{\sin ^2}x - 1\)

\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left[ {\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) - \left( {2\sin x + 1} \right)} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left[ {3\cos 2x - \left( {m + 1} \right)} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\3\cos 2x - \left( {m + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\end{array} \right.\]

Xét \(\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\). Khi đó trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) có 1 nghiệm \(x = \frac{\pi }{6}\). Như vậy, để phương trình có 3 nghiệm nằm trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) thì phương trình \[\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\] có 2 nghiệm khác \(\frac{\pi }{6}\) trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).

Xét hàm số \(y = \cos 2x\) trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) có bảng biến thiên như sau: