III. Hướng dẫn giải tự luận

 Giải các phương trình sau:

a) \(\sin 3x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = 0\); 

b) \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\);

c) \(\cos 3x + \cos 2x + \cos x + 1 = 0\).

Hướng dẫn giải:

a) \(\sin 3x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = 0 \Leftrightarrow - \sin 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 3x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3} - x = \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \\\frac{\pi }{3} - x = - \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{24}} - \frac{{k\pi }}{2}\\x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{{24}} - \frac{{k\pi }}{2}; - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

b) \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

c) \(\cos 3x + \cos 2x + \cos x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\cos 3x + \cos x} \right) + \left( {\cos 2x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x + 2{\cos ^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 2x + \cos x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 4\cos x.\cos \frac{{3x}}{2}.\cos \frac{x}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos \frac{{3x}}{2} = 0\\\cos \frac{x}{2} = 0\end{array} \right.\)

TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

TH2: \(\cos \frac{{3x}}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{2} + m\pi ,m \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}\).

TH3: \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + n\pi ,n \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \pi + 2n\pi ,n \in \mathbb{Z}\).

Kết hợp 3 nghiệm của 3 phương trình trên vòng tròn lượng giác như sau:

Nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) được biểu diễn bởi các điểm \(B,\,\,B'\).

Nghiệm \(\frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}\) được biểu diễn bởi các điểm \({B_1},{B_2},{B_3}\).

Nghiệm \(\pi + 2n\pi ,n \in \mathbb{Z}\) được biểu diễn bởi điểm \({B_2}\).

\( \Rightarrow \) phương trình đã cho có các nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{3} + \frac{{2k\pi }}{3};k \in \mathbb{Z}} \right\}\).