Sách bài tập Toán 12 (Chân trời sáng tạo): Bài tập cuối chương 2

Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 2 - Chân trời sáng tạo

A. Trắc nghiệm

Trong các câu từ 1 đến 15, chọn đáp án đúng:

Bài 1 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai điểm A(1; 1; −2) và B(2; 2; 1). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

A. (3; 3; −1).

B. (−1; −1; −3).

C. (3; 1; 1).

D. (1; 1; 3).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{AB}$ = (2 – 1; 2 – 1; 1 – (−2)) = (1; 1; 3).

Bài 2 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (1; 2; −3) và $\overrightarrow{b}$ = (−2; −4; 6). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{b}$ = (−2; −4; 6) = −2(1; 2; −3) = −2$\overrightarrow{a}$.

Vậy $\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{a}$

Bài 3 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai điểm A(2; 0; 1) và B(0; 5; −1). Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ bằng

A. −2.

B. −1.

C. 1.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{OA}$ = (2; 0; 1); $\overrightarrow{OB}$ = (0; 5; −1).

$\overrightarrow{OA}$.$\overrightarrow{OB}$ = 2.0 + 0.5 + 1.(−1) = −1.

Bài 4 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ thỏa mãn $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}-3\overrightarrow{j}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là

A. (2; 1; −3).

B. (2; −3; 1).

C. (1; 2; −3).

D. (1; −3; 2).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}-3\overrightarrow{j}$ = $2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ ⇒ $\overrightarrow{a}$ = (2; −3; 1).

Bài 5 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$ = (−1; 1; 0), $\overrightarrow{b}$= (1; 1; 0) và $\overrightarrow{c}$ = (1; 1; 1). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{a}$ = (−1; 1; 0) ⇒ $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$.

$\overrightarrow{c}$ = (1; 1; 1) ⇒ $\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$.

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = −1.1 + 1.1 + 0.0 = 0 suy ra $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$.

$\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}$ = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 ≠ 0 do đó $\overrightarrow{c}$ không vuông góc với $\overrightarrow{b}$.

Chọn D.

Bài 6 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (−3; 4; 0) và $\overrightarrow{b}$ = (5; 0; 12). Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: cos$\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-3.5+4.0+0.12}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2+0^2}.\sqrt{5^2+0^2+{12}^2}}=-\frac{3}{13}$.

Bài 7 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{u}$ = $\left(-\sqrt{3};0;1\right)$ bằng

A. 30°.

B. 60°.

C. 120°.

D. 150°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{i}$ = (1; 0; 0) và $\overrightarrow{u}$ = $\left(-\sqrt{3};0;1\right)$.

cos$\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{u}\right)=\frac{\overrightarrow{i}.\overrightarrow{u}}{\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{1.\left(-\sqrt{3}\right)+0.0+0.1}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}.\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+0^2+1^2}}$ = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇒ $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{u}\right)$ = 150°.

Bài 8 trang 77 SBT Toán 12 Tập 1: Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (m; 2; 3) và $\overrightarrow{b}$ = (1; n; 2) cùng phương khi

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (m; 2; 3) và $\overrightarrow{b}$ = (1; n; 2) cùng phương khi $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}m=k.1\\ 2=k.n\\ 3=k.2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=k\\ n=\frac{2}{k}\\ k=\frac{3}{2}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=\frac{3}{2}\\ n=\frac{4}{3}\end{array}\right.$

Bài 9 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (2; 1; −2) và $\overrightarrow{b}$ = (0; 2m; −4).

Giá trị của tham số m để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau là

A. m = −4.

B. m = −2.

C. m = 2.

D. m = 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Để hai vectơ vuông góc với nhau khi $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 0 ⇔ 2.0 + 1.2m + (−2).(−4) = 0 ⇔ m = −4.

Bài 10 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai điểm A(2; 3; −1) và B(0; −1; 1). Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A. (1; 1; 0).

B. (2; 2; 0).

C. (−2; −4; 2).

D. (−1; −2; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi I(x; y; z), ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2+0}{2}=1\\ y=\frac{3+\left(-1\right)}{2}=1\\ z=\frac{-1+1}{2}=0\end{array}\right.$ ⇒ I(1; 1; 0).

Bài 11 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (1; 1; −2), $\overrightarrow{b}$ = (−3; 0; −1) và điểm A(0; 2; 1). Tọa độ điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ là

A. M(−5; 1; 2).

B. M(3; −2; 1).

C. M(1; 4; −2).

D. M(5; 4; −2).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: 2$\overrightarrow{a}$ = (2; 2; −4).

$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ = (5; 2; −3).

Gọi M(x; y; z), ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x-0=5\\ y-2=2\\ z-1=-3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=4\\ z=-2\end{array}\right.$⇒ M(5; 4; −2).

Bài 12 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Cho điểm A(3; −1; 1). Hình chiếu vuông góc với điểm A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm

A. M(3; 0; 0).

B. N(0; −1; 1).

C. P(0; −1; 0).

D. Q(0; 0; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oyz) là N(0; −1; 1).

Bài 13 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Cho điểm M(−3; 2; −1) và điểm M' là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy). Tọa độ điểm M' là

A. (−3; 2; 1).

B. (3; 2; 1).

C. (3; 2; −1).

D. (3; −2; −1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

M' là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) do đó M'(−3; 2; 1).

Bài 14 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 1; −1) trên trục Oz có tọa độ là

A. (2; 1; 0).

B. (0; 0; −1).

C. (2; 0; 0).

D. (0; 1; 0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 1; −1) trên trục Oz có tọa độ là (0; 0; −1).

Bài 15 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Cho điểm A(−3; 1; 2) và điểm A' là điểm đối xứng của A qua trục Oy. Tọa độ của điểm A' là

A. (3; −1; −2).

B. (3; −1; 2).

C. (3; 1; −2).

D. (−3; −1; 2).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

A' là điểm đối xứng của A qua trục Oy nên A'(3; 1; −2).

Trong các câu từ 16 đến 20, chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d.

Bài 16 trang 78 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 2.

Lời giải:

Bài 17 trang 79 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai điểm A(3; −2; 4), B(5; 0; 7).

a) $\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$.

b) $\overrightarrow{AB}$ = (8; −2; 11).

c) Điểm B nằm trong mặt phẳng (Oxz).

d) $2\overrightarrow{OB}$ = (10; 0; 14).

Lời giải:

a) Ta có: A(3; −2; 4) ⇒ $\overrightarrow{OA}=\left(3;-2;4\right)\Rightarrow \overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (2; 2; 3).

c) Ta có: y_B = 0 do đó điểm B nằm trong mặt phẳng (Oxz).

d) Ta có: B(5; 0; 7) ⇒ $\overrightarrow{OB}$ = (5; 0; 7) ⇒ $2\overrightarrow{OB}$ = (10; 0; 14).

Bài 18 trang 79 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (2; 1; 5) và $\overrightarrow{b}$ = (5; 0; −2).

a) $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{30}$.

b) $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

c) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ = (7; 1; 3).

d) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 1.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{a}$ = (2; 1; 5) ⇒ $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2^2+1^2+5^2}=\sqrt{30}$.

b) Để $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng phương thì $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}2=k.5\\ 1=k.0\\ 5=k\left(-2\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}k=\frac{2}{5}\\ k=0\\ k=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$, do đó không có giá trị k thỏa mãn.

Do đó, $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương.

c) Ta có: $\overrightarrow{a}$ = (2; 1; 5) và $\overrightarrow{b}$ = (5; 0; −2) ⇒ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ = (2 + 5; 1 + 0; 5 + (−2)) = (7; 1; 3).

d) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 2.5 + 1.0 + 5.(−2) = 0.

Bài 19 trang 79 SBT Toán 12 Tập 1: Cho một lực $\overrightarrow{F}$ = (4; 6; 9) (đơn vị: N) thực hiện một độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ = (20; 50; 10) (đơn vị: m).

a) Cường độ của lực $\overrightarrow{F}$ là $\sqrt{133}$ N.

b) Độ dài quãng đường dịch chuyển là $10\sqrt{30}$ m.

c) Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ khi thực hiện độ dời $\overrightarrow{d}$ là $10\sqrt{3990}$ J.

d) cos $\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{d}\right)$= $\frac{470}{10\sqrt{3990}}$

Lời giải:

a) Cường độ của lực $\overrightarrow{F}=\sqrt{4^2+6^2+9^2}$= $\sqrt{133}$ N.

b) Độ dài quãng đường dịch chuyển là: $\left|\overrightarrow{d}\right|=\sqrt{{20}^2+{50}^2+{10}^2}=10\sqrt{30}$ m.

c) Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ khi thực hiện độ dời $\overrightarrow{d}$ là:

A = $\overrightarrow{F}$.$\overrightarrow{d}$ = 4.20 + 6.50 + 9.10 = 470 (N).

d) Ta có: cos$\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{d}\right)$ = $\frac{\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}}{\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{d}\right|}=\frac{4.20+6.50+9.10}{\sqrt{133}.10\sqrt{30}}=\frac{470}{10\sqrt{3990}}$.

Bài 20 trang 79 SBT Toán 12 Tập 1: Hai vật đang chuyển động với vận tốc lần lượt là $\overrightarrow{a}$ = (2; 1; 5) và $\overrightarrow{b}$ = (8; 4; 20).

a) Hai vật đang chuyển động cùng hướng.

b) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 120.

c) cos$\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 1.

d) cos$\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 0.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{b}$ = (8; 4; 20) = 4(2; 1; 5) = $4\overrightarrow{a}$.

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng hướng hay hai vật đang chuyển động cùng hướng.

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 2.8 + 1.4 + 5.20 = 120.

Ta có: cos$\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{120}{\sqrt{2^2+1^2+5^2}.\sqrt{8^2+4^2+{20}^2}}=1$.

B. Tự luận

Bài 1 trang 79 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (0; 1; 3) và $\overrightarrow{b}$ = (−2; 3; 1). Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{x}$ thỏa mãn $2\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{b}$

Lời giải:

Ta có: $3\overrightarrow{a}$ = (0; 3; 9), $4\overrightarrow{b}$ = (−8; 12; 4).

$2\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{b}$ ⇔ $2\overrightarrow{x}=4\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}=(-8;9;-5)$.

⇒ $\overrightarrow{x}$ = $\left(-4;\frac{9}{2};-\frac{5}{2}\right)$

Bài 2 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$ = (1; 0; −2), $\overrightarrow{b}$ = (−2; 1; 3) và $\overrightarrow{c}$ = (−4; 3; 5). Tìm hai số thực m, n sao cho $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$

Lời giải:

Ta có: $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$ = (m – 2n; n; −2m + 3n).

Để $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}m-2n=-4\\ n=3\\ -2m+3n=5\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}n=3\\ m=2\end{array}\right.$.

Vậy n = 3 và m = 2.

Bài 3 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (2; m + 1; −1) và $\overrightarrow{b}$ = (1; −3; 2). Tìm giá trị nguyên của m để $\left|\overrightarrow{b}\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\right|=4$

Lời giải:

Ta có: $2\overrightarrow{a}$ = (4; 2m + 2; −2) nên $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ = (3; 2m + 5; −4).

$\overrightarrow{b}\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$ = 3.1 + (2m + 5).(−3) + 2.(−4) = −6m – 20.

Theo đề, ta có: $\left|\overrightarrow{b}\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\right|=4$ ⇒ $\left|-6m-20\right|=4$ ⇒$\left[\begin{array}{l}-6m-20=4\\ -6m-20=-4\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}m=-4\\ m=-\frac{8}{3}\end{array}\right.$.

Do m ∈ ℤ nên m = −4.

Bài 4 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (m; −2; m + 1) và $\overrightarrow{v}$ = (0; m – 2; 1). Tìm giá trị của m, để hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương.

Lời giải:

Để hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương thì $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$.

Suy ra, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}m=k.0\\ -2=k\left(m-2\right)\\ m+1=k.1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=0\\ k=0\end{array}\right.$.

Vậy m = 0.

Bài 5 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A(2; −1; 3), B(−10; 5; 3) và M(2m – 1; 2; n + 2). Tìm m, n để A, B, M thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (−12; 6; 0), $\overrightarrow{AM}$ = (2m – 3; 3; n – 1).

Để A, B, M thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AM}$.

Suy ra, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}-12=k\left(2m-3\right)\\ 6=k.3\\ 0=k\left(n-1\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}k=2\\ m=-\frac{3}{2}\\ n=2\end{array}\right.$.

Vậy n = 2, m = $-\frac{3}{2}$

Bài 6 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{a}\right|=2\sqrt{3}$, $\left|\overrightarrow{b}\right|$ = 3 và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 30°. Tính độ dài của vectơ $3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=2\sqrt{3}\mathrm{.3.}\cos 30°=9$.

Có: $\left|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^2-12\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^2}=\sqrt{9.12-12.9+4.9}=6$

Bài 7 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (2; −1; 2), $\overrightarrow{v}$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{v}\right|$ = 1 và $\left|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right|$ = 4. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

Lời giải:

Ta có: $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}=3$.

Theo đề, $\left|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right|$ = 4 ⇔ ${\left|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right|}^2={\overrightarrow{u}}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2$ ⇒ $2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}={\overrightarrow{u}}^2+{\overrightarrow{v}}^2-{\left|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right|}^2=-6$.

Khi đó, ${\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|}^2={\overrightarrow{u}}^2+{\overrightarrow{v}}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=9+1-6=4$.

Vậy $\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{4}=2$.

Bài 8 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{u}\right|$ = 2, $\left|\overrightarrow{v}\right|$ = 1 và $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ = 60°. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$

Lời giải:

Vẽ tam giác đều ABC và M là trung điểm BC.

Ta chọn $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BM}$ thỏa mãn giá thiết bài toán.

Suy ra $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MA}$.

Khi đó, $\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)=\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{MA}\right)$ = 90°.

Bài 9 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A(−3; 4; 2), B(−5; 6; 2) và C(−4; 7; −1). Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (−2; 2; 0), $\overrightarrow{AC}$ = (−1; 3; −3).

Gọi D(x; y; z).

Theo giả thiết, ta có:

$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x+3=-7\\ y-4=13\\ z-2=-9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-10\\ y=17\\ z=-7\end{array}\right.$.

Vậy D(−10; 17; −7).

Bài 10 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho các điểm A, B, C có tọa độ thỏa mãn $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{i}+8\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ ⇒ $\overrightarrow{OA}$ = (1; 1; 1) ⇒ A(1; 1; 1).

$\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$⇒ $\overrightarrow{OB}$ = (5; 1; −1) ⇒ B(5; 1; −1).

$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{i}+8\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$ ⇒ $\overrightarrow{BC}$ = (2; 8; 3).

Gọi C(x; y; z), ta có: $\left\{\begin{array}{l}x-5=2\\ y-1=8\\ z-\left(-1\right)=3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=7\\ y=9\\ z=2\end{array}\right.$ ⇒ C(7; 9; 2).

Gọi D(a; b; c). Vì ABCD là hình bình hành nên

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ ⇒ $\left\{\begin{array}{l}a-1=2\\ b-1=8\\ c-1=3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=8\\ c=4\end{array}\right.$.

Vậy D(3; 9; 4).

Bài 11 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho tam giác ABC có A(0; 0; 1), B(−1; −2; 0), C(2; 1; −1). Tìm tọa độ chân đường cao H hạ từ A xuống BC.

Lời giải:

Gọi H(x; y; z).

Ta có: $\overrightarrow{AH}$ = (x; y; z – 1), $\overrightarrow{BC}$ = (3; 3; −1), $\overrightarrow{BH}$ = (x + 1; y + 2; z).

H là chân đường cao hạ từ A xuống BC ⇔ $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BH}\text{ cuøng phöông}\end{array}\right.$.

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x.3+y.3+\left(z-1\right).\left(-1\right)=0\\ \frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{3}=\frac{z}{-1}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{19}\\ y=-\frac{14}{19}\\ z=-\frac{8}{19}\end{array}\right.$.

Vậy H $\left(\frac{5}{19};-\frac{14}{19};-\frac{8}{19}\right)$

Bài 12 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho sáu điểm A(1; 2; 3), B(2; −1; 1), C(3; 3; −3) và A', B', C' thỏa mãn

$\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{B^{\text{'}}B}+\overrightarrow{C^{\text{'}}C}=\overrightarrow{0}$. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác A'B'C'.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{B^{\text{'}}B}+\overrightarrow{C^{\text{'}}C}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\overrightarrow{A^{\text{'}}G}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{B^{\text{'}}G}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}G}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}G}+\overrightarrow{B^{\text{'}}G}+\overrightarrow{C^{\text{'}}G}\right)+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{0}$

⇔ $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi G(x; y; z), ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1+2+3}{3}=2\\ y=\frac{2+\left(-1\right)+3}{3}=\frac{4}{3}\\ z=\frac{3+1+\left(-3\right)}{3}=\frac{1}{3}\end{array}\right.$ ⇒ G$\left(2;\frac{4}{3};\frac{1}{3}\right)$

Bài 13 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho tam giác ABC có đỉnh C(−2; 2; 2) và trọng tâm G(−1; 1; 2). Tìm tọa độ các đỉnh A, B của tam giác ABC, biết điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy) và điểm B thuộc Oz.

Lời giải:

Gọi A(x_A; y_A; 0) ∈ (Oxy) và B(0; 0; z_B) ∈ Oz.

Vì G(−1; 1; 2) là trọng tâm tam giác ABC nên

$\left\{\begin{array}{l}-1=\frac{x_A+0+\left(-2\right)}{3}\\ 1=\frac{y_A+0+2}{3}\\ 2=\frac{0+z_B+2}{3}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_A=-1\\ y_A=1\\ z_B=4.\end{array}\right.$

Vậy A(−1; 1; 0), B(0; 0; 4).

Bài 14 trang 80 SBT Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A(2; −1; 3), B(4; 0; 1) và C(−10; 5; 30). Đường phân giác trong của góc B của tam giác ABC cắt BC tại D. Tính BD.

Lời giải:

Gọi D là chân đường phân giác trong của góc B.

Ta có: $\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{3}{15}$ ⇒ $\overrightarrow{DA}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{DC}$ ⇒ D(0; 0; 3).

Khi đó, $\overrightarrow{BD}$ = (−4; 0; 2) ⇒ BD = $\sqrt{{\left(-4\right)}^2+0^2+2^2}$ = $2\sqrt{5}$.

Vậy BD = $2\sqrt{5}$

Bài 15 trang 81 SBT Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A(1; 1;1 ), B(−1; 1; 0) và C(3; 1; −1). Gọi M(a; b; c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxz) và cách đều ba điểm A, B, C. Tính tổng a + b + c.

Lời giải:

Vì M(a; b; c) ∈ (Oxz) nên b = 0.

M cách đều ba điểm A, B, C ⇔ $\left\{\begin{array}{l}MA=MB\\ MA=MC\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}M{A}^2=M{B}^2\\ M{A}^2=M{C}^2\end{array}\right.$.

⇔ $\left\{\begin{array}{l}{\left(1-a\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2+{\left(1-c\right)}^2={\left(-1-a\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2+{\left(0-c\right)}^2\\ {\left(1-a\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2+{\left(1-c\right)}^2={\left(3-a\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2+{\left(-1-c\right)}^2\end{array}\right.$

⇔$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{5}{6}\\ c=-\frac{7}{6}\end{array}\right.$.

Suy ra a + b + c = $\frac{5}{6}+\left(-\frac{7}{6}\right)+0$ = $-\frac{1}{3}$

Bài 16 trang 81 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz được thiết lập tại một sân bay, người ta ghi nhận hai máy bay đang bay đến với các vectơ vận tốc $\overrightarrow{u}$ = (90; −80; −120), $\overrightarrow{v}$ = (60; −50; −60).

Tính góc giữa hai vectơ vận tốc nói trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ).

Lời giải:

Ta có: cos$\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}=\frac{90.60+\left(-80\right).\left(-50\right)+\left(-120\right).\left(-60\right)}{\sqrt{{90}^2+{\left(-80\right)}^2+{\left(-120\right)}^2}.\sqrt{{60}^2+{\left(-50\right)}^2+{\left(-60\right)}^2}}$ ≈ 0,991.

Vậy $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ ≈ 7,5°.

Bài 17 trang 81 SBT Toán 12 Tập 1: Để nghiên cứu mô hình mạng tinh thể than chì, một nhà hóa học đã thiết lập một hệ tọa độ Oxyz như Hình 2 (đơn vị: nm). Cho biết ABCDEF có dạng lục giác đều.

Tìm tọa độ các điểm A, B, C, E, A'.

Lời giải:

Ta có: AH = $\frac{3}{2}AB=0,213$ (nm).

$CH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}$ ≈ 0,123 (nm).

AE = $AB\sqrt{3}$ ≈ 0,246 (nm).

Suy ra A(0; 0; 0), B(0,142; 0; 0), C(0,213; 0,213; 0), E(0; 0,246; 0), A'(0; 0; 0,340).

Bài 18 trang 81 SBT Toán 12 Tập 1: Một robot cắt dây đã di chuyển một lực $\overrightarrow{P}$ = (0; 0; −150) (đơn vị: N) theo độ dời $\overrightarrow{d}$ = (0; −8; −10) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{P}$ khi thực hiện độ dời nói trên.

Lời giải:

Công sinh bởi lực $\overrightarrow{P}$ khi thực hiện độ dời $\overrightarrow{d}$ là:

A = $\overrightarrow{P}$.$\overrightarrow{d}$ = 0.0 + 0.(−8) + (−10).(−150) = 1500 (J).