Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến

Giải Toán 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 6 trang 44 Toán lớp 12 Giải tích: Cho hàm số $y=\frac{mx-1}{2x+m}$.

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua $A\left(-1;\sqrt{2}\right).$

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

Lời giải:

TXĐ: D = $ℝ\backslash \left\{\frac{-m}{2}\right\}.$

a) Với mọi tham số m ta có:

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=\frac{m\left(2x+m\right)-2\left(mx-1\right)}{{\left(2x+m\right)}^2} \\ =\frac{m^2+2}{{\left(2x+m\right)}^2}>0\forall x\in D. \end{gathered}$$

Vậy hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Ta có:

+ Khi $x\to {\left(-\frac{m}{2}\right)}^{+}$:

mx – 1 → $-\frac{m^2}{2}-1<0$;

2x + m → 0⁺

$\Rightarrow \underset{x\to {\left(-\frac{m}{2}\right)}^{+}}{\lim }\frac{mx-1}{2x+m}=-\infty$

$\Rightarrow x=\frac{-m}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Tiệm cận đứng đi qua $A\left(-1;\sqrt{2}\right)$

$\iff \frac{-m}{2}=-1\iff$m = 2.

Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng của đồ thị đi qua $A\left(-1;\sqrt{2}\right).$

c) Với m = 2 ta được hàm số: $y=\frac{2x-1}{2x+2}$

- TXĐ: D = $ℝ$ \ {-1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: Theo kết quả câu a)

Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -1) và (-1 ; +∞)

+ Cực trị : Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=+\infty$;$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=-\infty$

Suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1.

Lại có:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x-1}{2x+2} \\ =\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{2+\frac{2}{x}}=1 \end{gathered}$$

Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

+ Đồ thị cắt trục hoành tại $\left(\frac{1}{2};0\right)$.

+ Đồ thị cắt trục tung tại $\left(0;-\frac{1}{2}\right)$.

+ Đồ thị nhận I(-1 ; 1) là tâm đối xứng.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 32 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã học theo sơ đồ trên y = ax + b...

Hoạt động 2 trang 33 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = -x³ + 3x² – 4...

Hoạt động 3 trang 35 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y= \frac{x^3}{3}-x^2+x+1$...

Hoạt động 4 trang 36 Toán 12 Giải tích: Lấy một ví dụ về hàm số dạng y = -x⁴ + 2x² + 3...

Hoạt động 5 trang 38 Toán 12 Giải tích: Lấy một ví dụ về hàm số dạng y = ax⁴ + bx² + c sao cho phương trình y’ = 0 chỉ có một nghiệm...

Hoạt động 6 trang 42 Toán 12 Giải tích: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x² + 2x – 3...

Bài 1 trang 43 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: a) y = 2 + 3x - x³...

Bài 2 trang 43 Toán 12 Giải tích: Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: a) y = – x⁴ + 8x² – 1...

Bài 3 trang 43 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức: a) y =$\frac{x+3}{x-1}$...

Bài 4 trang 44 Toán 12 Giải tích: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) x³ - 3x² + 5 = 0...

Bài 5 trang 44 Toán 12 Giải tích: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x³ + 3x + 1...

Bài 7 trang 44 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số y = $\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^4 + \frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2 +\mathrm{m}$....

Bài 8 trang 44 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số y = $x^3 + (m +3)x^2 + 1 -m$(m là tham số)...

Bài 9 trang 44 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số $y=\frac{(m +1)x -2m +1}{x - 1}$ (m là tham số)...