Sách bài tập Toán 12 (Chân trời sáng tạo): Bài tập cuối chương 3

Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 3 - Chân trời sáng tạo

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 106 SBT Toán 12 Tập 1: Trong một giải bóng đá, số cổ động viên đến sân cổ vũ mỗi trận đấu được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: nghìn người):

a) Khoảng biến thiên (đơn vị: nghìn người) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. 2.

B. 8.

C. 10.

D. 18.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: 18 – 8 = 10 (nghìn người).

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. [8; 10).

B. [10; 12).

C. [12; 14).

D. [14; 16).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu là: n = 5 + 12 + 19 + 21 + 7 = 64.

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{64}{4}=16$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₆ ∈ [10; 12).

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 2,48.

B. 4,93.

C. 3,31.

D. 5,11.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{64}{4}=16$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₆ ∈ [10; 12).

Do đó, Q₁ = 10 + $\frac{16-5}{12}\left(12-10\right)$ = 12.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.64}{4}=48$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₄₈ ∈ [14; 16).

Do đó, Q₃ = 14 + $\frac{48-\left(5+12+19\right)}{21}\left(16-14\right)$ = $\frac{106}{7}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

∆Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{106}{7}$ − 12 ≈ 3,143.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị 3,31.

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 3,66.

B. 4,89.

C. 13,40.

D. 2,21.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}$ = $\frac{9.5+11.12+13.19+15.21+17.7}{64}$ = 13,40625.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

s² = $\frac{9^2.5+{11}^2.12+{13}^2.19+{15}^2.21+{17}^2.7}{64}-13,{40625}^2$ ≈ 4,897.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

s ≈ $\sqrt{4,897}$ ≈ 2,21.

Bài 2 trang 106 SBT Toán 12 Tập 1: Một tài xế ô tô công nghệ ở Thành phố Hồ Chí Minh đã thống kê khoảng cách của một số chuyến xe chạy trong địa phận thành phố ở bảng sau:

a) Khoảng biến thiên (đơn vị: km) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. 50.

B. 10.

C. 40.

D. 30.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: R = 50 – 0 = 50.

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 12,89.

B. 14,99.

C. 19,23.

D. 6,24.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu là: n = 28 + 32 + 66 + 20 + 4 = 150.

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{150}{4}=37,5$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₃₈ ∈ [10; 20).

Do đó, Q₁ = 10 + $\frac{37,5-28}{32}\left(20-10\right)$ = $\frac{415}{32}$.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.150}{4}=112,5$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₁₁₃ ∈ [20; 30).

Do đó, Q₃ = 20 + $\frac{112,5-\left(28+32\right)}{66}\left(30-20\right)$ = $\frac{615}{22}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{615}{22}$ − $\frac{415}{32}$ ≈ 14,99.

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. 104.

B. 21.

C. 10,2.

D. 441.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}$ = $\frac{5.28+15.32+25.66+35.20+45.4}{150}$ = 21.

Phương sai của mẫu số liệu là:

s² = $\frac{5^2.28+{15}^2.32+{25}^2.66+{35}^2.20+{45}^2.4}{150}-{21}^2$ = 104.

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 11,9.

B. 21.

C. 9,85.

D. 10,2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

s ≈ $\sqrt{104}$≈ 10,2.

Bài 3 trang 107 SBT Toán 12 Tập 1: Trong buổi tham quan vườn quốc gia Cát Tiên, nhóm học sinh lớp 12A3 đã ước lượng chiều dài thân của một số cá thể chuồn chuồn và ghi lại trong bảng số liệu sau:

a) Khoảng biến thiên (đơn vị: cm) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. 6,5.

B. 5.

C. 4.

D. 7,5.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: R = 7,5 – 2,5 = 5.

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên là:

A. [3,5; 4,5).

B. [4,5; 5,5).

C. [5,5; 6,5).

D. [6,5; 7,5).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Cỡ mẫu là: n = 8 + 25 + 38 + 31 + 12 = 104.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.104}{4}=78$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₇₈ ∈ [5,5; 6,5).

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. 1,83.

B. 17,41.

C. 15,80.

D. 6,44.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{104}{4}=26$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₂₆ ∈ [3,5; 4,5).

Do đó, Q₁ = 3,5 + $\frac{26-8}{25}\left(4,5-3,5\right)$ = 4,22.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.104}{4}=78$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₈₆ ∈ [5,5; 6,5).

Do đó, Q₃ = 5,5 + $\frac{78-\left(8+25+28\right)}{31}\left(6,5-5,5\right)$ = $\frac{375}{62}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{375}{62}$ − 4,22 ≈ 1,83.

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép trên gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 1,29.

B. 5,13.

C. 2,27.

D. 1,14.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Chọn các giá trị đại diện của mẫu số liệu, ta tính được số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{3.8+4.25+5.28+6.31+7.12}{104}$ = $\frac{267}{52}$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

s² = $\frac{3^2.8+4^2.25+5^2.28+6^2.31+7^2.12}{104}-{\left(\frac{267}{52}\right)}^2$ ≈ 1,29.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

s ≈ $\sqrt{1,29}$ ≈ 1,14.

Bài 4 trang 107 SBT Toán 12 Tập 1: Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d.

Bảng dưới đây biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về cân nặng một số quả dưa được lựa chọn ngẫu nhiên từ một lô hàng:

a) Số phần tử của mẫu (cỡ mẫu) là n = 100.

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 80 g.

c) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên là Q₃ = 830.

d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là ∆_Q = 29,6.

Lời giải:

Cỡ mẫu là: n = 12 + 25 + 38 + 20 + 5 = 100.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: R = 850 – 750 = 100 (g).

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{100}{4}=25$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₂₅ ∈ [770; 790).

Do đó, Q₁ = 770 + $\frac{25-12}{25}\left(790-770\right)$ = 780,4.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.100}{4}=75$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₇₅ ∈ [790; 810).

Do đó, Q₃ = 790 + $\frac{75-\left(12+25\right)}{38}\left(810-790\right)$ = 810.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q = Q₃ – Q₁ = 810 – 780,4 = 29,6.

Bài 5 trang 108 SBT Toán 12 Tập 1: Biểu đồ dưới đây biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm mức lương nhân viên một công ty (đơn vị: triệu đồng).

Biết công ty có 25 nhân viên.

Sử dụng biểu đồ trên, viết số thích hợp vào chỗ chấm trong các câu sau:

a) Tần số của nhóm [6; 8) là…..

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là…..triệu đồng.

c) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $\frac{a}{12}$ với a bằng…..

d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $\frac{b}{24}$ với b bằng……

Lời giải:

Dựa vào biểu đồ trên, ta có bảng sau:

Tần số của nhóm [6; 8) là 25.8% = 2 (nhân viên).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: R = 16 – 6 = 10.

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{25}{4}=6,25$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₇ ∈ [8; 10).

Do đó, Q₁ = 8 + $\frac{6,25-2}{6}\left(10-8\right)$ = $\frac{113}{12}$.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.25}{4}=18,75$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₁₉ ∈ [12; 14).

Do đó, Q₃ = 12 + $\frac{18,75-\left(2+6+10\right)}{4}\left(14-12\right)$ = $\frac{99}{8}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{99}{8}$ − $\frac{113}{12}$ = $\frac{71}{24}$.

B. Tự luận

Bài 1 trang 108 SBT Toán 12 Tập 1: Một cây xăng thống kê lượng xăng bán được mỗi tuần ở bảng sau (đơn vị: m³):

a) Xác định phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

b) Xác định khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

c) Biết rằng có 1 tuần cửa hàng bán được 49 m³ xăng. Giá trị đó có phải là giá trị ngoại lệ không?

Lời giải:

a) Cỡ mẫu là: n = 25 + 38 + 62 + 0 + 1 = 126.

Ta có bảng giá trị đại diện của mẫu số liệu sau:

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}$ = $\frac{27,5.25+32,5.38+37,5.62+47,5.1}{126}=\frac{4295}{126}$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

s² = $\frac{27,5^2.25+32,5^2.38+37,5^2.62+47,5^2.1}{126}-{\left(\frac{4295}{126}\right)}^2$ ≈ 16,53.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: s ≈ $\sqrt{16,53}$ ≈ 4,07.

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 50 – 25 = 25 (m³).

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{126}{4}=31,5$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₃₂ ∈ [30; 35).

Do đó, Q₁ = 30 + $\frac{31,5-25}{38}\left(35-30\right)$ = $\frac{2345}{76}$.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.126}{4}=94,5$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₉₅ ∈ [35; 40).

Do đó, Q₃ = 35 + $\frac{94,5-\left(25+38\right)}{62}\left(40-35\right)$ = $\frac{4655}{124}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{4655}{124}$ − $\frac{2345}{76}$ ≈ 6,69.

c) Ta có: Q₃ + 1,5∆Q ≈ $\frac{4655}{124}$ + 1,5.6,69 ≈ 47,58 < 49.

Vậy 49 là giá trị ngoại lệ.

Bài 2 trang 109 SBT Toán 12 Tập 1: Người ta đo độ ẩm không khí lúc 12 giờ trưa mỗi ngày tại một địa điểm trong tháng 4. Kết quả các lần đo được biểu diễn ở biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dưới đây.

a) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu ở biểu đồ trên.

b) Hãy tính các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn đến kết quả hàng phần trăm).

Lời giải:

a) Ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

b) Cỡ mẫu là: n = 6 + 6 + 9 + 6 + 3 = 30.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: 80 – 60 = 20 (%).

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{30}{4}=7,5$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₈ ∈ [64; 68).

Do đó, Q₁ = 64 + $\frac{7,5-6}{6}\left(68-64\right)$ = 65.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.30}{4}=22,5$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₂₃ ∈ [72; 76).

Do đó, Q₃ = 72 + $\frac{22,5-\left(6+6+9\right)}{6}\left(76-72\right)$ = 73.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q = Q₃ – Q₁ = 73 − 65 = 8.

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\overline{x}=\frac{62.6+66.6+70.9+74.6+78.3}{30}$ = 69,2.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

s² = $\frac{{62}^2.6+{66}^2.6+{70}^2.9+{74}^2.6+{78}^2.3}{30}-69,2^2$= 24,96.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

s = $\sqrt{24,96}$ ≈ 4,996.

Bài 3 trang 109 SBT Toán 12 Tập 1: Nhiệt độ không khí trung bình hằng năm tại hai trạm quan trắc đạt ở Quy Nhơn và Cà Mau từ năm 2006 đến năm 2022 được ghi lại như sau:

a) Hãy chia dữ liệu trên thành 4 nhóm có độ dài bằng nhau với nhóm đầu tiên là

[26,7; 27,1).

b) Hãy so sánh độ phân tán nhiệt độ không khí trung bình mỗi năm tại hai khu vực trên:

- theo khoảng biến thiên;

- theo khoảng tứ phân vị;

- theo phương sai.

Lời giải:

a) Bảng tần số ghép nhóm là:

b) ● Theo khoảng biến thiên

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn là: R_QN = 28,3 – 26,7 = 1,6 (℃).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình tại Cà Mau là: R_CM = 28,3 – 27,1 = 1,2 (℃).

So sánh theo khoảng biến thiên, nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn phân tán hơn tại Cà Mau.

● Theo khoảng tứ phân vị

Với số liệu của Quy Nhơn, ta có:

Cỡ mẫu n = 3 + 9 + 4 + 1 = 17.

Có: $\frac{n}{4}=\frac{17}{4}=4,25$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [27,1; 27,5).

Do đó, Q₁ = 27,1 + $\frac{4,25-3}{9}\left(27,5-27,1\right)$ = $\frac{1222}{45}$.

Có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.17}{4}=12,75$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [27,5; 27,9).

Do đó, Q₃ = 27,5 + $\frac{12,75-\left(3+9\right)}{4}\left(27,9-27,5\right)$ = 27,575.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm tại Quy Nhơn là:

∆Q_QN = Q₃ – Q₁ = 27,575 – $\frac{1222}{45}$ ≈ 0,42.

Với số liệu ở Cà Mau, ta có:

Cỡ mẫu n = 0 + 1 + 10 + 6 = 17.

Có: $\frac{n}{4}=\frac{17}{4}=4,25$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [27,5; 27,9).

Do đó, Q₁ = 27,5 + $\frac{4,25-1}{10}\left(27,9-27,5\right)$ =27,63.

Có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.17}{4}=12,75$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [27,9; 28,3).

Do đó, Q₃ = 27,9 + $\frac{12,75-\left(1+10\right)}{6}\left(28,3-27,9\right)$ = $\frac{1681}{60}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm tại Quy Nhơn là:

∆Q_CM = Q₃ – Q₁ = $\frac{1681}{60}$– 27,63 ≈ 0,39.

So sánh theo khoảng tứ phân vị, nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn phân tán hơn tại Cà Mau.

● Theo phương sai

Ta có bảng giá trị đại diện như sau:

Với số liệu ở Quy Nhơn, ta có:

Số trung bình của mẫu số liệu là:

${\overline{x}}_1=\frac{26,9.3+27,3.9+27,7.4+28,1.1}{17}$= $\frac{4653}{170}$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s_{QN}^2=\frac{26,9^2.3+27,3^2.9+27,7^2.4+28,1^2.1}{17}-{\left(\frac{4653}{170}\right)}^2$ ≈ 0,099.

Với số liệu ở Cà Mau, ta có:

Số trung bình của mẫu số liệu là:

${\overline{x}}_2=\frac{26,9.0+27,3.1+27,7.10+28,1.6}{17}$= $\frac{4729}{170}$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s_{CM}^2=\frac{27,3^2.1+27,7^2.10+28,1^2.6}{17}-{\left(\frac{4729}{170}\right)}^2$ ≈ 0,052.

So sánh theo phương sai, nhiệt độ không khí trung bình tại Quy Nhơn phân tán hơn tại Cà Mau.

Bài 4 trang 110 SBT Toán 12 Tập 1: Một nhóm nghiên cứu đã đo mức độ ồn của các phương tiện giao thông trên hai đường phố vào một ngày trong tuần, trong khoảng thời gian từ 5 giờ 30 phút đến 20 giờ 30 phút. Người ta đã thực hiện 92 lần đo ở mỗi con đường vào khoảng thời gian như nhau. Kết quả thống kê được ghi lại như trong bảng sau:

Hãy so sánh độ phân tán mức độ ồn của cá phương tiệm giao thông ở hai đường phố trên:

a) theo khoảng biến thiên;

b) theo khoảng tứ phân vị;

c) theo phương sai.

Lời giải:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về mức độ ồn trên đường I là:

R_I = 79 – 59 = 20 (dB).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về mức độ ồn trên đường II là:

R_II = 83 – 55 = 28 (dB).

So sánh theo khoảng biến thiên, mức độ ồn trên đường II phân tán hơn trên đường I.

b) Với mẫu số liệu ở đường I:

Cỡ mẫu n = 92

Có: $\frac{n}{4}=\frac{92}{4}=23$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [67; 71).

Do đó, Q₁ = 67 + $\frac{23-\left(4+11\right)}{41}\left(71-67\right)$ = $\frac{2779}{41}$.

Có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.92}{4}=69$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [71; 75).

Do đó, Q₃ = 71 + $\frac{69-\left(4+11+41\right)}{25}\left(75-71\right)$ = $\frac{1827}{25}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm tại Quy Nhơn là:

∆Q_I = Q₃ – Q₁ = $\frac{1827}{25}$ – $\frac{2779}{41}$ ≈ 5,3.

Với mẫu số liệu ở đường II:

Có: $\frac{n}{4}=\frac{92}{4}=23$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [67; 71).

Do đó, Q₁ = 67 + $\frac{23-5}{19}\left(71-67\right)$ = $\frac{1345}{19}$.

Có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.92}{4}=69$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [75; 79).

Do đó, Q₃ = 75 + $\frac{69-\left(5+19+43\right)}{18}\left(79-75\right)$ = $\frac{679}{9}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm tại Quy Nhơn là:

∆Q_II = Q₃ – Q₁ = $\frac{679}{9}$ – $\frac{1345}{19}$ ≈ 4,65.

So sánh theo khoảng tứ phân vị, mức độ ồn trên đường I phân tán hơn trên đường II.

c) Phương sai

Ta có bảng giá trị đại diện như sau:

Với số liệu ở đường I, ta có:

Số trung bình của mẫu số liệu là:

${\overline{x}}_I$ = $\frac{61.4+65.11+69.41+73.25+77.11}{92}$ = $\frac{1615}{23}$.

Phương sai của mẫu số liệu ở đường I là:

$s_I^2$ = $\frac{{61}^2.4+{65}^2.11+{69}^2.41+{73}^2.25+{77}^2.11}{92}-{\left(\frac{1615}{23}\right)}^2$ ≈ 15,21.

Với số liệu ở đường II, ta có:

Số trung bình của mẫu số liệu là:

${\overline{x}}_{II}$ = $\frac{57.5+69.19+73.43+77.18+81.7}{92}$ = $\frac{1672}{23}$.

Phương sai của mẫu số liệu ở đường II là:

$s_{II}^2$ = $\frac{{57}^2.5+{69}^2.19+{73}^2.43+{77}^2.18+{81}^2.7}{92}-{\left(\frac{1672}{23}\right)}^2$ ≈ 25,12.

So sánh theo phương sai, mức độ ồn trên đường II phân tán hơn trên đường I.

Bài 5 trang 110 SBT Toán 12 Tập 1: Độ tuổi của các kì thủ trong một giải cờ vua mở rộng được ghi lại trong bảng sau:

a) Hãy tính các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

b) Biết rằng trong mẫu số liệu trên có một kì thủ 12 tuổi. Hỏi tuổi của kì thủ đó có là giá trị ngoại lệ không?

Lời giải:

a) Cỡ mẫu là n = 12 + 50 + 49 + 52 + 37 = 200.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: R = 60 – 10 = 50 (tuổi).

Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{200}{4}=50$ nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [20; 30).

Do đó, Q₁ = 20 + $\frac{50-12}{50}\left(30-20\right)$ = $\frac{138}{5}$.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.200}{4}=150$ nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm [40; 50).

Do đó, Q₃ = 40 + $\frac{150-\left(12+50+49\right)}{52}\left(50-40\right)$ = $\frac{95}{2}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là:

∆Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{95}{2}$ − $\frac{138}{5}$ = 19,9.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{12.15+50.25+49.35+52.45+37.55}{200}$ = 37,6.

Phương sai của mẫu số liệu là:

s² = $\frac{{12.15}^2+{50.25}^2+{49.35}^2+{52.45}^2+{37.55}^2}{200}-{\left(37,6\right)}^2$= 142,24.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

s = $\sqrt{142,24}$ ≈ 11,93.

b) Ta có: Q₁ – 1,5∆Q = $\frac{138}{5}$ − 1,5.19,9 = −2,25 < 12.

Q₃ – 1,5∆Q = $\frac{95}{2}$ - 1,5.19,9 = 77,35 > 12.

Do đó độ tuổi của kì thủ đó không là ngoại lệ.

Bài 6 trang 110 SBT Toán 12 Tập 1: Bảng sau đây ghi lại khoảng thời gian hoàn thành đường bơi 500 m của một số học viên.

a) Xác định khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

b) Xác định phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

c) Xác định số giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu trên.

Lời giải:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: R = 14 – 8 = 6 (phú).

Cỡ mẫu: n = 10 + 16 + 24 + 35 + 10 + 5 = 100.

Có: $\frac{n}{4}=\frac{100}{4}=25$ nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [9; 10).

Do đó, Q₁ = 9 + $\frac{25-10}{16}\left(10-9\right)$ = $\frac{159}{16}$.

Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3.100}{4}=75$ nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm [11; 12).

Do đó, Q₃ = 11 + $\frac{75-\left(10+16+24\right)}{35}\left(12-11\right)$ = $\frac{82}{7}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là:

∆Q = Q₃ – Q₁ = $\frac{82}{7}$ − $\frac{159}{16}$ ≈ 1,78.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{10.8,5+16.9,5+24.10,5+35.11,5+10.12,5+5.13,5}{100}$ = 10,84.

Phương sai của mẫu số liệu là:

s² = $\frac{10.8,5^2+16.9,5^2+24.10,5^2+35.11,5^2+10.12,5^2+5.13,5^2}{100}-10,{84}^2$= 1,6444.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

s = $\sqrt{1,6444}$ ≈ 1,28.

c) Vì Q₁ – 1,5∆Q = $\frac{159}{16}$ − 1,5.1,78 = 7,2675 < 8,

Q₃ + 1,5∆Q = $\frac{82}{7}$ + 1,5.1,78 = 14,38 > 14.

Vậy mẫu số liệu ghép nhóm trên không có giá trị ngoại lệ.