Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Sách bài tập Toán 12 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Nguyên hàm

    Với giải sách bài tập Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 12 Bài 1.

    1 322 17/07/2025
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải SBT Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

    Bài 1 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

    a) ∫x−22dx

    b) ∫x−13x+1dx

    c) ∫x23dx

    d) ∫1−x2xdx

    Lời giải:

    a) ∫x−22dx=∫x2−4x+4dx

    =∫x2dx−∫4xdx+∫4dx

    =x33−2x2+4x+C

    b) ∫x−13x+1dx=∫3x2−2x−1dx

    =∫3x2dx−∫2xdx−∫1dx

    = x3 – x2 + x + C.

    c) ∫x23dx=∫x23dx=35x53+C=35xx23+C.

    d) ∫1−x2xdx=∫x2−2x+1xdx

    =∫xx−2x+1xdx

    =∫x−12+x12+x32dx

    =2x12−2.23x32+25x52+C

    =2x−43xx+25x2x+C.

    Bài 2 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

    a) ∫5x+15x−1dx

    b) ∫e−0,5xdx

    c) ∫2x−1.52x+1dx

    Lời giải:

    a) ∫5x+15x−1dx=∫52x−1dx

    =∫52xdx−∫1dx=∫25xdx−∫1dx

    =25xln25−x+C=25x2ln5−x+C.

    b) ∫e−0,5xdx=∫e−0,5xdx=e−0,5xlne−0,5+C

    =e−0,5x−0,5+C=−2e−0,5x+C

    c) ∫2x−1.52x+1dx=∫2x2.52x.5dx=∫52.2x.25xdx

    =52∫50xdx=52.50xln50+C.

    Bài 3 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

    a) ∫cos2x1−sinxdx

    b) ∫1+3sin2x2dx

    c) ∫2cos3x+3cos2xdx

    Lời giải:

    a) ∫cos2x1−sinxdx=∫1−sin2x1−sinxdx

    =∫1−sinx1+sinx1−sinxdx

    =∫1+sinxdx=x−cosx+C.

    b) ∫1+3sin2x2dx=∫1+3.1−cosx2dx

    =∫52−32cosxdx

    =52x−32sinx+C

    c) ∫2cos3x+3cos2xdx=∫2cosx+3cos2xdx

    =∫2cosxdx+∫3cos2xdx

    =2sinx+3tanx+C

    Bài 4 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm hàm số f(x), biết rằng:

    a) f'(x) = 2x3 – 4x + 1, f(1) = 0;

    b) f'(x) = 5cosx – sinx, fπ2=1

    Lời giải:

    a) fx=∫f'xdx

    =∫2x3−4x+1dx

    x42−2x2+x+C.

    Mà f(1) = 0 ⇒12−2+1+C=0⇒C=12

    Vậy fx=x42−2x2+x+12.

    b) Ta có: fx=∫f'xdx

    =∫5cosx−sinxdx

    =5sinx+cosx+C

    Mà fπ2=1 nên 5sinπ2+cosπ2+C=1 hay 5+C=1 suy ra C = −4.

    Vậy f(x) = 5sinx + cosx – 4.

    Bài 5 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Biết rằng đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm (1; 2) và có hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm (x; f(x)) là

    1−xx2 với x > 0. Tìm hàm số f(x).

    Lời giải:

    Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm (x; f(x)) là với x > 0 hay với x > 0 và f(1) = 2.

    Ta có:

    Mà f(1) = 2 nên −1 – ln1 + C = 2 hay C = 3.

    Vậy

    Bài 6 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm đạo hàm của hàm số F(x) = lnx2+4−x. Từ đó, tìm ∫1x2+4dx.

    Lời giải:

    Ta có:

    F'x=lnx2+4−x'

    =1x2+4−x.x2+4−x'

    =1x2+4−x.xx2+4−1

    =1x2+4−x.x−x2+4x2+4

    =−1x2+4 x∈ℝ.

    Suy ra ∫1x2+4dx=∫−F'xdx=−∫F'xdx

    =−Fx+C=−lnx2+4−x+C.

    Vậy ∫1x2+4dx=−lnx2+4−x+C.

    Bài 7 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Một vật chuyển động thẳng dọc theo một đường thẳng (có gắn trục tọa độ Ox với độ dài đơn vị bằng 1 m). Biết rằng vật xuất phát từ vị trí ban đầu là gốc tọa độ và chuyển động với vận tốc v(t) = 8 – 0,4t (m/s), trong đó t là thời gian tính theo giây (t ≥ 0).

    a) Xác định tọa độ x(t) của vật tại thời điểm t, t ≥ 0.

    c) Tại thời điểm nào thì vật đi qua gốc tọa độ (không tính thời điểm ban đầu)?

    Lời giải:

    a) Ta có: xt=∫vtdt=∫8−0,4tdt = 8t – 0,2t2 + C.

    Ban đầu vật ở gốc tọa độ nên x(0) = 0, suy ra C = 0.

    Vậy x(t) = 8t – 0,2t2 với t ≥ 0.

    b) Ta có: x(t) = 0 ⇒ 8t – 0,2t2 = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = 40.

    Do không tính thời điểm ban đầu nên vật đi qua gốc tọa độ tại thời điểm t = 40 giây.

    Bài 8 trang 9 SBT Toán 12 Tập 2: Một quần thể vi sinh vật có tốc độ tăng số lượng cá thể được ước lượng bởi

    P't=150t (cá thể/ngày) với 0 ≤ t ≤ 10,

    trong đó P(t) là số lượng cá thể vi sinh vật tại thời điểm t ngày kể từ thời điểm ban đầu. Biết rằng ban đầu quần thể có 1 000 cá thể.

    a) Xác định hàm số P(t).

    b) Ước lượng số cá thể của quần thể sau 5 ngày kể từ thời điểm ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

    Lời giải:

    a Pt=∫P'tdt=∫150tdt=150∫t12dt

    =150.23.t32+C=100tt+C

    Theo giả thiết, ta có P(0) = 1 000, suy ra C = 1 000.

    Do đó, Pt=100tt+1000

    b) P(5) = 100.5.5 + 1000 = 5005 + 1000 ≈ 2 100 (cá thể).

    Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

    Bài 2: Tích phân

    Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

    Bài tập cuối chương 4

    Bài 1: Phương trình mặt phẳng

    Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

    Tham khảo các loạt bài Toán 12 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 322 17/07/2025
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: