Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm đi qua điểm (-1; 1)

Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 7 trang 44 Toán lớp 12 Giải tích: Cho hàm số $y=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+m$.

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm đi qua điểm (-1; 1) ?

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng $\frac{7}{4}$.

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số qua điểm (-1; 1)

$$\begin{gathered} \iff \frac{1}{4}.{\left(-1\right)}^4+\frac{1}{2}.{\left(-1\right)}^2+m=1 \\ \iff m=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Vậy $m=\frac{1}{4}$ thì đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 1).

b) Với m = 1, hàm số trở thành $y=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+1$

- TXĐ: D = $ℝ$

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = x³ + x = x(x² + 1)

y' = 0 $\iff$ x(x² + 1) x = 0

+ Giới hạn:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=+\infty$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên (0; +∞)

Hàm số nghịch biến trên (-∞; 0)

Hàm số có điểm cực tiểu là (0; 1).

- Đồ thị:

+ Đồ thị nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Đồ thị cắt trục tung tại (0; 1).

+ Đồ thị hàm số đi qua (-1; 1,75); (1; 1,75); (-2; 7); (2; 7).

c) Điểm thuộc (C) có tung độ bằng $\frac{7}{4}$ nên hoành độ của điểm đó là nghiệm của phương trình:

$$\begin{gathered} \frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+1=\frac{7}{4} \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Có: y' = x³ + x

+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $\left(1;\frac{7}{4}\right)$:

y’(1) = 2

Phương trình tiếp tuyến:

 $y=2\left(x-1\right)+\frac{7}{4}$ hay $y=2x-\frac{1}{4}$

+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $\left(-1;\frac{7}{4}\right)$:

y’(-1) = -2.

Phương trình tiếp tuyến: 

$y=-2\left(x+1\right)+\frac{7}{4}$ hay $y=-2x-\frac{1}{4}$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 32 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã học theo sơ đồ trên y = ax + b...

Hoạt động 2 trang 33 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = -x³ + 3x² – 4...

Hoạt động 3 trang 35 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y= \frac{x^3}{3}-x^2+x+1$...

Hoạt động 4 trang 36 Toán 12 Giải tích: Lấy một ví dụ về hàm số dạng y = -x⁴ + 2x² + 3...

Hoạt động 5 trang 38 Toán 12 Giải tích: Lấy một ví dụ về hàm số dạng y = ax⁴ + bx² + c sao cho phương trình y’ = 0 chỉ có một nghiệm...

Hoạt động 6 trang 42 Toán 12 Giải tích: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x² + 2x – 3...

Bài 1 trang 43 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: a) y = 2 + 3x - x³...

Bài 2 trang 43 Toán 12 Giải tích: Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: a) y = – x⁴ + 8x² – 1...

Bài 3 trang 43 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức: a) y =$\frac{x+3}{x-1}$...

Bài 4 trang 44 Toán 12 Giải tích: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) x³ - 3x² + 5 = 0...

Bài 5 trang 44 Toán 12 Giải tích: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x³ + 3x + 1...

Bài 6 trang 44 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số y = $\frac{\mathrm{mx} - 1}{2\mathrm{x} + \mathrm{m}}$ a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m...

Bài 8 trang 44 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số y = $x^3 + (m +3)x^2 + 1 -m$(m là tham số)...

Bài 9 trang 44 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số $y=\frac{(m +1)x -2m +1}{x - 1}$ (m là tham số)...