Câu hỏi:
19/08/2026 46
Cho phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Cho phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Ta có \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\)
\( \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 4{\sin ^2}x - 1\)
\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left[ {\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) - \left( {2\sin x + 1} \right)} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left[ {3\cos 2x - \left( {m + 1} \right)} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\3\cos 2x - \left( {m + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\end{array} \right.\]
Xét \(\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\). Khi đó trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) có 1 nghiệm \(x = \frac{\pi }{6}\). Như vậy, để phương trình có 3 nghiệm nằm trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) thì phương trình \[\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\] có 2 nghiệm khác \(\frac{\pi }{6}\) trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Xét hàm số \(y = \cos 2x\) trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) có bảng biến thiên như sau:
Như vậy, để phương trình \[\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\] có 2 nghiệm phân biệt khác \(\frac{\pi }{6}\) thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 \le \frac{{m + 1}}{3} < 1\\\frac{{m + 1}}{3} \ne \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le m < 2\\m \ne \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Vậy \(m \in \left[ { - 1;2} \right)\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\) thoả mãn đề bài.
Hướng dẫn giải:
Ta có \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\)
\( \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 4{\sin ^2}x - 1\)
\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left[ {\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) - \left( {2\sin x + 1} \right)} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left[ {3\cos 2x - \left( {m + 1} \right)} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\3\cos 2x - \left( {m + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\end{array} \right.\]
Xét \(\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\). Khi đó trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) có 1 nghiệm \(x = \frac{\pi }{6}\). Như vậy, để phương trình có 3 nghiệm nằm trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) thì phương trình \[\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\] có 2 nghiệm khác \(\frac{\pi }{6}\) trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Xét hàm số \(y = \cos 2x\) trong khoảng \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) có bảng biến thiên như sau:
Như vậy, để phương trình \[\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\] có 2 nghiệm phân biệt khác \(\frac{\pi }{6}\) thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 \le \frac{{m + 1}}{3} < 1\\\frac{{m + 1}}{3} \ne \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le m < 2\\m \ne \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Vậy \(m \in \left[ { - 1;2} \right)\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\) thoả mãn đề bài.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tứ giác \(ABCD\) và \(S\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(I,J\) là hai điểm nằm trên \(AD\) và \(SB\). \(AD\) cắt \(BC\) tại \(O\) và \(OJ\) cắt \(SC\) tại \(M\).
a) Tìm giao điểm \(K\) giữa \(IJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
b) Xác định giao điểm \(L\) giữa \(DJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
c) Chứng minh rằng 4 điểm \(A,K,L,M\) thẳng hàng.
Câu 3:
Trong hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 4:
Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), cho bốn điểm \(A,B,C,D\) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm \(S \notin {\rm{mp}}\left( \alpha \right)\). Có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi \(S\) và hai trong bốn điểm nói trên?
Câu 5:
Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M,N,P,Q,R,T\) lần lượt là trung điểm \[AC,\] \[BD,BC,CD,SA,SD\]. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
Câu 6:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_5} = 4\) và \({u_7} = 9\). Giá trị của \({u_6}\) là
Câu 7:
Cho tứ diện \(ABCD\), \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {GAB} \right)\) là
Câu 8:
Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt \(a,b,c\), trong đó \(a{\rm{//}}b\).
Khẳng định nào sau đây không đúng?
Câu 10:
Điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \(\cos 2x = 1 - m\) có nghiệm là
Câu 11:
Cho các điểm \(M,N\) trên đường tròn lượng giác như hình vẽ. Số đo của góc lượng giác \(\left( {ON,OM} \right)\) là
