Sách bài tập Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải SBT Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 16 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 2.

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

$\underset{[-5;5]}{\max }f\left(x\right)=f\left(-2\right)$ = 7, $\underset{[-5;5]}{\min }f\left(x\right)=f\left(-5\right)$ = −3.

b) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

$\underset{[-7;5]}{\max }g\left(x\right)=g\left(2\right)$ = 5, $\underset{[-7;5]}{\min }g\left(x\right)=g\left(-4\right)$ = −3.

Bài 2 trang 17 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x³ – 8x² – 12x + 1 trên đoạn [−2; 9];

b) y = −2x³ + 9x² – 17 trên nửa khoảng (−∞; 4];

c) y = x³ – 12x + 4 trên đoạn [−6; 3];

d) y = 2x³ – x² – 28x – 3 trên đoạn [−2; 1];

e) y = −3x³ + 4x² – 5x – 17 trên đoạn [−1; 2].

Lời giải:

a) y = x³ – 8x² – 12x + 1 trên đoạn [−2; 9]

Ta có: y' = 3x² – 16x – 12

y' = 0 ⇔ 3x² – 16x – 12 = 0 ⇔ x = 6 hoặc x = $\frac{-2}{3}$.

Tính các giá trị, ta được: y(−2) = −15, y$\left(-\frac{2}{3}\right)$ = $\frac{139}{27}$ ≈ 5,15, y(6) = −143, y(9) = −26.

Do đó, $\underset{[-2;9]}{\max }y=y\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{139}{27}$, $\underset{[-2;9]}{\min }y$ = y(6) = −143.

b) y = −2x³ + 9x² – 17 trên nửa khoảng (−∞; 4].

Ta có: y = −2x³ + 9x² – 17

y' = −6x² + 18x

y' = 0 ⇔ −6x² + 18x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3.

Tính các giá trị, ta được: y(0) = −17, y(3) = 10, y(4) = −1.

Ta có bảng biến thiên:

Do đó, $\underset{\left(-\infty ;4\right]}{\min }y=y\left(0\right)$ = −17 và hàm số không có giá trị lớn nhất trên (−∞; 4].

c) y = x³ – 12x + 4 trên đoạn [−6; 3]

Ta có: y' = 3x² – 12

y' = 0 ⇔ 3x² – 12 = 0 ⇔ x = ±2.

Tính các giá trị, ta được: y(−6) = −140, y(−2) = 20, y(2) = −12, y(3) = −5.

Do đó, $\underset{\left[-6;3\right]}{\min }y=y\left(-6\right)$ = −140, $\underset{\left[-6;3\right]}{\max }y=y\left(-2\right)$ = 20.

d) y = 2x³ – x² – 28x – 3 trên đoạn [−2; 1]

Ta có: y' = 6x² – 2x – 28

y' = 0 ⇔ 6x² – 2x – 28 = 0 ⇔ x = −2 hoặc x = $\frac{7}{3}$ (loại do x = $\frac{7}{3}$ ∉ [−2; 1]).

Tính được các giá trị, ta được: y(−2) = 33, y(1) = −30.

Do đó, $\underset{\left[-2;1\right]}{\min }y=y\left(1\right)$ = −30, $\underset{\left[-2;1\right]}{\max }y=y\left(-2\right)$ = 33.

e) y = −3x³ + 4x² – 5x – 17 trên đoạn [−1; 2]

Ta có: y' = −9x² + 8x – 5

y' = 0 ⇔ −9x² + 8x – 5 = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.

Do đó, $\underset{\left[-1;2\right]}{\max }y=y\left(-1\right)$ = −5, $\underset{\left[-1;2\right]}{\min }y=y\left(2\right)$ = −35.

Bài 3 trang 17 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x+1}{x-3}$ trên nửa khoảng (3; 4];

b) $y=\frac{3x+7}{2x-5}$ trên nửa khoảng $\left[-5;\frac{5}{2}\right)$;

c) $y=\frac{3x+2}{x+1}$ trên đoạn [0; 4].

Lời giải:

a) $y=\frac{2x+1}{x-3}$ trên nửa khoảng (3; 4]

Tập xác định: D = ℝ\{3}.

Ta có: y' = $\frac{-7}{{\left(x-3\right)}^2}$ < 0, với mọi x ∈ (3; 4].

Hàm số nghịch biến trên (3; 4].

Có: $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }y$ = +∞, y(4) = 9.

Do đó, $\underset{\left(3;4\right]}{\min }y$ = y(4) = 9, hàm số không có giá trị lớn nhất trên (3; 4].

b) $y=\frac{3x+7}{2x-5}$ trên nửa khoảng $\left[-5;\frac{5}{2}\right)$

Tập xác định: D = ℝ\$\left\{\frac{5}{2}\right\}$.

Ta có: y' = $\frac{-29}{{\left(2x-5\right)}^2}$ < 0, với mọi x ∈ $\left[-5;\frac{5}{2}\right)$.

Hàm số nghịch biến trên $\left[-5;\frac{5}{2}\right)$.

Do đó, $\underset{\left[-5;\frac{5}{2}\right)}{\max }y=y\left(-5\right)$ = $\frac{8}{15}$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $\left[-5;\frac{5}{2}\right)$.

c) $y=\frac{3x+2}{x+1}$ trên đoạn [0; 4]

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Ta có: y' = $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$ > 0 với mọi x ∈ [0; 4].

Hàm số đồng biến trên [0; 4], do đó: $\underset{\left[0;4\right]}{\min }y=y\left(0\right)$ = 2, $\underset{\left[0;4\right]}{\max }y$ = y(4) = $\frac{14}{5}$

Bài 4 trang 17 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y=\frac{4x^2-2x+9}{2x-1}$ trên khoảng (1; +∞);

b) $y=\frac{x^2-2}{2x+1}$ trên nửa khoảng [0; +∞);

c) $y=\frac{9x^2+3x+7}{3x-1}$ trên nửa khoảng $\left(\frac{1}{3};5\right]$;

d) $y=\frac{2x^2+3x-3}{2x+5}$ trên đoạn [−2; 4].

Lời giải:

a) $y=\frac{4x^2-2x+9}{2x-1}$ trên khoảng (1; +∞)

Tập xác định: D = ℝ\$\left\{\frac{1}{2}\right\}$.

Ta có: y' = $\frac{\left(8x-2\right)\left(2x-1\right)-2\left(4x^2-2x+9\right)}{{\left(2x-1\right)}^2}$ = $\frac{8x^2-8x-16}{{\left(2x-1\right)}^2}$

y' = 0 ⇔ $\frac{8x^2-8x-16}{{\left(2x-1\right)}^2}$ = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −1 (loại do −1∉ (1; +∞)).

Ta có bảng biến thiên:

Do đó, $\underset{\left(1;+\infty \right)}{\min }y=y\left(2\right)$ = 7, hàm số không có giá trị lớn nhất (1; +∞).

b) $y=\frac{x^2-2}{2x+1}$ trên nửa khoảng [0; +∞)

Tập xác định: D = ℝ\$\left\{-\frac{1}{2}\right\}$.

Ta có: y' = $\frac{2x\left(2x+1\right)-2\left(x^2-2\right)}{{\left(2x+1\right)}^2}$ = $\frac{2x^2+2x+4}{{\left(2x+1\right)}^2}$ = $\frac{2{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{2}}{{\left(2x+1\right)}^2}$ > 0,

với mọi x ∈ [0; +∞).

Ta có bản biến thiên:

Do đó, $\underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }y=y\left(0\right)$ = −2, hàm số không có giá trị lớn nhất trên [0; +∞).

c) $y=\frac{9x^2+3x+7}{3x-1}$ trên nửa khoảng $\left(\frac{1}{3};5\right]$

Tập xác định: D = ℝ\$\left\{\frac{1}{3}\right\}$.

Ta có: y' = $\frac{\left(18x+3\right)\left(3x-1\right)-3\left(9x^2+3x+7\right)}{{\left(3x-1\right)}^2}$ = $\frac{27x^2-18x-24}{{\left(3x-1\right)}^2}$

y' = 0 ⇔ $\frac{27x^2-18x-24}{{\left(3x-1\right)}^2}$ = 0 ⇔ x = $\frac{4}{3}$ hoặc x = $\frac{-2}{3}$ (loại do $\frac{-2}{3}$ ∉ $\left(\frac{1}{3};5\right]$).

Ta có bảng biến thiên:

Do đó, $\underset{\left(\frac{1}{3};5\right]}{\min }y=y\left(\frac{4}{3}\right)$ = 9, hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\left(\frac{1}{3};5\right]$.

d) $y=\frac{2x^2+3x-3}{2x+5}$ trên đoạn [−2; 4]

Tập xác định: D = ℝ\$\left\{-\frac{5}{2}\right\}$.

Ta có: y' = $\frac{\left(4x+3\right)\left(2x+5\right)-2\left(2x^2+3x-3\right)}{{\left(2x+5\right)}^2}$ = $\frac{4x^2+20x+21}{{\left(2x+5\right)}^2}$

y' = 0 ⇔ $\frac{4x^2+20x+21}{{\left(2x+5\right)}^2}$ = 0 ⇔ x = $-\frac{3}{2}$ hoặc x = $-\frac{7}{2}$ (loại do $-\frac{7}{2}$ ∉ [−2; 4]).

Ta có bảng biến thiên:

Do đó, $\underset{\left[-2;4\right]}{\max }y=y\left(4\right)=\frac{41}{13}$, $\underset{\left[-2;4\right]}{\min }y=y\left(-\frac{3}{2}\right)$ = $-\frac{3}{2}$.

Bài 5 trang 17 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{-x^2+9}$;

b) y = $\frac{x+1}{x^2+2x+10}$

Lời giải:

a) $y=\sqrt{-x^2+9}$

Tập xác định: D = [−3; 3].

Ta có: y' = $\frac{-x}{\sqrt{-x^2+9}}$

y' = 0 ⇔ $\frac{-x}{\sqrt{-x^2+9}}$= 0 ⇔ x = 0.

Tính các giá trị, ta được: y(−3) = 0, y(0) = 3, y(3) = 0.

Do đó, $\underset{\left[-3;3\right]}{\min }y=y\left(3\right)=y\left(-3\right)=0$, $\underset{\left[-3;3\right]}{\max }y=y\left(0\right)=3$.

b) y = $\frac{x+1}{x^2+2x+10}$

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = $\frac{x^2+2x+10-\left(x+1\right)\left(2x+2\right)}{{\left(x^2+2x+10\right)}^2}$ = $\frac{-x^2-2x+8}{{\left(x^2+2x+10\right)}^2}$

y' = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −4.

Ta có bảng biến thiên:

Bài 6 trang 17 SBT Toán 12 Tập 1: Một chất điểm chuyển động theo phương ngang có tọa độ xác định bởi phương trình x(t) = −0,01t⁴ + 0,12t³ + 0,3t² + 0,5 với x tình bằng mét, t tính bằng giây, 0 ≤ t ≤ 6. Tìm thời điểm mà tốc độ của chất điểm lớn nhất.

Lời giải:

Ta có: v(t) = x'(t) = −0,04t³ + 0,36t² + 0,6t với 0 ≤ t ≤ 6.

v'(t) = −0,12t² + 0,72t + 0,6

v'(t) = 0 ⇔ −0,12t² + 0,72t + 0,6 = 0 ⇔ t = 3 ±$\sqrt{14}$ (loại do 3 ±$\sqrt{14}$ ∉ [0; 6]).

Ta tính được các giá trị: v(0) = 0, v(6) = 7,92.

Do đó, $\underset{\left[0;6\right]}{\max }v\left(t\right)=v\left(6\right)$ = 7,92 (m/s).

Bài 7 trang 17 SBT Toán 12 Tập 1: Cho a và b là hai số không âm và có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của a⁴ + b⁴.

Lời giải:

Ta có: a + b = 4 ⇒ a = 4 – b và 0 ≤ a ≤ 4.

Đặt f(a) = a⁴ + b⁴ = a⁴ + (4 – a)⁴

f'(a) = 4a³ – 4(4 – a)³ = 0

⇔ a³ = (4 – a)³ ⇔ x = 2.

Tính các giá trị, ta được: f(0) = 256, f(2) = 32, f(4) = 256.

Do đó, $\underset{\left[0;4\right]}{\min }f\left(a\right)=f\left(2\right)=32$.

Bài 8 trang 18 SBT Toán 12 Tập 1: Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm, người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng x (cm) ở bốn góc (Hình 3a) và gấp lại thành một hình hộp không nắp (Hình 3b). Tìm x để thể tích của hình hộp là lớn nhất.

Lời giải:

Chiếc hộp sau khi gấp có cạnh đáy là: 12 – 2x (cm) với 0 < x < 6.

Thể tích của chiếc hộp lúc này là: V = x(12 – 2x)² với 0 < x < 6.

Ta có: V' = (12 – 2x)² – 4x(12 – 2x) = 12x² – 96x +144

V' = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 6 (loại do 6 ∉ (0; 6)).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy thể tích chiếc hộp lớn nhất là 128 cm³ khi x = 2 (cm).

Bài 9 trang 18 SBT Toán 12 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính 1 cm. Đặt $\widehat{A}$ = α (0 < α < π).

a) Viết biểu thức tính diện tích S của tam giác ABC theo α.

b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Gọi M là trung điểm của BC, ta có $\widehat{MOC}=2\widehat{OAC}=\widehat{BAC}$ = α.

Do đó: AM = AO + OM = 1 + cosα,

BC = 2MC = 2sinα.

Suy ra S = $\frac{1}{2}$AM.BC = sinα(1 + cosα).

b) Ta có: S' = cosα(1 + cosα) – sin²α = 2cos²α + cosα – 1;

S' = 0 ⇔ cosα = −1 hoặc cosα = $\frac{1}{2}$

⇔ α = π + k2π hoặc α = $\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$.

Mà 0 < α < π do đó α = $\frac{\pi }{3}$.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy $\underset{\left(0;\pi \right)}{\max S}=S\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}$ (cm²).

Bài 10 trang 18 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình thang có đáy nhỏ và cạnh bên bằng nhau và bằng 5. Tìm diện tích lớn nhất của hình thang cân đó.

Lời giải:

Xét hình thang cân ABCD có AB ∥ CD như hình bên.

Ta có diện tích hình thang cân ABCD là:

S = $\frac{1}{2}\left(AB+CD\right)AE=\left(5+x\right)\sqrt{25-x^2}$ (0 ≤ x < 5).

S' = $\frac{-2x^2-5x+25}{\sqrt{25-x^2}}$

S' = 0 ⇔ x = 2,5.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Do đó, $\underset{\left[0;5\right)}{\max }S=S\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{75\sqrt{3}}{4}$.

Bài 11 trang 18 SBT Toán 12 Tập 1: Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất x (kg) thành phẩm được cho bởi hàm số C(x) = 2x³ – 30x² + 177x + 2 592 (nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng 20 kg trong một ngày. Khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất?

Lời giải:

Lợi nhuận xưởng thu được trong một ngày khi sản xuất x (kg) thành phẩm là:

P(x) = 513x – (2x³ – 30x² + 177x + 2 592) = −2x³ + 30x² + 336x – 2 592 với 0 ≤ x ≤ 20.

Ta có: P'(x) = −6x² + 60x + 336

P'(x) = 0 ⇔ x = 14 hoặc x = −4 (loại do −4 ∉ [0; 20]).

Ta có bảng biến thiên:

Do đó $\underset{\left[0;20\right]}{\max }P\left(x\right)=P\left(14\right)=2504$.

Vậy x = 14 kg.

Bài 12 trang 18 SBT Toán 12 Tập 1: Giá bán P (đồng) của một sản phẩm thay đổi theo số lượng Q sản phẩm (0 ≤ Q ≤ 1 500) được cung cấp ra thị trường theo công thức P = $\sqrt{1500-Q}$. Tính số lượng sản phẩm nên được cung cấp ra thị trường để doanh thu R = PQ lớn nhất.

Lời giải:

Ta có doanh thu R = PQ = Q$\sqrt{1500-Q}$, với 0 ≤ Q ≤ 1 500

R' = $\frac{-3Q+3000}{2\sqrt{1500-Q}}$

R' = 0 ⇔ Q = 1 000.

Tính các giá trị, ta được: R(0) = 0, R(1 000) = 10 000$\sqrt{5}$, R(1 500) = 0.

Vậy $\underset{\left[0;1500\right]}{\max }R=R\left(1000\right)=10000\sqrt{5}$.