Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn

Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 2 trang 43 Toán lớp 12 Giải tích: Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a) y = – x⁴ + 8x² – 1;

b) y = x⁴ – 2x² + 2;

c) $y=\frac{1}{2}{x}^4+x^2-\frac{3}{2};$

d) y = – 2x² – x⁴ + 3.

Lời giải:

a) Hàm số y = – x⁴ + 8x² – 1.

1. Tập xác định: D = $ℝ$

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = -4x³ + 16x = -4x(x² - 4)

y' = 0 - 4x(x² - 4) = 0  

$\iff$x = 0 ; x = ±2

Trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2),

y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞),

y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại

x = 2 và x = -2 ; y_CĐ = 15

Hàm số đạt cực tiểu tại

x = 0 ; y_CT = -1.

+ Giới hạn:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^4\left(-1+\frac{8}{x^2}-\frac{1}{x^4}\right) \\ =-\infty \end{gathered}$$

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

+ Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:

y(-x) = -(-x)⁴ + 8(-x)² - 1

         = -x⁴ + 8x² - 1 = y(x)

Suy ra đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

+ Giao với Oy tại điểm (0; -1) (vì y(0) = -1).

+ Đồ thị hàm số đi qua (-3; -10) và (3; - 10).

b) Hàm số y = x⁴ – 2x² + 2.

1. Tập xác định: D = $ℝ$

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 4x³ - 4x = 4x(x² - 1)

y' = 0$\iff$4x(x² - 1) = 0

$\iff$x = 0 ; x = ±1.

+ Giới hạn:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^4\left(1-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x^4}\right) \\ =+\infty \end{gathered}$$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận :

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).

Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) và (1; 1).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2)

3. Đồ thị:

+ Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 2).

+ Đồ thị hàm số đi qua (-1; 1) và (1; 1).

+ Đồ thị hàm số:

c) Hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^4+x^2-\frac{3}{2}$

1. Tập xác định: D = $ℝ$

2. Sự biến thiên:

+ y' = 2x³ + 2x = 2x(x² + 1)

   y' = 0 $\iff$2x(x² + 1) = 0

 $\iff$x = 0

+ Giới hạn:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^4\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{x^2}-\frac{3}{2x^4}\right) \\ =+\infty \end{gathered}$$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: $\left(0;\frac{-3}{2}\right)$

3. Đồ thị:

+ Hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Hàm số cắt trục hoành tại điểm (-1; 0) và (1; 0).

+ Hàm số cắt trục tung tại điểm $\left(0;\frac{-3}{2}\right)$

d) Hàm số y = -2x² – x⁴ + 3.

1. Tập xác định: D = $ℝ$

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = -4x - 4x³ = -4x(1 + x²)

y' = 0$\iff$ -4x(1 + x²) = 0$\iff$ x = 0

+ Giới hạn:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^4\left(\frac{-2}{x^2}-1+\frac{3}{x^4}\right) \\ =-\infty \end{gathered}$$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; +∞).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3).

3. Đồ thị:

+ Hàm số là hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Hàm số cắt trục Ox tại (-1; 0) và (1; 0).

+ Hàm số cắt trục Oy tại (0; 3).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 32 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã học theo sơ đồ trên y = ax + b...

Hoạt động 2 trang 33 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = -x³ + 3x² – 4...

Hoạt động 3 trang 35 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y= \frac{x^3}{3}-x^2+x+1$...

Hoạt động 4 trang 36 Toán 12 Giải tích: Lấy một ví dụ về hàm số dạng y = -x⁴ + 2x² + 3...

Hoạt động 5 trang 38 Toán 12 Giải tích: Lấy một ví dụ về hàm số dạng y = ax⁴ + bx² + c sao cho phương trình y’ = 0 chỉ có một nghiệm...

Hoạt động 6 trang 42 Toán 12 Giải tích: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x² + 2x – 3...

Bài 1 trang 43 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: a) y = 2 + 3x - x³...

Bài 3 trang 43 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức: a) y =$\frac{x+3}{x-1}$...

Bài 4 trang 44 Toán 12 Giải tích: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) x³ - 3x² + 5 = 0...

Bài 5 trang 44 Toán 12 Giải tích: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x³ + 3x + 1...

Bài 6 trang 44 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số y = $\frac{\mathrm{mx} - 1}{2\mathrm{x} + \mathrm{m}}$ a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m...

Bài 7 trang 44 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số y = $\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^4 + \frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2 +\mathrm{m}$....

Bài 8 trang 44 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số y = $x^3 + (m +3)x^2 + 1 -m$(m là tham số)...

Bài 9 trang 44 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số $y = \frac{(m +1)x -2m +1}{x - 1}$ (m là tham số)...