Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x^3+ 3x + 1

Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5 trang 44 Toán lớp 12 Giải tích:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x³ + 3x + 1.

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m: x³ - 3x + m = 0

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số y = -x³ + 3x + 1

- Tập xác định: D = $ℝ$

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = -3x² + 3 = -3(x² - 1)

y' = 0 $\iff$ -3(x² - 1) = 0 $\iff$ x = ±1.

+ Giới hạn:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Hàm số đạt cực tiểu tại

x = -1 ; y_CT = -1.

Hàm số đạt cực đại tại

x = 1 ; y_CĐ = 3.

- Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 1).

+ Đồ thị (C) đi qua điểm (-2; 3), (2; -1).

b) Ta có: x³ - 3x + m = 0 (*)

$\iff$-x³ + 3x + 1 = m + 1

Số nghiệm của phương trình (*) phụ thuộc số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x³ + 3x + 1 và đường thẳng y = m + 1.

Kết hợp với quan sát đồ thị hàm số ta có:

+ Nếu m + 1 < –1$\iff$m < –2

$\Rightarrow$(C) cắt (d) tại 1 điểm.

Phương trình (*) có 1 nghiệm.

+ Nếu m + 1 = –1$\iff$ m = –2

$\Rightarrow$ (C) cắt (d) tại 2 điểm

Phương trình (*) có 2 nghiệm.

+ Nếu –1 < m + 1 < 3

$\iff$ –2 < m < 2

$\Rightarrow$ (C) cắt (d) tại 3 điểm.

Phương trình (*) có 3 nghiệm.

+ Nếu m + 1 = 3 $\iff$ m = 2

 $\Rightarrow$(C) cắt (d) tại 2 điểm.

Phương trình (*) có hai nghiệm.

+ Nếu m + 1 > 3 $\iff$ m > 2

$\Rightarrow$(C) cắt (d) tại 1 điểm

Phương trình (*) có một nghiệm.

Kết luận:

+ Với m < -2 hoặc m > 2 thì phương trình có 1 nghiệm.

+ Với m = -2 hoặc m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm.

+ Với -2 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 32 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã học theo sơ đồ trên y = ax + b...

Hoạt động 2 trang 33 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = -x³ + 3x² – 4...

Hoạt động 3 trang 35 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y= \frac{x^3}{3}-x^2+x+1$...

Hoạt động 4 trang 36 Toán 12 Giải tích: Lấy một ví dụ về hàm số dạng y = -x⁴ + 2x² + 3...

Hoạt động 5 trang 38 Toán 12 Giải tích: Lấy một ví dụ về hàm số dạng y = ax⁴ + bx² + c sao cho phương trình y’ = 0 chỉ có một nghiệm...

Hoạt động 6 trang 42 Toán 12 Giải tích: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x² + 2x – 3...

Bài 1 trang 43 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: a) y = 2 + 3x - x³...

Bài 2 trang 43 Toán 12 Giải tích: Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: a) y = – x⁴ + 8x² – 1...

Bài 3 trang 43 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức: a) y =$\frac{x+3}{x-1}$...

Bài 4 trang 44 Toán 12 Giải tích: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) x³ - 3x² + 5 = 0...

Bài 6 trang 44 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số y = $\frac{\mathrm{mx} - 1}{2\mathrm{x} + \mathrm{m}}$ a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m...

Bài 7 trang 44 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số y = $\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^4 + \frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2 +\mathrm{m}$....

Bài 8 trang 44 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số y = $x^3 + (m +3)x^2 + 1 -m$(m là tham số)...

Bài 9 trang 44 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số $y=\frac{(m +1)x -2m +1}{x - 1}$ (m là tham số)...