Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\sin \alpha = \sin 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\cos \alpha = \cos 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) nên \(\sin \alpha = \cos \alpha .\) Vậy đáp án A, B đúng.

\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 1;\,\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\). Vậy đáp án D đúng, đáp án C sai.

Đáp án đúng là: C

Một cung của đường tròn bán kính \(R\) và có số đo \(\alpha \)rad thì có độ dài là \(l = R\alpha .\)

Đáp án đúng là: A

Chọn A vì đúng theo công thức biến đổi tích thành tổng.

Đáp án đúng là: A

Theo công thức nhân đôi, ta có \(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\), từ đó suy ra \(\cot 2a = \frac{{1 - {{\tan }^2}a}}{{2\tan a}}\), nên đáp án C và D đúng.

Ta có: \(\frac{{1 - {{\tan }^2}a}}{{1 + {{\tan }^2}a}} = \frac{{1 - \left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} - 1} \right)}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}a}}}}\)\( = \left( {2 - \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}} \right).{\cos ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1\)\( = \cos 2a\), nên đáp án B đúng. Vậy đáp án A sai.

Đáp án đúng là: D

Các đáp án A, B, C đúng theo lý thuyết.

Các hàm số \(y = \tan x\) và \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \[\pi .\] Vậy đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) xác định khi \({\cos ^2}x \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập xác định của hàm số \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án đúng là: B

Nhắc lại kiến thức cơ bản:

- Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ.

- Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.

- Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.

- Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ.

Vậy B là đáp án đúng.

Đáp án đúng là: B

Phương trình \(\frac{{x - 2}}{{x + 2}} = 0\) có tập nghiệm là \({S_1} = \left\{ 2 \right\}\).

Phương trình \(2x - 4 = 0\) có tập nghiệm là \({S_2} = \left\{ 2 \right\}\).

Vì \({S_1} = {S_2}\) nên hai phương trình \(\frac{{x - 2}}{{x + 2}} = 0\) và \(2x - 4 = 0\) tương đương.

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết ta có \(\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\u = \pi - v + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Thay \(x = \frac{{2\pi }}{3}\) vào các phương trình đã cho, ta thấy:

\(\sin \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \ne  - \frac{1}{2}\)

\(\cos \frac{{2\pi }}{3} =  - \frac{1}{2}\)

\(\cot \frac{{2\pi }}{3} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3} \ne \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\(\tan \frac{{2\pi }}{3} =  - \sqrt 3  \ne \sqrt 3 \)

Vậy \(x = \frac{{2\pi }}{3}\) là nghiệm của phương trình \[\cos x =  - \frac{1}{2}\].

Đáp án đúng là: B

Ta có \({u_n} = \frac{{ - 1}}{n}\), do đó \({u_1} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1,{u_2} = \frac{{ - 1}}{2},{u_3} = \frac{{ - 1}}{3},{u_4} = \frac{{ - 1}}{4},{u_5} = \frac{{ - 1}}{5}\).

Vì \({u_n} = \frac{{ - 1}}{n} < 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi số \(M = 0\).

\({u_n} = \frac{{ - 1}}{n} \ge \frac{{ - 1}}{1} = - 1\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi số \(m = - 1\).

Đáp án đúng là: C

Xét từng đáp án:

- Đáp án A ta có: \({u_1} = 5.1 - 3 = 2 \ne 8\), không thỏa mãn.

- Đáp án B ta có: \({u_1} = 5.1 + 2 = 7 \ne 8\), không thỏa mãn.

- Đáp án C ta có: \({u_1} = 5.1 + 3 = 8\), thỏa mãn.

- Đáp án D ta có: \({u_1} = 5.1 - 1 = 4 \ne 8\), không thỏa mãn.

Đáp án đúng là: D

Dãy số 3; 5; 7; 9; 11 là một cấp số cộng.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_1=5\\ \mathrm{d}=2\end{array}\right.\stackrel{\mathrm{CTTQ}}{\to }{\mathrm{u}}_{13}={\mathrm{u}}_1+\left(13-1\right)\mathrm{d}=5+\left(13-1\right).2=27$.

Đáp án đúng là: B

Xét \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = 3{u_n}\end{array} \right.\). Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{3{u_n}}}{{{u_n}}} = 3\) không đổi với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy dãy số trên là cấp số nhân.

Đáp án đúng là: D

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên công bội \[q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{{\frac{1}{3}}} = 9\].

Đáp án đúng là: C

Quan sát mẫu số liệu đã cho, ta có:

- Giá trị 54 không thuộc vào nhóm \(\left[ {52;54} \right)\).

- Tần số của nhóm \(\left[ {58;60} \right)\) là 16.

- Tần số của nhóm \(\left[ {54;56} \right)\) là 45.

- Giá trị 45 không thuộc vào nhóm \(\left[ {54;56} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Mẫu số liệu đã cho gồm có 4 nhóm: \(\left[ {150;200} \right)\), \(\left[ {200;250} \right)\), \(\left[ {250;300} \right)\) và \(\left[ {350;400} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Tần số lớn nhất là 30 nên nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {2;3} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Ta có cỡ mẫu \(n = 10 + 30 + 7 + 3 = 50\).

Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{50}}\) là thời gian tự học ở nhà của 50 học sinh khối 11 và giả sử dãy này đã được xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\). Do \({x_{25}},\,{x_{26}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {2;3} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị của mẫu số liệu.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \left( { - \alpha } \right)} \right) = \cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \) ;

\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \left( { - \alpha } \right)} \right) = \sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \alpha \).

Khi đó \(A = \sin \alpha + \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) - \cos \alpha + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\)

\( = \sin \alpha + \cos \alpha - \cos \alpha - \sin \alpha = 0\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\sin x + \cos x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x = \frac{1}{4}\) \( \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{ - 3}}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(P = \frac{{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{\cos x + \cos 2x}} = \frac{{1 + \cos x + 2{{\cos }^2}x - 1 + 4{{\cos }^3}x - 3\cos x}}{{\cos x + 2{{\cos }^2}x - 1}}\)

\( = \frac{{4{{\cos }^3}x + 2{{\cos }^2}x - 2\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + \cos x - 1}} = \frac{{2\cos x\left( {2{{\cos }^2}x + \cos x - 1} \right)}}{{2{{\cos }^2}x + \cos x - 1}} = 2\cos x\).

Khi đó \(a = 2,b = 1\), vậy \(T = a - b = 2 - 1 = 1\).

Đáp án đúng là: D

Vì \[0 \le {\sin ^2}2x \le 1 \Rightarrow 1 \le {\sin ^2}2x + 1 \le 2 \Rightarrow 1 \le f\left( x \right) \le 2\]

Vậy tập giá trị của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}2x + 1\] là \[\left[ {1;2} \right]\].

Đáp án đúng là: D

\(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{8} \Leftrightarrow 3x + \frac{\pi }{4} = \pm \frac{\pi }{8} + k2\pi \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án đúng là: D

 \(\cos x = \sin x \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[2 \le {a_n} \le 3,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

           \[ - 1 \le {u_n} \le 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

           \[1 \le {b_n} \le 7,\forall n \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\]. Suy ra dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

          Lấy số tự nhiên \[N\] bất kỳ, tồn tại \(n = N + 1\) sao cho \({v_n} = {v_{N + 1}} = N + 1 \ge N\). Suy ra dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) không là dãy số bị chặn trên nên nó không bị chặn.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 + a}}{{n + 1}} - \frac{{n + a}}{n} = \frac{{ - a}}{{n\left( {n + 1} \right)}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Nếu \(a > 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Nếu \(a < 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Nếu \(a = 0\) thì \({u_{n + 1}} = {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) không là dãy số giảm cũng không là dãy số tăng.

Vậy để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng ta chọn một số \(a\) sao cho \(a < 0\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_6} = 17\\{u_2} + {u_4} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 5d = 17\\2{u_1} + 4d = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: B

Giá tiền khoan mỗi mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 80\,000,\,\,d = 5\,000.\) Do cần khoan 50 mét nên tổng số tiền cần trả là:

\({u_1} + {u_2} + \cdots + {u_{50}} = {S_{50}} = 50{u_1} + \frac{{50.49}}{2}d = 10\,.125\,.000\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \({S_7} = \frac{{3.\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^7}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{381}}{{64}}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \({u_4} = {u_1}.{\rm{ }}{q^3}\) và \({u_5} = {u_1}.{\rm{ }}{q^4}\). Chia vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được

\[\frac{{{u_4}}}{{{u_5}}} = \frac{{{u_1}.{\rm{ }}{q^3}}}{{{u_1}.{\rm{ }}{q^4}}} = \frac{1}{q} \Leftrightarrow \frac{{128}}{{32}} = \frac{1}{q} \Rightarrow q = \frac{1}{4}.\]

Khi đó, \({u_4} = {u_1}.{\rm{ }}{q^3} \Leftrightarrow \frac{1}{{32}} = {u_1}.{\rm{ }}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} \Rightarrow {u_1} = 2.\)

Vậy cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và \[q = \frac{1}{4}.\]

Đáp án đúng là: D

Cỡ mẫu : \(n = 4 + 6 + 7 + 5 + 3 = 25\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2}\). Do \({x_6},\,\,{x_7}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {10;20} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\).

Do đó: \(p = 2\), \({a_2} = 10\), \({m_2} = 6\), \({m_1} = 4\), \({a_3} - {a_2} = 10\). Ta có:

\({Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 4}}{6}.10 = 13,75\).

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu \(n = 5 + 12 + 23 + 31 + 29 = 100\).

Ta có bảng sau:

Tuổi thọ trung bình của ruồi giấm trong mẫu số liệu trên là

\(\overline x = \frac{{5.41 + 12.43 + 23.45 + 31.47 + 29.49}}{{100}} = 46,34\).

Lời giải:

a) \[\cos x\cos 5x = \cos 2x\cos 4x\]

\[ \Leftrightarrow \cos 6x + \cos 4x = \cos 6x + \cos 2x\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = 2x + k2\pi }\\{4x = - 2x + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x = k\frac{\pi }{3}}\end{array} \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{3}} \right.} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]

b) \[\cos x + \frac{1}{{\cos x}} + \sin x + \frac{1}{{\sin x}} = \frac{{10}}{3}\]

Điều kiện \[\sin x \ne 0\] và \[\cos x \ne 0\] \[ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Phương trình được biến đổi \[\sin x + \cos x + \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x.\cos x}} = \frac{{10}}{3}\].

Đặt \[t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\], \[\left| t \right| \le \sqrt 2 \]. Thì \[\sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\].

Và phương trình trở thành: \[3{t^3} - 10{t^2} + 3t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {3{t^2} - 4t - 5} \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \frac{{2 + \sqrt {19} }}{3}\\t = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{3}\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện, chọn \[t = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{3} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{{3\sqrt 2 }} = \sin \alpha \]

\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \alpha + k2\pi \] hoặc \[x + \frac{\pi }{4} = \pi - \alpha + k2\pi \]\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow x = \alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi \] hoặc $x=\frac{3\pi }{4}-\alpha +k2\pi$ \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình: \[x = \alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi \], \[x = \frac{{3\pi }}{4} - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Lời giải:

Đặt \[a = \tan \frac{\pi }{{12}}\] và \[y = \tan x\]. Xét ba trường hợp của 3 thứ tự:

Trường hợp 1: \[\tan \left( {\frac{\pi }{{12}} - x} \right).\tan \left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right) = {\tan ^2}\frac{\pi }{{12}}:\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{a - y}}{{1 + ay}}.\frac{{a + y}}{{1 - ay}} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} - {y^2} = {a^2}\left( {1 - {a^2}{y^2}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{a^4} - 1} \right){y^2} = 0\] . Vì \[a \ne \pm 1\] ta có \[y = 0\]

Do đó \[\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\] là nghiệm của bài toán.

Trường hợp 2: \[\tan \frac{\pi }{{12}}.\tan \left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right) = {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{{12}} - x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow a\frac{{a + y}}{{1 - ay}} = {\left( {\frac{{a - y}}{{1 + ay}}} \right)^2} \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)y\left[ {a{y^2} + \left( {{a^2} - 1} \right)y + 3a} \right] = 0\]

Ta có: \[y = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\]

Khi \[a{y^2} + \left( {{a^2} - 1} \right)y + 3a = 0\] vì \[a = \tan \frac{\pi }{{12}} = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = 2 - \sqrt 3 \]

nên \[{y^2} - 2\sqrt 3 y + 3 = 0\], suy ra \[{y_1} = {y_2} = \sqrt 3 .\]

Do đó \[\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\] là nghiệm của bài toán.

Trường hợp 3: \[\tan \frac{\pi }{{12}}.\tan \left( {\frac{\pi }{{12}} - x} \right) = {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right)\]

Thay \[x\] bởi \[ - x\], dựa vào kết qyả trên thì nghiệm bài toán là: \[x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\]

Vậy các số cần tìm là \[x = k\pi \] và \[x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].

Lời giải:

a) Từ bảng số liệu ghép nhóm, ta có bảng thống kê thời gian sử dụng đèn của chị Nga từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin theo giá trị đại diện như sau:

Cỡ mẫu \(n = 2 + 5 + 7 + 6 + 3 = 23\).

Thời gian sử dụng trung bình từ lúc chị Nga sạc đầy pin đèn cho tới khi hết pin là:

\(\overline x = \frac{{2.8 + 5.10 + 7.12 + 6.14 + 3.16}}{{23}} \approx 12,26\) (giờ).

b) Gọi \({x_1};\,{x_2};...;\,{x_{23}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu trên là \({x_6} \in \left[ {9;\,11} \right)\).

Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là \({Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{1.23}}{4} - 2}}{5}.\left( {11 - 9} \right) = 10,5\).

Do \({Q_1}\) gần với 10 nên nhận định của chị Nga là hợp lí.