Sách bài tập Toán 12 (Chân trời sáng tạo): Bài tập cuối chương 1

Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 1 - Chân trời sáng tạo

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 33 SBT Toán 12 Tập 1: Hàm số y = f(x) trong Hình 1 nghịch biến trên khoảng nào?

A. (−2; 1).

B. (−4; −2).

C. (−1; 3).

D. (1; 3).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị hàm số, nhận thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 1).

Bài 2 trang 33 SBT Toán 12 Tập 1: Hàm số y = f(x) trong Hình 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số, hàm số có ba điểm cực trị x = −2, x = 1, x = 3.

Bài 3 trang 33 SBT Toán 12 Tập 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [0; 4] trong Hình 1 là:

A. −1.

B. −2.

C. 0.

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị hàm số, trên đoạn [0; 4], giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = −1 khi x = 1.

Bài 4 trang 33 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{x^2-2x+1}{x-2}$. Khi đó,

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞).

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 2) và (2; 3).

C. hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 2).

D. Hàm số đồng biến trên (2; +∞).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: D = ℝ\{2}.

Ta có: y' = $\frac{x^2-4x+3}{{\left(x-2\right)}^2}$

y' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (1; 2) và (2; 3).

Bài 5 trang 33 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = x³ + 4x² – 3x + 4. Khi đó:

A. Hàm số đạt cực đại tại x = $\frac{1}{3}$, giá trị cực đại là $\frac{94}{27}$.

B. Hàm số đạt cực đại tại x = −3, giá trị cực đại là 22.

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là 4.

D. Hàm số không có cực đại.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = x³ + 4x² – 3x + 4

y' = 3x² + 8x – 3

y' = 0 ⇔ x = $\frac{1}{3}$ hoặc x = −3.

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = −3, giá trị cực đại là 22.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = $\frac{1}{3}$, giá trị cực tiểu là $\frac{94}{27}$

Bài 6 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Đồ thị đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) được cho trong Hình 2.

Điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) là:

A. x = −3.

B. x = −1.

C. x = 0.

D. x = 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số, nhận thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = −1, y_CT = −1

và x = 2, y_CT = −2.

Bài 7 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Đồ thị đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) được cho trong Hình 3.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng

A. (−4; −2) và (−2; 2).

B. (−2; 0).

C. (−4; −3) và (−1; 1).

D. (−3; −1) và (1; 2).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; −1) và (1; 2).

Bài 8 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = x³ – 12x + 6. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−3; 3] là

A. 6.

B. 15.

C. 17.

D. 22.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: y = x³ – 12x + 6

y' = 3x² – 12

y' = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −2.

Tính các giá trị, ta được: y(−2) = 22, y(2) = −10, y(−3) = 15, y(3) = −3.

Vậy $\underset{\left[-3;3\right]}{\max }y=y\left(-2\right)=22$.

Bài 9 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{x^2-2x+6}{x+1}$

A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên là y = x – 3.

B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên là y = x + 3.

C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên là y = x +1.

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: y = $\frac{x^2-2x+6}{x+1}$ = x – 3 + $\frac{9}{x+1}$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x-3\right)\right]$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{9}{x+1}$ = 0.

Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = x – 3.

Bài 10 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Đồ thị hàm số y = $\frac{-4x+3}{2x+2}$ có tâm đối xứng là điểm:

A. (−1; −2).

B. (−2; −1).

C. (−1; −1).

D. (−2; −2).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{-4x+3}{2x+2}$ = +∞, $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{-4x+3}{2x+2}$ = −∞.

Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-4x+3}{2x+2}$ = −2, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-4x+3}{2x+2}$ = −2.

Do đó, đường thẳng y = −2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm có tọa độ (−1; −2).

Bài 11 trang 35 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = 2x³ – 5x² – 24x – 18.

a) Hàm số có hai cực trị.

b) Hàm số đạt cực đại tại x = $-\frac{4}{3}$, giá trị cực đại là $\frac{10}{27}$.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞).

d) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{4}{3};3\right)$

Lời giải:

Ta có: y = 2x³ – 5x² – 24x – 18

y' = 6x² – 10x – 24

y' = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = $-\frac{4}{3}$.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right)$ và (3; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{4}{3};3\right)$.

Hàm số đạt cực đại tại x = $-\frac{4}{3}$ và y_CĐ = $\frac{10}{27}$.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và y_CT = −81.

Bài 12 trang 35 SBT Toán 12 Tập 1: Hàm số y = $\frac{3x+1}{x-2}$ có các tiệm cận là

a) x = 2.

b) x = 3.

c) y = 2.

d) y = 3.

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{3x+1}{x-2}=+\infty$, $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{3x+1}{x-2}=-\infty$.

Do đó, x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x+1}{x-2}=3$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x+1}{x-2}=3$.

Do đó, y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 13 trang 35 SBT Toán 12 Tập 1: Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức P(q) = −q³ + 24q² + 780q – 5000 (nghìn đồng) trong đó q (kg) là khối lượng sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất được tối đa 50 kg sản phẩm trong một tuần.

a) Xưởng sản xuất càng nhiều thì lợi nhuận càng cao.

b) Lợi nhuận lớn nhất khi xưởng sản xuất 26 kg sản phẩm trong một tuần.

c) Sau khi sản xuất được 26 kg sản phẩm, càng sản xuất thêm thì lợi nhuận càng giảm.

d) Lợi nhuận của xưởng thấp nhất khi không sản xuất.

Lời giải:

Ta có: P(q) = −q³ + 24q² + 780q – 5000 với 0 ≤ q ≤ 50.

P'(q) = −3q² + 48q + 780

P'(q) = 0 ⇔ q = 26 hoặc q = −10 (loại do 0 ≤ q ≤ 50).

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

Xưởng sản xuất càng nhiều thì lợi nhuận càng giảm.

Lợi nhuận lớn nhất khi xưởng sản xuất 26 kg sản phẩm trong một tuần.

Sau khi sản xuất được 26 kg sản phẩm, càng sản xuất thêm thì lợi nhuận càng giảm.

Lợi nhuận sản xuất thấp nhất khi xưởng sản xuất tối đa 50 kg.

Bài 14 trang 35 SBT Toán 12 Tập 1: Đồ thị hàm số y = $\frac{x^2-2x}{x+1}$ có hai trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng:

a) x = 1 và y = x – 3.

b) x = 1 và y = −x + 3.

c) x = −1 và y = x – 3.

d) x = −1 và y = x + 3.

Lời giải:

Ta có: y = $\frac{x^2-2x}{x+1}$ = x – 3 + $\frac{3}{{\left(x-3\right)}^2}$.

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x^2-2x}{x+1}=-\infty$; $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x}{x+1}=+\infty$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x-3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{{\left(x-3\right)}^2}=0$

Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên x = x – 3.

B. Tự luận

Bài 1 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Giá thành của một sản phẩm trong 6 tháng đầu năm thay đổi theo công thức P(t) = 2t³ – 33t² + 168t + 137 với P tính bằng nghìn đồng và t là số tháng tính từ đầu năm. Trong khoảng thời gian nào thì giá của sản phẩm tăng?

Lời giải:

Ta có: P(t) = 2t³ – 33t² + 168t + 137 với 0 < t ≤ 6.

P'(t) = 6t² – 66t + 168

P'(t) = 0 ⇔ t = 4 hoặc t = 7 (loại do 7 ∉ (0; 6]).

Ta có bảng xét dấu sau:

Do đó, giá sản phẩm tăng trong 4 tháng đầu năm.

Bài 2 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Người ta muốn làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông và thể tích là 10 l. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hộp là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi x (dm) là độ dài cạnh đáy của chiếc hộp hình hộp chữ nhật (x > 0).

Khi đó, chiều cao của chiếc hộp là $\frac{10}{x^2}$ (dm).

Diện tích toàn phần của chiếc hộp là

S = 2S_đáy + S_xq = 2x² + 4x.$\frac{10}{x^2}$ = 2x² + $\frac{40}{x}$ (dm²).

Ta có: S' = 4x – $\frac{40}{x^2}$

S' = 0 ⇔ x = $\sqrt[3]{10}$.

Ta có bảng xét dấu như sau:

Do đó, diện tích toàn phần nhỏ nhất là S = $6\sqrt[3]{100}$ dm² khi x = $\sqrt[3]{10}$ dm.

Bài 3 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) = $\frac{m+2}{3}$x³ + 2x² + (m + 2)x + 1 (m là tham số).

Tìm m để đồ thị hàm số không có cực trị.

Lời giải:

Ta có: y = f(x) = $\frac{m+2}{3}$x³ + 2x² + (m + 2)x + 1

Tập xác định: D = ℝ.

TH1: $\frac{m+2}{3}$ = 0 ⇔ m = $-\frac{2}{3}$.

Ta có: y = f(x) = 2x² + $\frac{4}{3}$x + 1

y' = 4x + $\frac{4}{3}$

y' = 0 ⇔ x = $-\frac{1}{3}$.

Vậy với m = $-\frac{2}{3}$ hàm số có 1 cực trị.

Do đó, m = $-\frac{2}{3}$ loại.

TH 2: $\frac{m+2}{3}$ ≠ 0 ⇔ m ≠ $-\frac{2}{3}$.

Ta có: y = f(x) = $\frac{m+2}{3}$x³ + 2x² + (m + 2)x + 1

y' = (m + 2)x² + 4x + m + 2

Để hàm số không có cực trị thì (−2)² – (m + 2)(m + 2) ≤ 0 ⇔ (m + 2)² ≥ 4.

Suy ra m ≥ 0 hoặc m ≤ −4.

Bài 4 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị hàm số sau theo tham số m: y = f(x) = (2 – m)x³ – 3x² + 2.

Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, I luôn thuộc một parabol xác định.

Lời giải:

Để hàm số đã cho là hàm số bậc ba, ta cần có điều kiện: 2 – m ≠ 0 hay m ≠ 2. (*)

Khi đó, gọi I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba, ta có:

I$\left(\frac{1}{2-m};-2{\left(\frac{1}{2-m}\right)}^2+2\right)$.

Thay $\frac{1}{2-m}$ bởi x_I vào tung độ điểm I, ta có: y_I = $-2x_I^2$ + 2.

Biểu thức cho thấy y_I là một hàm số bậc hai theo x_r.

Suy ra tâm đối xứng I của đồ thị hàm số đã cho luôn thuộc một parabol, đó là đồ thị hàm số y = −2x² + 2.

Mặt khác, x_I = $\frac{1}{2-m}$ nên m = 2 – $\frac{1}{x_I}$.

Vậy với mọi x_I ta luôn có m = 2 – $\frac{1}{x_I}$ ≠ 2 (thỏa mãn *), nghĩa là tâm đối xứng I của đồ thị hàm số đã cho luôn thuộc parabol có phương trình y = −2x² + 2.

Bài 5 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) = $\frac{x^2+2x-m}{x-1}$ (m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị

Lời giải:

y = f(x) = $\frac{x^2+2x-m}{x-1}$

Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Ta có: y' = $\frac{x^2-2x+m-2}{{\left(x-1\right)}^2}$.

Để phương trình có hai cực trị, suy ra phương trình x² – 2x + m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Do đó, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{1}^2-2.1+m-2\ne 0\\ {(-1)}^2-m+2>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m\ne 3\\ m<3\end{array}\right.$.

Vậy m < 3.

Bài 6 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Nam dùng một tấm bìa có kích thước 50 cm x 20 cm để làm một chiếc lon hình trụ (không có nắp).

Hỏi cần chọn bán kính đáy hình trụ là bao nhiêu xăngtimét thì lon hình trụ đạt thể tích lớn nhất?

Lưu ý: Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của xăngtimét, bỏ qua phần hao hụt khi cắt và tạo hình, đáy và mặt bên phải là các bìa nguyên vẹn (không ghép nối).

Lời giải:

Gọi x (dm) là bán kính đáy hình trụ (x > 0).

Phương án 1:

Thể tích lon hình trụ cho bởi công thức:

V(x) = πx²(2 – 2x) với x ∈ $\left(0;\frac{5}{2\pi }\right]$.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

V(x) đạt giá trị lớn nhất trên $\left(0;\frac{5}{2\pi }\right]$ là khoảng 0,93 dm³ khi x ≈ 0,67 dm.

Phương án 2:

Thể tích lon hình trụ cho bởi công thức:

V(x) = 2πx² với x ∈ $\left(0;\frac{5}{2\left(\pi +1\right)}\right]$.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

V(x) đạt giá trị lớn nhất trên $\left(0;\frac{5}{2\left(\pi +1\right)}\right]$ là khoảng 2,29 dm³ khi x ≈0,60 dm.

Vậy thể tích lon hình trụ lớn nhất khi thiết kế theo phương án 2 và bán kính đáy khoảng 0,60dm.

Bài 7 trang 37 SBT Toán 12 Tập 1: Một chủ nhà hàng kinh doanh phần ăn uống đồng giá có chiến lược kinh doanh như sau:

●Phí cố định được ước tính trong một năm là 50 000 nghìn đồng.

● Chi phí một phần ăn ước tính khoảng 22 nghìn đồng.

●Giá niêm yết trên thực đơn là 30 nghìn đồng.

Trong bài này, giả định rằng tất cả các phần ăn chế biến sẵn đều được bán hết và kí hiệu x là số phần ăn tự phục vụ trong một năm, giả sử x thuộc khoảng [5 000; 25 000].

a) Gọi C(x) là tổng chi phí hằng năm cho x phần ăn này. Xác định C(x).

b) Chứng tỏ rằng giá thành của một phần ăn cho bởi biểu thức D(x) = 22 + $\frac{50000}{x}$ (nghìn đồng).

c) Sử dụng đồ thị, hãy xác định điểm hòa vốn của nhà hàng, tức là số lượng phần ăn tối thiểu phải được phục vụ hằng năm để hoạt động của nhà hàng tạo ra lợi nhuận. Hãy chứng minh điều đó.

d) Chứng minh rằng tổng lợi nhuận hằng năm cho x phần ăn được biểu thị bởi:

L(x) = 8x – 50 000 (nghìn đồng).

e) Mục tiêu của chủ nhà hàng là tạo ra lợi nhuận ít nhất là 120 000 nghìn đồng mỗi năm. Biết rằng nhà hàng mở cửa 300 ngày một năm, hỏi trung bình mỗi ngày nhà phàng phải phục vụ ít nhất bao nhiêu phần ăn để đạt được mục tiêu trên.

Lời giải:

a) Ta có: C(x) = 22x + 50 000 (nghìn đồng).

b) Giá thành một phần ăn là: D(x) = $\frac{C\left(x\right)}{x}=22+\frac{50000}{x}$ nghìn đồng.

c) Xét: $22+\frac{50000}{x}$ = 30 ⇔ x = 6250.

Ta có đồ thị hàm số:

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy giao điểm của đồ thị hàm số D(x) và đường thẳng y = 30 là điểm có tọa độ (6250; 30). Nghĩa là khi phục vụ được tối thiểu 6250 phần ăn thì chi phí một phần ăn bằng tiền bán một phần ăn (là 30 nghìn đồng).

Đồ thị cũng cho thấy rằng nếu phục vụ ít hơn 6250 phần ăn thì chi phí cho 1 phần ăn cao hơn giá 1 phần ăn, nghĩa là nhà hàng sẽ lỗ.

Như vậy điểm hòa vốn là 6250.

d) Tổng lợi nhuận hằng năm cho x phần ăn là

L(x) = 30x – (22x + 50 000) = 8x – 50 000 (nghìn đồng).

e) Để đạt mục tiêu lợi nhuận hằng năm ít nhất là 120 000 nghìn đồng thì số phần ăn cần bán được phải thỏa mãn bất phương trình sau:

L(x) ≥ 120 000

⇔ 8x – 50 000 ≥ 120 000

⇔ x ≥ 21 250.

Kết quả cho thấy hằng năm, nhà hàng cần phục vụ được tối thiểu 21 250 phần ăn thì mới có lợi nhuận như mong muốn.

Do nhà hàng mở cửa 300 ngày một năm nên trung bình mỗi ngày nhà hàng cần phục vụ số phần ăn là:

21 250 : 300 ≈ 70,8 phần ăn.

Vậy để đạt mục tiêu, trung bình mỗi ngày nhà hàng cần phục vụ ít nhất 71 phần ăn.

Bài 8 trang 37 SBT Toán 12 Tập 1: Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình chữ nhật có thể tích 800 cm³ với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất.

Chiều cao hộp là 8 cm, các kích thước khác là x (cm), y (cm) với x > 0 và y > 0.

a) Chứng tỏ rằng y = $\frac{100}{x}$.

b) Tìm diện tích toàn phần S(x) của chiếc hộp theo x.

c) Khảo sát hàm số S(x) trên khoảng (0; +∞).

d) Tìm kích thước của hộp để tiết kiệm vật liệu nhất. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mi-li-mét).

Lời giải:

a) Ta có: V = 800 = 8xy ⇒ y = $\frac{800}{8x}=\frac{100}{x}$.

b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là:

S(x) = 2(x + y).8 + 2xy = 16$\left(x+\frac{100}{x}\right)$ + 2x. $\frac{100}{x}$ = 16x + $\frac{1600}{x}$ + 200.

c) S(x) = 16x + $\frac{1600}{x}$ + 200, với x > 0.

S'(x) = 16 – $\frac{1600}{x^2}$

S'(x) = 0 ⇔ x² = 100 ⇔ x = 10.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên (10; +∞), hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 10).

d) Khi x = 10 thì hàm số S(x) đạt giá trị nhỏ nhất và S(10) = 520.

Lúc này, y = $\frac{100}{x}=\frac{100}{10}$ = 10, nghĩa là khi làm đáy hộp là hình vuông có cạnh bằng 10 cm thì sẽ tiết kiệm vật liệu nhất.