Câu hỏi:
19/08/2026 37
Tìm ba số thực phân biệt \(x\), \(y\), \(z\) lập thành một cấp số nhân, biết rằng \(x\), \(2y\) và \(3z\) cũng lập thành một cấp số cộng và \(x + 1\), \(y + 2\) và \(z + 1\) cũng lập thành một cấp số nhân.
Tìm ba số thực phân biệt \(x\), \(y\), \(z\) lập thành một cấp số nhân, biết rằng \(x\), \(2y\) và \(3z\) cũng lập thành một cấp số cộng và \(x + 1\), \(y + 2\) và \(z + 1\) cũng lập thành một cấp số nhân.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Vì \(x\), \(y\), \(z\) lập thành một cấp số nhân nên \(y = xq\), \(z = yq = x{q^2}\), \(q \ne 0\).
Vì \(x,2y,3z\) lập thành cấp số cộng nên \(2y - x = 3z - 2y \Leftrightarrow 3z - 4y + x = 0\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x{q^2} - 4xq + x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {3{q^2} - 4q + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\3{q^2} - 4q + 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Nếu \(x = 0\) thì \(y = z = 0\), điều này mâu thuẫn với đề bài là \(x\), \(y\), \(z\) phân biệt.
Khi đó \(3{q^2} - 4q + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {3q - 1} \right)\left( {q - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\q = 1\end{array} \right.\).
Vì \(x\), \(y\), \(z\) là 3 số thực phân biệt nên \(q \ne 1\), do đó \(q = \frac{1}{3}\), hay \(y = \frac{x}{3},z = \frac{x}{9}\).
Mặt khác, \(x + 1\), \(y + 2\) và \(z + 1\) cũng lập thành một cấp số nhân nên ta có:
\(\frac{{y + 2}}{{x + 1}} = \frac{{z + 1}}{{y + 2}} \Rightarrow {\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right) \Leftrightarrow {\left( {\frac{x}{3} + 2} \right)^2} = \left( {\frac{x}{9} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{4x}}{3} + 4 = \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{10x}}{9} + 1 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{9} = - 3 \Leftrightarrow x = - \frac{{27}}{2}\)
\( \Rightarrow y = - \frac{9}{2};z = - \frac{3}{2}\).
Vậy \(\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{{27}}{2}; - \frac{9}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Vì \(x\), \(y\), \(z\) lập thành một cấp số nhân nên \(y = xq\), \(z = yq = x{q^2}\), \(q \ne 0\).
Vì \(x,2y,3z\) lập thành cấp số cộng nên \(2y - x = 3z - 2y \Leftrightarrow 3z - 4y + x = 0\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x{q^2} - 4xq + x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {3{q^2} - 4q + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\3{q^2} - 4q + 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Nếu \(x = 0\) thì \(y = z = 0\), điều này mâu thuẫn với đề bài là \(x\), \(y\), \(z\) phân biệt.
Khi đó \(3{q^2} - 4q + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {3q - 1} \right)\left( {q - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\q = 1\end{array} \right.\).
Vì \(x\), \(y\), \(z\) là 3 số thực phân biệt nên \(q \ne 1\), do đó \(q = \frac{1}{3}\), hay \(y = \frac{x}{3},z = \frac{x}{9}\).
Mặt khác, \(x + 1\), \(y + 2\) và \(z + 1\) cũng lập thành một cấp số nhân nên ta có:
\(\frac{{y + 2}}{{x + 1}} = \frac{{z + 1}}{{y + 2}} \Rightarrow {\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right) \Leftrightarrow {\left( {\frac{x}{3} + 2} \right)^2} = \left( {\frac{x}{9} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{4x}}{3} + 4 = \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{10x}}{9} + 1 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{9} = - 3 \Leftrightarrow x = - \frac{{27}}{2}\)
\( \Rightarrow y = - \frac{9}{2};z = - \frac{3}{2}\).
Vậy \(\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{{27}}{2}; - \frac{9}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho cấp số nhân có \({u_1} = 3\) và \(q = 2\). Biết rằng tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 3069. Giá trị của \(n\) là
Câu 2:
Phương trình \[{\rm{cos}}\left( {\frac{x}{2}} \right) = \cos \left( {135^\circ - x} \right)\] có tập nghiệm là
Câu 3:
III. Hướng dẫn giải tự luận
Giải các phương trình sau:
a) \[\cos x.\left( {2\sin x - \sqrt 3 } \right) = 0\];
b) \(5\sin x - \sin 2x = 0\);
c) \(2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2 = 0\).
III. Hướng dẫn giải tự luận
Giải các phương trình sau:
a) \[\cos x.\left( {2\sin x - \sqrt 3 } \right) = 0\];
b) \(5\sin x - \sin 2x = 0\);
c) \(2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2 = 0\).
Câu 4:
Biểu diễn các góc \(\alpha = \frac{\pi }{8};\) \(\beta = \frac{{9\pi }}{8};\) \(\gamma = \frac{{17\pi }}{8};\) \(\delta = - \frac{{15\pi }}{8}\) trên đường tròn lượng giác. Các góc có điểm biểu diễn trùng nhau là
Câu 5:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có các số hạng đầu là 1; 2; 4; 8;… Công bội của cấp số nhân là
Câu 7:
Một khu rừng có trữ lượng gỗ là \({8.10^5}\) m3. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây trong rừng là \(4,5\% \) mỗi năm. Hỏi sau 10 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu m3 gỗ (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Câu 11:
Cho tam giác \(ABC\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Qua 4 điểm \(A,B,C,G\) ta xác định được bao nhiêu mặt phẳng?
