Câu hỏi:
19/08/2026 45
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}}\) với \(a,b,c,d\) là các số thực và \(cn + d > 0\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
a) Chứng minh rằng: Nếu \(ad - bc > 0\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy tăng, còn \(ad - bc < 0\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy giảm và khi \(ad - bc = 0\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy không thay đổi, tức là \({u_1} = {u_2} = ... = {u_n}\).
b) Tính giá trị của các số hạng trong dãy khi dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy không thay đổi.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}}\) với \(a,b,c,d\) là các số thực và \(cn + d > 0\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
a) Chứng minh rằng: Nếu \(ad - bc > 0\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy tăng, còn \(ad - bc < 0\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy giảm và khi \(ad - bc = 0\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy không thay đổi, tức là \({u_1} = {u_2} = ... = {u_n}\).
b) Tính giá trị của các số hạng trong dãy khi dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy không thay đổi.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
a) Xét \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}}\), ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + b}}{{c\left( {n + 1} \right) + d}} - \frac{{an + b}}{{cn + d}} = \frac{{an + \left( {a + b} \right)}}{{cn + \left( {c + d} \right)}} - \frac{{an + b}}{{cn + d}}\)
\( = \frac{{\left[ {an + \left( {a + b} \right)} \right]\left( {cn + d} \right) - \left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]\left( {an + b} \right)}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}\)
\( = \frac{{ac{n^2} + \left( {ad + ac + bc} \right)n + d\left( {a + b} \right) - \left[ {ac{n^2} + n\left( {bc + ac + ad} \right) + b\left( {c + d} \right)} \right]}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}\)
\( = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}\)
Vì \(c,d\) là các số thực thoả mãn \(cn + d > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right] > 0\).
Do đó, ta có các trường hợp sau:
Khi \(ad - bc > 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.
Khi \(ad - bc < 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} < 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm.
Khi \(ad - bc = 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} = 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Vậy \({u_1} = {u_2} = {u_3} = ... = {u_n}\), hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy không thay đổi.
b) \(ad - bc = 0 \Leftrightarrow ad = bc \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}\). Đặt \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = t\left( {t \ne 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = ct\\b = dt\end{array} \right.\).
Khi đó \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}} = \frac{{ct.n + dt}}{{cn + d}} = \frac{{t\left( {cn + d} \right)}}{{cn + d}} = t\) hay \({u_n} = \frac{a}{c}\).
Vậy \({u_n} = \frac{a}{c}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Hướng dẫn giải:
a) Xét \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}}\), ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + b}}{{c\left( {n + 1} \right) + d}} - \frac{{an + b}}{{cn + d}} = \frac{{an + \left( {a + b} \right)}}{{cn + \left( {c + d} \right)}} - \frac{{an + b}}{{cn + d}}\)
\( = \frac{{\left[ {an + \left( {a + b} \right)} \right]\left( {cn + d} \right) - \left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]\left( {an + b} \right)}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}\)
\( = \frac{{ac{n^2} + \left( {ad + ac + bc} \right)n + d\left( {a + b} \right) - \left[ {ac{n^2} + n\left( {bc + ac + ad} \right) + b\left( {c + d} \right)} \right]}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}\)
\( = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}\)
Vì \(c,d\) là các số thực thoả mãn \(cn + d > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right] > 0\).
Do đó, ta có các trường hợp sau:
Khi \(ad - bc > 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.
Khi \(ad - bc < 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} < 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm.
Khi \(ad - bc = 0\) thì \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} = 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Vậy \({u_1} = {u_2} = {u_3} = ... = {u_n}\), hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy không thay đổi.
b) \(ad - bc = 0 \Leftrightarrow ad = bc \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}\). Đặt \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = t\left( {t \ne 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = ct\\b = dt\end{array} \right.\).
Khi đó \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}} = \frac{{ct.n + dt}}{{cn + d}} = \frac{{t\left( {cn + d} \right)}}{{cn + d}} = t\) hay \({u_n} = \frac{a}{c}\).
Vậy \({u_n} = \frac{a}{c}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho điểm \(A\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa tam giác \(BCD\). Lấy \(E,F\) là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh \(AB,AC\). Khi \[EF\] và \(BC\) cắt nhau tại \(I\), thì \(I\) không phải là điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?
Câu 2:
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin \left( {2x} \right) = {\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) trong khoảng \(\left[ {0;6} \right]\) là
Câu 3:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là
Câu 4:
III. Hướng dẫn giải tự luận
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\);
b) \( - 2{\cos ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\).
c) \(3\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sin 2x + 3 = 0\).
III. Hướng dẫn giải tự luận
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\);
b) \( - 2{\cos ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\).
c) \(3\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sin 2x + 3 = 0\).
Câu 5:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang đáy lớn là \(AB\). Gọi \(M\), \(N\)lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SB\).
a) Chứng minh rằng: \(MN{\rm{//}}CD\).
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
c) Gọi \(P\) là giao điểm giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\). Kéo dài \(AN\) và \(DP\) cắt nhau tại \(I\). Chứng minh rằng \[SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\]. Tứ giác \(SIBA\) là hình gì?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang đáy lớn là \(AB\). Gọi \(M\), \(N\)lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SB\).
a) Chứng minh rằng: \(MN{\rm{//}}CD\).
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
c) Gọi \(P\) là giao điểm giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\). Kéo dài \(AN\) và \(DP\) cắt nhau tại \(I\). Chứng minh rằng \[SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\]. Tứ giác \(SIBA\) là hình gì?
Câu 6:
Điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = m\) có nghiệm là
Câu 7:
Hải lí là một đơn vị hàng hải, được tính bằng độ dài một cung chắn một góc \(\alpha = \left( {\frac{1}{{60}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array}\) của đường kinh tuyến (hình vẽ dưới đây). Biết bán kính trung bình Trái Đất là 6 371 km. Độ dài 1 hải lí là (làm tròn đến hàng phần trăm)
