Sách bài tập Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Tích phân

Giải SBT Toán 12 Bài 2: Tích phân

Bài 1 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(3x-2\right)\left(3x+2\right)dx$

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{t}^2\left(5t^2-2\right)dt$

c) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)dx$

Lời giải:

a) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(3x-2\right)\left(3x+2\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(9x^2-4\right)dx$

$={\left.\left(3x^3-4x\right)\right|}_0^2$

= (3.2³ – 4.2) – (3.0³ – 4.0) = 16.

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{t}^2\left(5t^2-2\right)dt=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(5t^4-2t^2\right)dt$

$={\left.\left(t^5-\frac{2}{3}{t}^3\right)\right|}_1^2$

$=\left(2^5-\frac{2}{3}{.2}^3\right)-\left(1^5-\frac{2}{3}{.1}^3\right)$

$=\frac{79}{3}$

c) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(x^3-8\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^4}{4}-8x\right)\right|}_{-1}^1=-16$

Bài 2 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1-2x}{x^2}dx$

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{2}dx$

c) $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}dx$

Lời giải:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1-2x}{x^2}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\right)dx={\left.\left(-\frac{1}{x}-2\ln \left|x\right|\right)\right|}_1^2$

$=\left(-\frac{1}{2}-2\ln 2\right)-\left(-1-2\ln 1\right)=\frac{1}{2}-2\ln 2.$

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{2}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x+\frac{1}{x}+2\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^2}{2}+\ln \left|x\right|+2x\right)\right|}_1^2=\frac{7}{2}+\ln 2.$

c) $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}dx=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}+2}dx=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\sqrt{x}-2\right)dx$

$=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(x^{\frac{1}{2}}-2\right)dx={\left.\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x\right)\right|}_1^4=-\frac{4}{3}.$

Bài 3 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}{e}^{x-2}dx$

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2^x-1\right)}^{2}dx$

c) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{e^{2x}-1}{e^x+1}dx$

Lời giải:

a) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}{e}^{x-2}dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{e^x}{e^2}dx$

$={\left.\frac{e^x}{e^2}\right|}_1^3=\frac{e^3}{e^2}-\frac{e}{e^2}=e-\frac{1}{e}$

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2^x-1\right)}^{2}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(4^x-{2.2}^x+1\right)dx$

$={\left.\left(\frac{4^x}{\ln 4}-2.\frac{2^x}{\ln 2}+x\right)\right|}_0^1$ $=1-\frac{1}{2\ln 2}$

c) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{e^{2x}-1}{e^x+1}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\left(e^x+1\right)\left(e^x-1\right)}{e^x+1}dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(e^x-1\right)dx={\left.\left(e^x-x\right)\right|}_0^1=e-2$

Bài 4 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(2\cos x+1\right)dx$

b) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(1+\cot x\right)\text{sinx}dx$

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{\tan }^{2}xdx$

Lời giải:

a) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(2\cos x+1\right)dx={\left.\left(2\sin x+x\right)\right|}_0^{\pi }$

$=\left(2\sin \pi +\pi \right)-\left(2\sin 0+0\right)=\pi .$

b) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(1+\cot x\right)\text{sinx}dx=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(1+\frac{\cos x}{\mathrm{s}\text{inx}}\right)\text{sinx}dx$

$=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(\sin \text{x}+\cos x\right)dx$

$={\left.\left(-\cos x+\sin \text{x}\right)\right|}_0^{\pi }=2.$

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{\tan }^{2}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx$

$={\left.\left(\tan x-x\right)\right|}_0^{\frac{\pi }{4}}$

$=\left(\tan \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}\right)-\left(\tan 0-0\right)=1-\frac{\pi }{4}$

Bài 5 trang 14 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}-1}{x}$, x > 0. Tính giá trị của f(4) − f(1).

Lời giải:

Ta có:

$f\left(4\right)-f\left(1\right)=\underset{1}{\overset{4}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{\sqrt{x}-1}{x}dx$

$=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x}\right)dx$

$={\left.\left(2\sqrt{x}-\ln x\right)\right|}_1^4=2-2\ln 2.$

Vậy f(4) – f(1) = 2 – 2ln2.

Bài 6 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Tính:

a) $A=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x-4x^2\right)dx+4\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-1\right)dx$

b) $B=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(t^3-6t\right)dt$

Lời giải:

a) $A=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x-4x^2\right)dx+4\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-1\right)dx$

$=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x-4x^2\right)dx+\underset{-1}{\overset{2}{\int }}4\left(x^2-1\right)dx$

$=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x-4x^2+4x^2-4\right)dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x-4\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^2}{2}-4x\right)\right|}_{-1}^2=-\frac{21}{2}$

Vậy $A=-\frac{21}{2}$

b) $B=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(t^3-6t\right)dt$

$=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^3-6x\right)dx$

$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(x^3-6x\right)dx={\left.\left(\frac{x^4}{4}-3x^2\right)\right|}_{-1}^1=0$

Bài 7 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=-2$; $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(t\right)dt=4$. Tính $\underset{4}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$

Lời giải:

Ta có: $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=4.$

Có: $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{4}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$

$\Rightarrow \underset{4}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 4 – (−2) = 6.

Vậy $\underset{4}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=6$

Bài 8 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2+x-2\right|dx$

b) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|e^x-1\right|dx$

Lời giải:

a) Ta có: x² + x – 2 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 1) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −2.

Ta có: x² + x – 2 ≤ 0 với mọi x ∈ [−1; 1] và x² + x – 2 ≤ 0 với mọi x ∈ [1; 2].

Suy ra, $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2+x-2\right|dx$

$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[-\left(x^2+x-2\right)\right]dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-2\right)dx$

$={\left.-\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x\right)\right|}_{-1}^1+{\left.\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x\right)\right|}_1^2=\frac{31}{6}.$

b) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|e^x-1\right|dx$

Ta có: e^x – 1 = 0 ⇔ x = 0.

Ta có e^x – 1 ≤ 0 với mọi x ∈ [−1; 0] và e^x – 1 ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 1].

Từ đó, $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|e^x-1\right|dx=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(1-e^x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(e^x-1\right)dx$

$={\left.\left(x-e^x\right)\right|}_{-1}^0+{\left.\left(e^x-x\right)\right|}_0^1=e+\frac{1}{e}-2$

Bài 9 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm đạo hàm của hàm số F(x) = $\sqrt{4x+1}$. Từ đó, tính tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{4x+1}}dx$

Lời giải:

Ta có: F(x) = $\sqrt{4x+1}$

$F^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{4x+1}},x>-\frac{1}{4}$

Nhận thấy $\frac{1}{\sqrt{4x+1}}=\frac{F^{\text{'}}\left(x\right)}{2}$

Do đó $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{4x+1}}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{F^{\text{'}}\left(x\right)}{2}dx$

$=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{F}^{\text{'}}\left(x\right)dx={\left.\frac{1}{2}F\left(x\right)\right|}_0^1$

$=\frac{1}{2}\left[F\left(1\right)-F\left(0\right)\right]=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}-1\right).$

Bài 10 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Biết rằng đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm (−1; 3) và tiếp tuyến của đồ thị này tại mỗi điểm (x; f(x)) có hệ số góc là 3x² – 4x + 1. Tìm f(2)

Lời giải:

Theo giả thiết, ta có y = f(x) đi qua điểm (−1; 3) hay f(−1) = 3 và f'(x) = 3x² – 4x + 1.

Ta có: f(2) – f(−1) = $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(3x^2-4x+1\right)dx$

$={\left.\left(x^3-2x^2+x\right)\right|}_{-1}^2=6$

Suy ra f(2) – f(−1) = 6 hay f(2) – 3 = 6 suy ra f(2) = 9.

Bài 11 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2,x\le \mathrm{1,}\\ \frac{1}{x},x>1.\end{array}\right.$

a) Chứng tỏ rằng hàn số f(x) liên tục trên ℝ.

b) Tính $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Lời giải:

a) Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Ta có: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=1;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=1;f\left(x\right)=1$

Suy ra hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

b) Ta có: $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x}dx$

$={\left.\frac{x^3}{3}\right|}_{-1}^1+{\left.\ln \left|x\right|\right|}_{-1}^2=\frac{2}{3}+\ln 2.$

Bài 12 trang 15 SBT Toán 12 Tập 2: Một vật đang ở nhiệt độ 100℃ thì được đặt vào môi trường có nhiệt độ 30℃. Kể từ đó, nhiệt độ của vật giảm dần theo tốc dộ

$T^{\text{'}}\left(t\right)=-140.e^{-2t}$ (℃/phút),

trong đó T(t) là nhiệt độ tính theo ℃ tại thời điểm t phút kể từ khi được đặt trong môi trường.
Xác định nhiệt độ của vật ở thời điểm 3 phút kể từ khi được đặt vào môi trường (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của ℃).

Lời giải:

Ta có: $\underset{0}{\overset{3}{\int }}{T}^{\text{'}}\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-140e^{-2t}\right)dt$

$=-140\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(e^{-2}\right)}^{t}dt$

$={\left.\frac{-140e^{-2t}}{\ln e^{-2}}\right|}_0^3=70\left(e^{-6}-1\right)$

Theo đề, T(0) = 100℃.

Ta có: T(3) – T(0) = 70(e⁻⁶ – 1) ⇒ T(3) = 100 + 70(e⁻⁶ – 1) ≈ 30,2℃.

Vậy nhiệt độ của vật ở thời điểm 3 phút kể từ khi đặt vào môi trường là 30,2℃.

Bài 13 trang 16 SBT Toán 12 Tập 2: Sau khi được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng, một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 20 – 10t (m/s) với 0 ≤ t ≤ 4

a) Xác định độ cao của vật (tính theo mét) tại thời điểm t = 3.

b) Tính quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu.

Lời giải:

a) Kí hiệu h(t) là độ cao của vật (tính theo mét) tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 4).

Ta có: h'(t) = v(t) và h(0) = 0.

Từ đó, $h\left(3\right)-h\left(0\right)=\underset{0}{\overset{3}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-10t\right)dt$

$={\left.\left(20t-5t^2\right)\right|}_0^3=15\left(m\right).$

Suy ra h(3) = 15 + h(0) = 15 + 0 = 15 (m).

b) Quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu là:

$s=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|v\left(t\right)\right|dt=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|20-10t\right|dt$

$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(20-10t\right)dt+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(10t-20\right)dt$

$={\left.\left(20t-5t^2\right)\right|}_0^2+{\left.\left(5t^2-20t\right)\right|}_0^2= 20 + 5 = 25 \left(m\right).$

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 3: Phương trình mặt cầu