Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 có đáp án (8 đề)

Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 có đáp án (8 đề)

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2021 - 2022

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 45 phút

Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 có đáp án đề số 1

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 3 điểm ) Chọn đáp án đúng trong mỗi câu sau:

Câu 1 (TH). Tập nghiệm của bất phương trình  là:

A. $\left(\left.-\infty ;-3\right]\right.\cup \left[\left.4;+\infty \right)\right.$.                                 

B. $\varnothing$ .                         

C. $\left(\left.-\infty ;-4\right]\right.\cup \left[\left.3;+\infty \right)\right.$ .

D. $\left[-3;4\right]$ .

Lời giải

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [ -3; 4].

Chọn  D

 

Câu 2 (TH). Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{x+1}{2-x}<0$  là:

A. $\left[-1;2\right]$ .                  

B. $\left(-1;2\right)$                   

C. $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(2;+\infty \right)$ . 

D. $\left[\left.-1;2\right)\right.$ .

Lời giải

ĐKXĐ: $2-\mathrm{x}\ne 0\iff \mathrm{x}\ne 2$

Đặt . Ta có bảng:

x	$-\infty$	-1	2	$+\infty$
x + 1		0           +		+
$2-\mathrm{x}$	+	+	0	-
$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$	-	0            +		-

Vậy $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)<0\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}<-1\\ \mathrm{x}>2\end{array}\right.$nen tập nghiệm của phương trình là $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(2;+\infty \right)$

Chọn  C

Câu 3 (VD). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để với mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{R}$  , biểu thức $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+\left(\mathrm{m}+2\right)\mathrm{x}+8\mathrm{m}+1$ luôn nhận giá trị dương?

A. 27

B. 28

C. Vô số

D. 26

Lời giải

Ta có: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+\left(\mathrm{m}+2\right)\mathrm{x}+8\mathrm{m}+1>0$ với mọi x

$\begin{array}{l}\iff \mathrm{\Delta }={\left(\mathrm{m}+2\right)}^2-4.\left(8\mathrm{m}+1\right)<0\iff {\mathrm{m}}^2-28\mathrm{m}<0\\ \iff \mathrm{m}(\mathrm{m}-28)<0\iff 0<\mathrm{m}<28\\ \Rightarrow \mathrm{m}\in \mathrm{Z}\Rightarrow \mathrm{m}=\left\{1;2;3;...;27\right\}\end{array}$

Vậy có 27 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn A

Câu 4 (NB). Cho bảng số liệu thống kê điểm kiểm tra 1 tiết môn Toán của 40 học sinh như sau:

Điểm	3	4	5	6	7	8	9	10	Cộng
Số học sinh	2	3	7	18	3	2	4	1	40

Số trung vị  và mốt  của bảng số liệu thống kê trên là:

A. = 8; = 40.    

B. = 6; = 18.     

C. =6,5; = 6.      

D. =7; = 6.

Lời giải

Dựa vào bảng số liệu thống kê ta thấy ${\mathrm{M}}_{\mathrm{e}}=\frac{6+7}{2}=6,5;{\mathrm{M}}_{\mathrm{o}}=6$

Chọn  C.

Câu 5 (TH). Biểu thức $\mathrm{P}=\sin \left(\mathrm{\pi }+\mathrm{x}\right)-\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)+\cot \left(2\mathrm{\pi }-\mathrm{x}\right)+\tan \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)$  có biểu thức rút gọn là:

A. $\mathrm{P}=2\mathrm{sinx}$              

B. $\mathrm{P}=-2\mathrm{sinx}$            

C. $\mathrm{P}=0$                      

D. $\mathrm{P}=-2\mathrm{cotx}$

Lời giải

$\begin{array}{l}\mathrm{P}=\sin \left(\mathrm{\pi }+\mathrm{x}\right)-\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)+\cot \left(2\mathrm{\pi }-\mathrm{x}\right)+\tan \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)\\ =\sin \left(-\mathrm{x}\right)-\mathrm{sinx}+\cot \left(-\mathrm{x}\right)+\tan \left(\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)\\ =-\mathrm{sinx}-\mathrm{sinx}-\mathrm{cotx}-\cot \left(\mathrm{\pi }-\mathrm{x}\right)\\ =-2\mathrm{sinx}-\mathrm{cotx}+\mathrm{cotx}=-2\mathrm{sinx}\end{array}$

Chọn  B

Câu 6 (VD). Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ ( AB = 4,3cm; BC = 3,7cm; CA = 7,5cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy)

A. 5,73 cm                 

B. 6,01 cm                 

C. 5,85 cm                 

D. 4,57 cm

Lời giải

Dễ thấy bán kính của chiếc đĩa là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Tam giác ABC có nửa chu vi $\mathrm{p}=\frac{4,3+3,7+4,5}{2}=7,75$

$\begin{array}{l}\mathrm{S}=\frac{\mathrm{abc}}{4\text{R}}\Rightarrow \mathrm{R}=\frac{\mathrm{abc}}{4\text{S}}=\frac{\mathrm{abc}}{4\sqrt{\mathrm{p}\left(\mathrm{p}-\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{p}-\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{p}-\mathrm{c}\right)}}\\ =\frac{4,3.3,7.7,5}{4\sqrt{7,75\left(7,75-4,3\right)\left(7,75-3,7\right)\left(7,75-7,5\right)}}\approx 5,73\mathrm{cm}\end{array}$

Chọn A

Câu 7 (TH). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm $\mathrm{A}\left(3;-1\right)$ , $\mathrm{B}\left(-6;2\right)$  là:

A. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2\mathrm{t}\end{array}\right.$        

B. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1-\mathrm{t}\end{array}\right.$          

C. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-6-\mathrm{t}\end{array}\right.$            

D. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1+\mathrm{t}\end{array}\right.$

Lời giải

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(-9;3\right)=-3.\left(3;-1\right)\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}}//\overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(3;-1\right)$

Đường thẳnng đi qua 2 điểm $\mathrm{A}\left(3;-1\right),\mathrm{B}\left(-6;2\right)$  nên nhận  làm VTCP

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1-\mathrm{t}\end{array}\right.$

Chọn B.

Câu 8 (TH). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  là phương trình đường tròn.

A. 1

B. m< - 2 hoặc m > - 1    

C. m < - 2hoặc m > 1                                    

D. m<  1 hoặc m>  2

Lời giải

Phương trình ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-2\left(\mathrm{m}+2\right)\mathrm{x}+4\mathrm{my}+19\mathrm{m}-6=0$  là phương trình đường tròn

$\begin{array}{l}\iff {\left(\mathrm{m}+2\right)}^2+{\left(2\mathrm{m}\right)}^2-\left(19\mathrm{m}-6\right)>0\\ \iff 5{\mathrm{m}}^2-15\mathrm{m}+10>0\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{m}<1\\ \mathrm{m}>2\end{array}\right.\end{array}$

Chọn D

II. PHẦN TỰ LUẬN (7 điểm)

Câu 1 (VD). Giải các bất phương trình sau

   a) $\frac{{\mathrm{x}}^2-3{\text{x}}^2-4}{\mathrm{x}-1}\le 0$                                        

b) $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2017}\le \sqrt{2018}\mathrm{x}$

Lời giải

a) $\frac{{\mathrm{x}}^2-3\text{x}-4}{\mathrm{x}-1}\le 0$

ĐKXĐ: $\mathrm{x}\ne 1$

Ta có: ${\mathrm{x}}^2-3\text{x}-4=\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}-4\right)$

Đặt $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2-3\text{x}-4}{\mathrm{x}-1}$ . Ta có bảng:

x	$-\infty$	-1	1	4                 $+\infty$
${\mathrm{x}}^2-3\text{x}-4$	+	0         $-$	$-$	0
$\mathrm{x}-1$	$-$	$-$	0         +	+
$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$	$-$	0         +	$-$	0         +

 

Vậy $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\le 0\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}\le -1\\ 1<\mathrm{x}\le 4\end{array}\right.$Tập nghiệm của phương trình là $\left(\left.-\infty ;-1\right]\right.\cup \left(\left.1;4\right]\right.$ .

b) $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2017}\le \sqrt{2018}\mathrm{x}$$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 0\\ {\mathrm{x}}^2+2017\le 2018{\mathrm{x}}^2\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $\left[\left.1;+\infty \right)\right.$

 

Câu 2 (VD) (1,5 điểm).

Cho góc α thỏa mãn $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\mathrm{\alpha }<\mathrm{\pi }$  và $\sin \frac{\mathrm{\alpha }}{2}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ . Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{A}=\tan \left(\frac{\mathrm{\alpha }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$ .

Lời giải

Vì $\mathrm{\alpha }$  thỏa mãn $\Rightarrow \frac{\mathrm{\pi }}{4}<\frac{\mathrm{\alpha }}{2}<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\Rightarrow \cos \frac{\mathrm{\alpha }}{2}>0$ .

$\begin{array}{l}\sin \frac{\mathrm{\alpha }}{2}=\frac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow \cos \frac{\mathrm{\alpha }}{2}=\sqrt{1-{\sin }^2\frac{\mathrm{\alpha }}{2}}=\sqrt{1-\frac{4}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \Rightarrow \tan \frac{\mathrm{\alpha }}{2}=\frac{\sin \frac{\mathrm{\alpha }}{2}}{\cos \frac{\mathrm{\alpha }}{2}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=2\end{array}$

$\Rightarrow \mathrm{A}=\tan \left(\frac{\mathrm{\alpha }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{\tan \frac{\mathrm{\alpha }}{2}-\tan \frac{\mathrm{\pi }}{4}}{1+\tan \frac{\mathrm{\alpha }}{2}.\tan \frac{\mathrm{\pi }}{4}}=\frac{2-1}{1+2.1}=\frac{1}{3}$

Câu 3 (VD) . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(3;1), đường thẳng $\mathrm{\Delta }:3\text{x}+4\mathrm{y}+1=0$  và đường tròn $\left(\mathrm{C}\right)$: ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-2\text{x}-4\mathrm{y}+3=0$

a) Tìm tọa độ tâm, tính bán kính của đường tròn $\left(\mathrm{C}\right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $\left(\mathrm{C}\right)$ biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ .

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua điểm A và cắt đường tròn $\left(\mathrm{C}\right)$ tại hai điểm B, C sao cho .

c) Tìm tọa độ điểm $\mathrm{M}\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ nằm trên đường tròn $\left(\mathrm{C}\right)$ sao cho biểu thức $\mathrm{T}={\mathrm{x}}_0+{\mathrm{y}}_0$đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

lời giải

a)

+) Đường tròn $\left(\mathrm{C}\right):{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-2\mathrm{x}-4\mathrm{y}+3=0$ có tâm $\mathrm{I}\left(1;2\right)$,bán kính $\mathrm{R}=\sqrt{1^2+2^2-3}=\sqrt{2}$

+) Gọi ${\mathrm{\Delta }}_1$ là trình tiếp tuyến của đường tròn  (C ) song song với đường thẳng $\mathrm{\Delta }$

 $\Rightarrow {\mathrm{\Delta }}_1$ có phương trình dạng $3\mathrm{x}+4\mathrm{y}+\mathrm{m}=0$

Vì ${\mathrm{\Delta }}_1$ là trình tiếp tuyến của đường tròn (C) nên $\mathrm{d}\left(\mathrm{I};{\mathrm{\Delta }}_1\right)=\mathrm{R}$

.$\begin{array}{l}\iff \frac{\left|3.1+4.2+\mathrm{m}\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\sqrt{2}\iff \left|\mathrm{m}+11\right|=5\sqrt{2}\\ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{m}+11=5\sqrt{2}\\ \mathrm{m}+11=-5\sqrt{2}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{m}=-11+5\sqrt{2}\\ \mathrm{m}=-11-5\sqrt{2}\end{array}\right.\left(\mathrm{tm}\right)\end{array}$

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn đề bài là $3\mathrm{x}+4\mathrm{y}-11-5\sqrt{2}=0$ và $3\mathrm{x}+4\mathrm{y}-11+5\sqrt{2}=0$

b)

Nhận thấy $\mathrm{BC}=2\sqrt{2}=2\mathrm{R}\Rightarrow \mathrm{BC}$  là đường kính $\Rightarrow \mathrm{I}\in \mathrm{d}$ .

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\left(-2;1\right)$

Đường thẳng đi qua 2 điểm A và I nên nhận $\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(1;2\right)$ làm VTPT

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

 $1\left(\mathrm{x}-3\right)+2\left(\mathrm{y}-1\right)=0\iff \mathrm{x}+2\mathrm{y}-5=0$

c)

Vì điểm $\mathrm{M}\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ nằm trên đường tròn $\left(\mathrm{C}\right)$ nên ta có: ${{\mathrm{x}}_0}^2+{{\mathrm{y}}_0}^2-2{\mathrm{x}}_0-4{\mathrm{y}}_0+3=0$  (*)

$\mathrm{T}={\mathrm{x}}_0+{\mathrm{y}}_0\Rightarrow {\mathrm{y}}_0=\mathrm{T}-{\mathrm{x}}_0$. Thế vào (*) ta được:

${{\mathrm{x}}_0}^2+{\left(\mathrm{T}-{\mathrm{x}}_0\right)}^2-2{\mathrm{x}}_0-4\left(\mathrm{T}-{\mathrm{x}}_0\right)+3=0$

$\iff 2{{\mathrm{x}}_0}^2+2\left(1-\mathrm{T}\right){\mathrm{x}}_0+{\mathrm{T}}^2-4\mathrm{T}+3=0$ (**)

Vì cần tồn tại điểm $\mathrm{M}\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$$\in \left(\mathrm{C}\right)$ nên phương trình (**) phải có nghiệm

$\iff {\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}={\left(1-\mathrm{T}\right)}^2-2\left({\mathrm{T}}^2-4\mathrm{T}+3\right)\ge 0\iff {\mathrm{T}}^2-6\mathrm{T}+5\le 0\iff 1\le \mathrm{T}\le 5$

+) Với  T = 1 (**)$\iff 2{{\mathrm{x}}_0}^2=0\iff {\mathrm{x}}_0=0\Rightarrow {\mathrm{y}}_0=\mathrm{T}-{\mathrm{x}}_0=1\Rightarrow {\mathrm{M}}_1\left(0;1\right)$

+) Với  T = 5 (**)$\iff 2{{\mathrm{x}}_0}^2-8{\mathrm{x}}_0+8=0\iff {\mathrm{x}}_0=2\Rightarrow {\mathrm{y}}_0=\mathrm{T}-{\mathrm{x}}_0=3\Rightarrow {\mathrm{M}}_2\left(2;3\right)$

Vậy MinT = 1 khi M(0; 1), Max T = 5 khi M (2; 3).

Câu 4 (VDC)  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $\mathrm{y}=4{\text{x}}^2+\sqrt{2{\text{x}}^2+3\text{x}+2}+6\text{x}+2018$ trên đoạn [ 0; 2].

Lời giải

Ta có hàm số:

$\mathrm{y}=4{\text{x}}^2+\sqrt{2{\text{x}}^2+3\text{x}+2}+6\text{x}+2018=2\left(2{\text{x}}^2+3\text{x}+2\right)+\sqrt{2{\text{x}}^2+3\text{x}+2}+2014$

Đặt $\mathrm{t}=\sqrt{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+2}\left(\mathrm{t}\ge 0\right)\Rightarrow {\mathrm{t}}^2=2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+2$

Khi đó ta có hàm số: $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)=2{\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}+2014$

Xét $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=2{\text{x}}^2+3\text{x}+2$ với $\mathrm{x}\in \left[0;2\right]$

Ta có bảng:

$\Rightarrow$Với $\mathrm{x}\in \left[0;2\right]$ thì $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\in \text{[}2;16]$

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)=2{\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}+2014$ trên đoạn $\left[\sqrt{2};4\right]$ .

Ta có bảng;

 

Vậy GTNN của hàm số bằng $2018+\sqrt{2}$ đạt được khi $\mathrm{t}=\sqrt{2}$ hay x = 0.

Vậy GTLN của hàm số bằng  2050 đạt được t = 4 hay x = 2 .

 

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2021 - 2022

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 45 phút

Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 có đáp án đề số 2

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 5 điểm) Chọn đáp án đúng trong mỗi câu sau:

Câu 1 (NB). Cho tanx =2. Giá trị của biểu thức $\mathrm{P}=\frac{4\mathrm{sinx}+5\mathrm{cosx}}{2\mathrm{sinx}-3\mathrm{cosx}}$ là

A. 2.                          

B. 13.                         

C. –9.                        

D. –2.

Lời giải

 

Ta có :$\mathrm{tanx}=\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cosx}}\Rightarrow 2=\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cosx}}\iff \mathrm{sinx}=2\mathrm{cosx}$ thế vào P

$\Rightarrow \mathrm{P}=\frac{4.2\mathrm{cosx}+5\mathrm{cosx}}{2.2\mathrm{cosx}-3\mathrm{cosx}}=\frac{13\mathrm{cosx}}{\mathrm{cosx}}=13$

Chọn B.

Câu 2 (VD). Bất phương trình $\left(16-{\mathrm{x}}^2\right)\sqrt{\mathrm{x}-3}\le 0$  có tập nghiệm là

A. $\left(-\infty ;-4\right]\cup \left[4;+\infty \right)$                  

B. [3; 4].       

C. $\left[4;+\infty \right).$                                  

D. $\left\{3\right\}\cup \left[4;+\infty \right).$

Lời giải

ĐKXĐ: $\mathrm{x}-3\ge 0\iff \mathrm{x}\ge 3$  

Đặt $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(16-{\mathrm{x}}^2\right)\sqrt{\mathrm{x}-3}$. Ta có bảng:

Vậy  $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\le 0\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=3\\ \mathrm{x}\ge 4\end{array}\right.\Rightarrow$ Tập nghiệm của phương trình là $\left\{3\right\}\cup \left[4;+\infty \right).$ 

Chọn D.

 

Câu 3 (NB). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elíp ( E ) có phương trình chính tắc là $\frac{{\mathrm{x}}^2}{25}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{9}=1$ . Tiêu cự của ( E) là.

A. 8.                          

B. 4.                           

C. 2.                          

D.16.

Lời giải

$\begin{array}{l}{\mathrm{a}}^2=25;{\mathrm{b}}^2=9\\ {\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2={\mathrm{b}}^2=16\Rightarrow \mathrm{c}=4\end{array}$

Ta có: Tiêu cự của  là 2c = 2.4 = 8

Chọn A.

 

Câu 4 (TH). Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=2\\ {\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+{\mathrm{xy}}^2=2{\mathrm{m}}^2\end{array}\right.$, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ trên có nghiệm.

A. $\mathrm{m}\in \left[-1;1\right]$ .            

B. $\mathrm{m}\in \left[1;+\infty \right).$            

C. $\mathrm{m}\in \left[-1;2\right].$               

D. $\mathrm{m}\in \left(-\infty ;-1\right].$

Lời giải

Phương pháp:

+) Biến đổi hệ phương trình sử dụng phương pháp rút thế.

+) Phương trình bậc 2 có nghiệm $\iff ∆\ge 0$  

Cách giải:

 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=2\\ {\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+{\mathrm{xy}}^2=2{\mathrm{m}}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=2\\ \mathrm{xy}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=2{\mathrm{m}}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=2\\ \mathrm{xy}={\mathrm{m}}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-\mathrm{y}\\ \left(2-\mathrm{y}\right)\mathrm{y}={\mathrm{m}}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-\mathrm{y}\\ {\mathrm{y}}^2-2\mathrm{y}+{\mathrm{m}}^2=0\left(1\right)\end{array}\right.$

 

Để hệ phương trình có nghiệm $\iff \left(1\right)$ có nghiệm

$\iff {\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}=1^2-{\mathrm{m}}^2=1-{\mathrm{m}}^2\ge 0\iff {\mathrm{m}}^2\le 1\iff \mathrm{m}\in \left[-1;1\right]$

Chọn A.

 

Câu 5 (VD). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A( -3 ; 5) ; B(1 ; 3) và đường thẳng d : 2x – y -1 = 0, đường thẳng AB cắt d tại I . Tính tỷ số $\frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{IB}}$  

A. 6.                          

B. 2.                           

C. 4.                          

D. 1.

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(4;-2\right)=2\left(2;-1\right)$ đường thẳng d có VTCP là $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(1;2\right)\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{u}}$ 

$\Rightarrow$Đường thẳng (AB) vuông góc với đường thẳng (d)

Đường thẳng AB cắt d tại I nên IA; IB  lần lượt là khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d

$\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{IA}=\mathrm{d}\left(\mathrm{A};\mathrm{d}\right)=\frac{\left|-6-5-1\right|}{\sqrt{4+1}}=\frac{12}{\sqrt{5}};\\ \mathrm{IB}=\mathrm{d}\left(\mathrm{B};\mathrm{d}\right)=\frac{\left|-2-3-1\right|}{\sqrt{4+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow \frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{IB}}=6.\end{array}$

Chọn A

 

Câu 6 (VD). Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:3\mathrm{x}-4\mathrm{y}-19=0$ và đường tròn $\left(\mathrm{C}\right):{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-1\right)}^2=25$ . Biết đường thẳng  cắt ( C) tại hai điểm phân biệt A và B, khi đó độ dài đoạn thẳng AB là

A. 6.                          

B. 3.                           

C. 4.                          

D. 8.

Lời giải

Đường tròn (C )  có:

     tâm O(1; 1) bán kính R = OA  = OB = 5

Gọi I là hình chiếu của O trên AB.

 $\Rightarrow \mathrm{OI}=\mathrm{d}\left(\mathrm{O};\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|3-4-19\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{20}{5}=4$

$\Rightarrow \mathrm{AB}=2.\mathrm{AI}=2.\sqrt{{\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OI}}^2}=2\sqrt{25-16}=6$

 

Chọn A.

 

Câu 7 (VDC). Cho a, b, c,d  là các số thực thay đổi thỏa mãn ${\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2=2,{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{d}}^2+25=6\mathrm{c}+8\mathrm{d}$

. Tìm giá trị lớn nhất của $\mathrm{P}=3\mathrm{c}+4\mathrm{d}-\left(\mathrm{ac}+\mathrm{bd}\right)$

A. $25+4\sqrt{2}.$              

B. $25+5\sqrt{2}.$               

C. $25-5\sqrt{2}.$              

D. $25+\sqrt{10}.$  

Lời giải:

Ta có: ${\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2=2\Rightarrow \left(\frac{{\mathrm{a}}^2}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{{\mathrm{b}}^2}{\sqrt{2}}\right)=1\Rightarrow$Gọi a là góc có $\mathrm{sin\alpha }=\frac{\mathrm{\alpha }}{\sqrt{2}};\mathrm{cos\alpha }=\frac{\mathrm{b}}{\sqrt{2}}$

Lại có: ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1\Rightarrow$Gọi $\mathrm{\beta }$ là góc có $\mathrm{sin\beta }=\frac{3}{5};\mathrm{cos\beta }=\frac{4}{5}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{a}}{\sqrt{2}}.\frac{3}{5}+\frac{\mathrm{b}}{\sqrt{2}}.\frac{4}{5}=\mathrm{sin\alpha sin\beta }+\mathrm{cos\alpha cos\beta }=\cos \left(\mathrm{\alpha }-\mathrm{\beta }\right)\ge -1$

 $\Rightarrow 3\mathrm{a}+4\mathrm{b}\ge -5\sqrt{2}.$

Ta có:

 ${\mathrm{c}}^2+{\mathrm{d}}^2+25=6\mathrm{c}+8\mathrm{d}\iff \left({\mathrm{c}}^2-6\mathrm{c}+9\right)+\left({\mathrm{d}}^2-8\mathrm{d}+16\right)=0\iff {\left(\mathrm{c}-3\right)}^2+{\left(\mathrm{d}-4\right)}^2=0\left(*\right)$

Mà $\left\{\begin{array}{l}{\left(\mathrm{c}-3\right)}^2\ge 0\forall \mathrm{c}\\ {\left(\mathrm{d}-4\right)}^2\ge 0\forall \mathrm{d}\end{array}\right.\Rightarrow \left(*\right)\iff \mathrm{c}-3=\mathrm{d}-4=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{c}=3\\ \mathrm{d}=4\end{array}\right.$   

Khi đó $\mathrm{P}=9+16-\left(3\mathrm{a}+4\mathrm{b}\right)=25-\left(3\mathrm{a}+4\mathrm{b}\right)\le 25-\left(-5\sqrt{2}\right)=25+5\sqrt{2}$

Chọn B.

 

Câu 8 (NB). Cho đường thẳng d : 7x + 3y -1= 0. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của d?

A. $\overrightarrow{\mathrm{u}}=(7;3)$ .               

B. $\overrightarrow{\mathrm{u}}=(3;7)$                 

C. $\overrightarrow{\mathrm{u}}=(-3;7)$              

D. $\overrightarrow{\mathrm{u}}=(2;3)$  

Lời giải

Đường thẳng d có VTPT $\overrightarrow{\mathrm{n}}(7;3)$ nên nhận  là 1 VTCP

Chọn C.

Câu 9 (TH). Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{2\mathrm{x}-1}\ge \frac{1}{2\mathrm{x}+1}$  là

A. $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right]\cup \left[\frac{1}{2};+\infty \right).$

B. $\left(\frac{1}{2};+\infty \right).$                

C. $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right).$                                                  

D. $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right).$  

 

Lời giải

ĐKXĐ: $\mathrm{x}\ne \pm \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{2\mathrm{x}-1}\ge \frac{1}{2\mathrm{x}+1}\iff \frac{1}{2\mathrm{x}-1}-\frac{1}{2\mathrm{x}+1}\ge 0\iff \frac{2}{4{\mathrm{x}}^2-1}\ge 0\iff 4{\mathrm{x}}^2-1\ge 0\\ \iff {\mathrm{x}}^2\ge \frac{1}{4}\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge \frac{1}{2}\\ \mathrm{x}\le -\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}$

 

Kết hợp ĐKXĐ nên tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right).$

Chọn D.

 

Câu 10 (TH). Cho $\mathrm{sin\alpha }=\frac{3}{5}\left({90}^0<\mathrm{\alpha }<{180}^0\right)$ . Tính $\mathrm{cot\alpha }$ .

A. $\mathrm{cot\alpha }=\frac{3}{4}.$                 

B. $\mathrm{cot\alpha }=\frac{4}{3}.$              

C. $\mathrm{cot\alpha }=-\frac{4}{3}.$              

D. $\mathrm{cot\alpha }=-\frac{3}{4}.$

Lời giải

Cách giải:

Ta có: $\mathrm{sin\alpha }=\frac{3}{5}\Rightarrow {\sin }^2\mathrm{\alpha }=\frac{9}{25}\Rightarrow {\cos }^2\mathrm{\alpha }=1-\frac{9}{26}=\frac{16}{25}$  

Do ${90}^0<\mathrm{\alpha }<{180}^0\Rightarrow \mathrm{cos\alpha }<0\Rightarrow \mathrm{cos\alpha }=\frac{-4}{5}\Rightarrow \mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}=\frac{-4}{3}$  

Chọn C.

 

Câu 11. (TH). Tập nghiệm của bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+3<4+2\mathrm{x}\\ 5\mathrm{x}-3<4\mathrm{x}-1\end{array}\right.$là

A. $\left(-\infty ;-1\right).$                

B. $\left(-4;-1\right).$                

C. $\left(-\infty ;2\right).$                 

D. $\left(-1;2\right).$  

 

Lời giải

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+3<4+2\mathrm{x}\\ 5\mathrm{x}-3<4\mathrm{x}-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}>-1\\ \mathrm{x}<2\end{array}\right.\iff -1<\mathrm{x}<2$

Tập nghiệm của bất phương trình là (-1 ; 2)

Chọn D.

 

Câu 12 (NB). Cho tam giác ABC, có độ dài ba cạnh là BC = a; AC = b; AB = c. Gọi ${\mathrm{m}}_0$ là độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam giác đó. Mệnh

đề nào sau đây sai?

A. ${\mathrm{m}}_{\mathrm{a}}^2=\frac{{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2}{2}-\frac{{\mathrm{a}}^2}{4}.$                                                                       

B. ${\mathrm{a}}^2={\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2+2\mathrm{bccosA}.$

C. $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{R}}.$                                                   

D. $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=2\mathrm{R}.$

 

Lời giải

Cho tam giác ABC, có độ dài ba cạnh là BC = a; AC = b; AB = c

Áp dụng hệ thức hàm số cos của tam giác ta có: ${\mathrm{a}}^2={\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2-2\mathrm{bc}.\mathrm{cosA}$

$\Rightarrow$ đáp B sai.

Chọn B.

 

Câu 13 (TH). Bất phương $\frac{2\mathrm{x}-5}{3}>\frac{\mathrm{x}-3}{2}$ có tập nghiệm là

A. $\left(2;+\infty \right).$                 

B. $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(2;+\infty \right).$   

C. $\left(1;+\infty \right).$                  

D. $\left(-\frac{1}{4};+\infty \right).$

 

Lời giải

$\begin{array}{l}\frac{2\mathrm{x}-5}{3}>\frac{\mathrm{x}-3}{2}\iff \frac{2\mathrm{x}-5}{3}-\frac{\mathrm{x}-3}{2}>0\iff \frac{4\mathrm{x}-10-3\mathrm{x}+9}{6}>0\\ \iff \mathrm{x}-1>0\iff \mathrm{x}>1\end{array}$

Tập nghiệm của bất phương trình là $\left(1;+\infty \right).$ 

Chọn C.

 

Câu 14.Tam thức $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+2\left(\mathrm{m}-1\right)\mathrm{x}+{\mathrm{m}}^2-3\mathrm{m}+4$ không âm với mọi giá trị của x khi

A. m< 3                     

B. $\mathrm{m}\ge 3$                      

C. $\mathrm{m}\le -3$                   

D. $\mathrm{m}\le 3$  

Lời giải

Tam thức $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+2\left(\mathrm{m}-1\right)\mathrm{x}+{\mathrm{m}}^2-3\mathrm{m}+4$ không âm với mọi giá trị của x

 $\iff {\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}={\left(\mathrm{m}-1\right)}^2-\left({\mathrm{m}}^2-3\mathrm{m}+4\right)\le 0$

$\iff {\mathrm{m}}^2-2\mathrm{m}+1-{\mathrm{m}}^2+3\mathrm{m}-4\le 0$

$\iff \mathrm{m}-3\le 0\iff \mathrm{m}\le 3.$

Chọn D.

 

Câu 15 (VD). Tập nghiệm của bất phương trình $\left|4-3\mathrm{x}\right|\le 8$ là

A. $\left(-\infty ;4\right].$                  

B. $\left[-\frac{4}{3};+\infty \right).$             

C. $\left[-\frac{4}{3};4\right].$                   

D. $\left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right]\cup \left[4;+\infty \right).$

 

Lời giải

$\begin{array}{l}\left|4-3\mathrm{x}\right|\le 8\iff -8\le 4-3\mathrm{x}\le 8\\ \iff -4\le 3\mathrm{x}\le 12\iff -\frac{4}{3}\le \mathrm{x}\le 4\end{array}$

Tập nghiệm của bất phương trình là $\left[-\frac{4}{3};4\right].$  

Chọn C.

 

Câu 16 (NB). Xác định tâm và bán kính của đường tròn $\left(\mathrm{C}\right):{\left(\mathrm{x}+1\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-2\right)}^2=9.$  

A. Tâm I(-1; 2), bán kính R = 3                    

B. Tâm I(-1; 2), bán kính R = 9

C. Tâm I(1; -2), bán kính R = 3                    

D. Tâm I(1; -2), bán kính R= 9

Lời giải

Đường tròn (C ) có tâm I (-1; 2), bán kính R = 3

Chọn A.

Câu 17 (VD). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ${\mathrm{x}}^2-\left(\mathrm{m}+2\right)\mathrm{x}+8\mathrm{m}+1\le 0$

 vô nghiệm.

A. $\mathrm{m}\in \left[0;28\right].$                                               

B. $\mathrm{m}\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(28;+\infty \right).$  

C. $\mathrm{m}\in \left(-\infty ;0\right]\cup \left[28;+\infty \right).$                             

D. $\mathrm{m}\in \left(0;28\right).$

Lời giải

Bất phương trình $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-\left(\mathrm{m}+2\right)\mathrm{x}+8\mathrm{m}+1\le 0$ vô nghiệm

$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }={\left(\mathrm{m}+2\right)}^2-4\left(8\mathrm{m}+1\right)<0\\ \mathrm{f}\left(0\right)=8\mathrm{m}+1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{m}}^2+4\mathrm{m}+4-32\mathrm{m}-4<0\\ \mathrm{m}\ne \frac{-1}{8}\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{m}}^2-28\mathrm{m}<0\\ \mathrm{m}\ne \frac{-1}{8}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}0<\mathrm{m}<28\\ \mathrm{m}\ne \frac{-1}{8}\end{array}\right.\iff 0<\mathrm{m}<28$

Chọn D.

Câu 18 (TH).  Khẳng định nào sau đây Sai?

A. ${\mathrm{x}}^2\ge 3\mathrm{x}\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 3\\ \mathrm{x}\le 0\end{array}\right..$                      

B. $\frac{\mathrm{x}-3}{\left|\mathrm{x}-4\right|}\ge 0\iff \mathrm{x}-3\ge 0.$            

C. $\mathrm{x}+\left|\mathrm{x}\right|\ge 0\iff \mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}.$                      

D. ${\mathrm{x}}^2<1\iff \left|\mathrm{x}\right|<1.$

Lời giải

$\frac{\mathrm{x}-3}{\left|\mathrm{x}-4\right|}\ge 0\left(1\right);\mathrm{x}-3\ge 0\left(2\right)$

Vì x = 4 là nghiệm BPT (2) nhưng không là nghiệm BPT (1) nên hai BPT trên không tương  đương.

Chọn B.

 

Câu 19 (TH). Cho f(x); g(x) là các hàm số xác định trên , có bảng xét dấu như sau:

Khi đó tập nghiệm của bất phương trình $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\ge 0$  là

A. $\left[1;2\right]\cup \left[3;+\infty \right).$      

B. $\left[1;2\right)\cup \left[3;+\infty \right).$      

C. $\left[1;2\right)\cup \left(3;+\infty \right).$      

D. [1; 2]

Lời giải

Cho f(x); g(x) là các hàm số xác định trên R thì $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\ge 0\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\ne 0\right)\iff \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$  và

g (x) cùng dấu hoặc $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0\iff \mathrm{x}\in \left[1;2\right)\cup \left[3;+\infty \right)$

Chọn B.

Câu 20 (VD). Cho a, b là các số thực dương, khi đó tập nghiệm của bất phương trình $\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\ge 0$

 là

A. $\left(-\infty ;\mathrm{a}\right)\cup \left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}};+\infty \right).$                                  

B. $\left[-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}};\mathrm{a}\right].$                

C. $\left(-\infty ;-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right]\cup \left[\mathrm{a};+\infty \right).$                                   

D. $\left(-\infty ;-\mathrm{b}\right)\cup \left(\mathrm{a};+\infty \right).$  

Lời giải

Đặt $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)$  . Ta có a, b là các số thực dương $\Rightarrow -\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}<0<\mathrm{a}$

Ta có bảng:

Vậy $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}\le -\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\\ \mathrm{x}\ge \mathrm{a}\end{array}\right.\Rightarrow$ Tập nghiệm của phương trình là $\left(-\infty ;-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right]\cup \left[\mathrm{a};+\infty \right).$

Chọn C.

II. PHẦN TỰ LUẬN (5 điểm)

Câu I (VD) (3,0 điểm).

1) Giải phương trình $\sqrt{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-12}=7-\mathrm{x}.$        

2) Giải hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\frac{1}{2}\ge \frac{\mathrm{x}}{4}+1\\ {\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+3\le 0\end{array}\right..$  

Lời giải

1) Giải phương trình $\sqrt{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-12}=7-\mathrm{x}.$    

Ta có $\begin{array}{l}\left(1\right)\iff \left\{\begin{array}{l}7-\mathrm{x}\ge 0\\ {\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-12={\left(7-\mathrm{x}\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\le 7\\ {\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-12=49-14\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\le 7\\ \mathrm{x}=\frac{61}{13}\end{array}\right.\iff \mathrm{x}=\frac{61}{13}.\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $\mathrm{x}=\frac{61}{13}$ .

2) Giải hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\frac{1}{2}\ge \frac{\mathrm{x}}{4}+1\left(1\right)\\ {\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+3\le 0\left(2\right)\end{array}\right.$      

Ta có $\left(1\right)\iff 4\mathrm{x}-2\ge \mathrm{x}+4\iff 3\mathrm{x}\ge 6\iff \mathrm{x}\ge 2$  

$\left(2\right)\iff 1\le \mathrm{x}\le 3$

 $\Rightarrow \left(\mathrm{I}\right)\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 2\\ 1\le \mathrm{x}\le 3\end{array}\right.\iff 2\le \mathrm{x}\le 3$

Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm là $\mathrm{S}=\left[2;3\right]$

 

Câu II (VD) (1,5 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn $\left(\mathrm{C}\right):{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-4\right)}^2=4$ . Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn $\left(\mathrm{C}\right)$  biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $\mathrm{\Delta }:4\mathrm{x}-3\mathrm{y}+2=0$

Lời giải

Đường tròn $\left(\mathrm{C}\right):{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-4\right)}^2=4$  có tâm I(1; 4), bán kính R = 2.

Gọi d là tiếp tuyến cần tìm, do d song song với $\mathrm{\Delta }:4\mathrm{x}-3\mathrm{y}+2=0\Rightarrow \mathrm{d}$ có dạng $4\mathrm{x}-3\mathrm{y}+\mathrm{m}=0\left(\mathrm{m}\ne 2\right)$

d là tiếp tuyến với đường tròn $\left(\mathrm{C}\right)\iff {\mathrm{d}}_{\left(\mathrm{I},\mathrm{d}\right)}=\mathrm{R}=2$   

 $\iff \frac{\left|4-12+\mathrm{m}\right|}{\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}}=2\iff \left|\mathrm{m}-8\right|=10\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{m}=-2\left(\mathrm{tm}\right)\\ \mathrm{m}=18\left(\mathrm{tm}\right)\end{array}\right.$

Với $\mathrm{m}=-2\Rightarrow \mathrm{d}:4\mathrm{x}-3\mathrm{y}-2=0$  

Với $\mathrm{m}=18\Rightarrow \mathrm{d}:4\mathrm{x}-3\mathrm{y}+18=0$

Vậy đường thẳng  $4\mathrm{x}-3\mathrm{y}-2=0$ và đường thẳng $4\mathrm{x}-3\mathrm{y}+18=0$  thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu III (VDC) (0,5 điểm). Cho hai số thực x, y thỏa mãn: $\mathrm{x}-3\sqrt{\mathrm{x}+1}=3\sqrt{\mathrm{y}+2}-\mathrm{y}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x + y

Lời giải

Điều kiện: $\mathrm{x}\ge -1;\mathrm{y}\ge -2$  .

Với $\forall \mathrm{a},\mathrm{b}$ ta có: ${\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\ge 2\mathrm{ab}\Rightarrow 2\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\right)\ge {\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)}^2\left(1\right)$

Dấu “=” của  xảy ra khi a = b

Ta có:

 $\mathrm{x}-3\sqrt{\mathrm{x}+1}=3\sqrt{\mathrm{y}+2}-\mathrm{y}\iff \mathrm{x}+\mathrm{y}=3\left(\sqrt{\mathrm{x}+1}+\sqrt{\mathrm{y}+2}\right)$

Áp dụng  (1) ta được: ${\left(\sqrt{\mathrm{x}+1}+\sqrt{\mathrm{y}+2}\right)}^2\le 2\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}+3\right)$

$\iff {\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}^2=9{\left(\sqrt{\mathrm{x}+1}+\sqrt{\mathrm{y}+2}\right)}^2\le 18\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}+3\right)$

$\iff {\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}^2-18\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)-54\le 0\Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{y}\le 9+3\sqrt{15}$

Dấu “=” xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=9+3\sqrt{15}\\ \sqrt{\mathrm{x}+1}=\sqrt{\mathrm{y}+2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5+\frac{3}{2}\sqrt{15}\\ \mathrm{y}=4+\frac{3}{2}\sqrt{15}\end{array}\right.$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng $9+3\sqrt{15}$ đạt tại $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5+\frac{3}{2}\sqrt{15}\\ \mathrm{y}=4+\frac{3}{2}\sqrt{15}\end{array}\right.$