Cho hình bình hành ABCD. Tính $\overrightarrow{AB}$ theo $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$

Đáp án đúng: A

*Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}.$

Ta có : $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\\ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\end{array}\right.\Rightarrow 2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}+\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}.$ 

*Phương pháp giải

 - vận dụng quy tắc hình bình hành và quy tắc cộng để biến đổi, tính toán 

+ tách vectơ AB thành 2 vectơ nhỏ liên quan

+ cộng hai vế lại ta sẽ ra được kết quả cần tính

*Lý thuyết cần nắm và dạng bài toán về tích của một số với một vectơ:

 a) Tính chất

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ và hai số thực h, k, ta có:

+) k($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$) = k$\overrightarrow{a}$ + k$\overrightarrow{b}$; k($\overrightarrow{a}$ – $\overrightarrow{b}$) = k$\overrightarrow{a}$ – k$\overrightarrow{b}$;

+) (h + k)$\overrightarrow{a}$ = h$\overrightarrow{a}$ + k$\overrightarrow{a}$;

+) h(k$\overrightarrow{a}$) = (hk)$\overrightarrow{a}$;

+) 1$\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{a}$; (–1)$\overrightarrow{a}$ = –$\overrightarrow{a}$.

Nhận xét: k$\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{0}$.

 b) Một số ứng dụng

Trung điểm của đoạn thẳng

 

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=2\overrightarrow{\mathrm{MI}}$ với điểm M bất kì.

Trọng tâm của tam giác

 

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}=3\overrightarrow{\mathrm{MG}}$ với điểm M bất kì.

Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

– Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{b}$ ≠ 0) cùng phương là có một số thực k để $\overrightarrow{a}$ = k$\overrightarrow{b}$.

– Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=k\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

 

Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Với mỗi vectơ $\overrightarrow{c}$ có duy nhất cặp số (x; y) thoả mãn $\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Tích của một số với một vectơ – Toán 10 Cánh diều

Giải Toán 10 Bài 5 (Cánh diều): Tích của một số với một vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 5. Tích Của Một Số Với Một Vectơ có đáp án (Phần 2)