Câu hỏi:
19/08/2026 41
III. Hướng dẫn giải tự luận
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} + 9;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array} \right.\).
a) Chứng minh rằng dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_n} + 3\) là một cấp số nhân, tìm công bội và viết số hạng tổng quát của cấp số nhân này.
b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
III. Hướng dẫn giải tự luận
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} + 9;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array} \right.\).
a) Chứng minh rằng dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_n} + 3\) là một cấp số nhân, tìm công bội và viết số hạng tổng quát của cấp số nhân này.
b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: \({v_n} = {u_n} + 3 \Rightarrow {v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 3\)
Xét \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{u_{n + 1}} + 3}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{4{u_n} + 9 + 3}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{4\left( {{u_n} + 3} \right)}}{{{u_n} + 3}} = 4 \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = 4\) và \({v_1} = {u_1} + 3 = 2 + 3 = 5\).
\( \Rightarrow {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {5.4^{n - 1}}\).
Vậy cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({v_n} = {5.4^{n - 1}}\).
b) Gọi \[{T_n}\] là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) và \({S_n}\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Khi đó \({T_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n}\) và \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).
Ta có: \({T_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \left( {{u_1} + 3} \right) + \left( {{u_2} + 3} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3} \right)\)
\( = \left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) + 3n = {S_n} + 3n\)
\( \Rightarrow {S_n} = {T_n} - 3n\)
\( \Rightarrow {S_{10}} = {T_{10}} - 3.10 = \frac{{{v_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} - 3.10 = \frac{{5\left( {1 - {4^{10}}} \right)}}{{1 - 4}} - 30 = 1747595\).
Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của \(\left( {{u_n}} \right)\) là 1 747 595.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: \({v_n} = {u_n} + 3 \Rightarrow {v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 3\)
Xét \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{u_{n + 1}} + 3}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{4{u_n} + 9 + 3}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{4\left( {{u_n} + 3} \right)}}{{{u_n} + 3}} = 4 \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = 4\) và \({v_1} = {u_1} + 3 = 2 + 3 = 5\).
\( \Rightarrow {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {5.4^{n - 1}}\).
Vậy cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({v_n} = {5.4^{n - 1}}\).
b) Gọi \[{T_n}\] là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) và \({S_n}\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Khi đó \({T_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n}\) và \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).
Ta có: \({T_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \left( {{u_1} + 3} \right) + \left( {{u_2} + 3} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3} \right)\)
\( = \left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) + 3n = {S_n} + 3n\)
\( \Rightarrow {S_n} = {T_n} - 3n\)
\( \Rightarrow {S_{10}} = {T_{10}} - 3.10 = \frac{{{v_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} - 3.10 = \frac{{5\left( {1 - {4^{10}}} \right)}}{{1 - 4}} - 30 = 1747595\).
Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của \(\left( {{u_n}} \right)\) là 1 747 595.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tứ giác \(ABCD\) và \(S\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(I,J\) là hai điểm nằm trên \(AD\) và \(SB\). \(AD\) cắt \(BC\) tại \(O\) và \(OJ\) cắt \(SC\) tại \(M\).
a) Tìm giao điểm \(K\) giữa \(IJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
b) Xác định giao điểm \(L\) giữa \(DJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
c) Chứng minh rằng 4 điểm \(A,K,L,M\) thẳng hàng.
Câu 2:
Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), cho bốn điểm \(A,B,C,D\) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm \(S \notin {\rm{mp}}\left( \alpha \right)\). Có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi \(S\) và hai trong bốn điểm nói trên?
Câu 3:
Trong hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 5:
Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M,N,P,Q,R,T\) lần lượt là trung điểm \[AC,\] \[BD,BC,CD,SA,SD\]. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
Câu 6:
Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt \(a,b,c\), trong đó \(a{\rm{//}}b\).
Khẳng định nào sau đây không đúng?
Câu 7:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_5} = 4\) và \({u_7} = 9\). Giá trị của \({u_6}\) là
Câu 8:
Cho các điểm \(M,N\) trên đường tròn lượng giác như hình vẽ. Số đo của góc lượng giác \(\left( {ON,OM} \right)\) là
Câu 10:
Cho tứ diện \(ABCD\), \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {GAB} \right)\) là
Câu 11:
Điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \(\cos 2x = 1 - m\) có nghiệm là
Câu 12:
Cho phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Cho phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
