Sách bài tập Toán 12 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Vectơ và các phép toán trong không gian

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 62 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là B và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp không cùng nằm trên một mặt của hình hộp với điểm B.

b) Tìm các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{BC}$.

c) Tìm các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{BD}$

Lời giải:

a) Các vectơ có điểm đầu là B và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp không cùng nằm trên một mặt của hình hộp với điểm B là: $\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$.

b) Các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{BC}$ là $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

c) Các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{BD}$ là $\overrightarrow{DB},\overrightarrow{D^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$

Bài 2 trang 63 SBT Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện OABC. Tính các vectơ:

a) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OC}$;

b) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OC}$ = $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}$.

b) Dựng hình hộp OADB.CFEK

Ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ = $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$

Bài 3 trang 63 SBT Toán 12 Tập 1: Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc 120° và có độ lớn lần lượt là 10 N và 8 N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 6 N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên.

Lời giải:

Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ lần lượt là ba lực tác động vào một vật đặt tại điểm O như Hình 2.

Ta có: $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{OC}$.

Độ lớn các lực: F₁ = OA = 10 N, F₂ = OB = 8 N, F₃ = OC = 6 N.

Dựng hình bình hành OADB. Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$.

Suy ra ${\overrightarrow{OD}}^2={\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)}^2={\overrightarrow{OA}}^2+{\overrightarrow{OB}}^2+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$

Mà $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ = OA.OB.cos$\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$

⇒ OD² = OA² + OB² + 2OA.OB.cos120°.

Dựng hình bình hành ODEC.

Tổng lực tác động vào vật là $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.

Độ lớn của hợp lực tác động vào vật là F = OE.

Vì $OC\perp \left(OADB\right)$ nên OC ⊥ OD, suy ra ODEC là hình chữ nhật.

Do đó, tam giác ODE vuông tại D.

Khi đó, OE² = OC² + OD² = OC² + OA² + OB² + 2OA.OB.cos120°.

Suy ra OE = $\sqrt{O{C}^2+O{A}^2+O{B}^2+2.OA.OB\cos 120°}$

= $\sqrt{6^2+{10}^2+8^2+\mathrm{2.10.8.}\cos 120°}$ ≈ 10,95.

Do đó, F = OE ≈ 10,95 N.

Bài 4 trang 63 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AC' và A'C cắt nhau tại O. Cho biết AO = a. Tính theo a độ dài các vectơ:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$;

b) $\overrightarrow{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}+\overrightarrow{A^{\text{'}}A}$.

Lời giải:

a) Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ = $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$.

Suy ra $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\right|=\left|\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}\right|$ = AC' = 2AO = 2a.

b) Ta có: $\overrightarrow{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}+\overrightarrow{A^{\text{'}}A}$ = $\overrightarrow{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}C}=\overrightarrow{C^{\text{'}}A}$

Suy ra $\left|\overrightarrow{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}+\overrightarrow{A^{\text{'}}A}\right|=\left|\overrightarrow{C^{\text{'}}A}\right|=C^{\text{'}}A=2a$.

Bài 5 trang 63 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi O, O' lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD và A'B'C'D'; I là giao điểm của AC' và A'C.

Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{O{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{O{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{O{D}^{\text{'}}}=4\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}$;

b) $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{DI}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{O{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{O{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{O{D}^{\text{'}}}$ = $\left(\overrightarrow{O{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}\right)+\left(\overrightarrow{O{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{O{D}^{\text{'}}}\right)$ = $2\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}+2\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}$ = $4\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}$.

b) Ta có bốn đường chéo của hình lập phương cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường chéo nên I cũng là trung điểm của DB'. Suy ra $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{DI}$.

Bài 6 trang 63 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng a và cho biết $\widehat{BAD}=\widehat{BA{A}^{\text{'}}}=\widehat{DA{A}^{\text{'}}}$ = 60°. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$;

b) $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC}$;

c) $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}.\overrightarrow{AC}$

Lời giải:

Bài 7 trang 64 SBT Toán 12 Tập 1: Một tàu kéo một xà lan trên biển di chuyển được 3 km với một lực kéo có cường độ 2 000 N và có phương hợp với phương dịch chuyển một góc 30°. Tính công thực hiện bởi lực kéo nói trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của Jun).

Lời giải:

Áp dụng công thức tính công, ta có:

A = $\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{d}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{d}\right)$ = 2000.3000.cos30° ≈ 5 196 152 (J).

Bài 8 trang 64 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Gọi x, y, z theo thứ tự là số đo các góc hợp bởi vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ với các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$.

Chứng minh cos²x + cos²y + cos²_Z = 1.

Lời giải:

Gọi a, b, c, d lần lượt là độ dài của AB, AD, AA' và AC'.

Ta có: $A{C^{\text{'}}}^2=A{B}^2+A{D}^2+A{A^{\text{'}}}^2$

⇔ d² = a² + b² + c², cosx = $\frac{a}{d}$, cosy = $\frac{b}{d}$, cosz = $\frac{c}{d}$.

Suy ra cos²x + cos²y + cos²z = ${\left(\frac{a}{d}\right)}^2+{\left(\frac{b}{d}\right)}^2+{\left(\frac{c}{d}\right)}^2$= $\frac{a^2+b^2+c^2}{d^2}=\frac{d^2}{d^2}=1$.

Vậy cos²x + cos²y + cos²_Z = 1.

Bài 9 trang 64 SBT Toán 12 Tập 1: Tính độ lớn của các lực căng trên mỗi sợi dây cáp trong Hình 16. Cho biết khối lượng xe là 1 900 kg, gia tốc là 10 m/s², khung nâng có khối lượng 100 kg và có dạng hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = 8 m, BC = 12 m, SC = 12 m và SO vuông góc với (ABCD). Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của Newton.

Lời giải:

Ta có:

AC = BD = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{8^2+{12}^2}=4\sqrt{13}$,

SO = $\sqrt{S{C}^2-OC{}_2}$ = $\sqrt{{12}^2-{\left(2\sqrt{13}\right)}^2}$ = $2\sqrt{23}$,

sin$\widehat{SCO}$= $\frac{SO}{SC}$ = $\frac{2\sqrt{23}}{12}=\frac{\sqrt{23}}{6}$.

Gọi P là độ lớn của trọng lực xe và khung sắt nâng.

Ta có: P = (1900 + 100).10 = 20 000 (N).

Gọi F là độ lớn của lực căng trên mỗi sợi cáp.

Ta có: Fsin$\widehat{SCO}=\frac{P}{4}$, suy ra F = $\frac{P}{4\sin \widehat{SCO}}=\frac{20000}{4\frac{\sqrt{23}}{6}}$ ≈ 6 255 (N).