Lý thuyết Tích phân – Toán lớp 12 Cánh diều
Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 3: Tích phân chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Tích phân- Cánh diều
A. Lý thuyết Tích phân
1. Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là b∫af(x)dx.
Chú ý:
+ Kí hiệu F(x)|ba=F(b)−F(a) và đọc là F(x) thế cận từ a đến b.
Vậy b∫af(x)dx=F(x)|ba=F(b)−F(a) .
Gọi:b∫a là dấu tích phân; a là cận dưới, b là cận trên; f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
+ Ta quy ước: a∫af(x)dx=0; b∫af(x)dx=−a∫bf(x)dx .
+ Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là b∫af(x)dx=b∫af(t)dt .
Ví dụ 1. Tính:
a) 3∫22xdx ;
b) 2∫1exdx .
Hướng dẫn giải
a) 3∫22xdx=x2|32 = 32 – 22 = 5.
b) 2∫1exdx=ex|21 = e2 – e1 = e2 – e.
2. Tính chất của tích phân
● Tính chất 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:
b∫akf(x)dx=kb∫af(x)dx (k là hằng số).
Ví dụ 2. Cho 2∫−2f(x)dx=−3 . Tính 2∫−25f(x)dx .
Hướng dẫn giải
Ta có: 2∫−25f(x)dx=52∫−2f(x)dx=5⋅(−3)=−15 .
● Tính chất 2: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:
b∫a[f(x)+g(x)]dx=b∫af(x)dx+b∫ag(x)dx;
b∫a[f(x)−g(x)]dx=b∫af(x)dx−b∫ag(x)dx.
Ví dụ 3. Tính 2∫0(x2+x−1)dx .
Hướng dẫn giải
Ta có: 2∫0(x2+x−1)dx=2∫0x2dx+2∫0xdx−2∫01dx=x33|20+x22|20−x|20
=(83−0)+(42−0)−(2−0)=83 .
● Tính chất 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử c là số thực tùy ý thuộc đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:
b∫af(x)dx=c∫af(x)dx+b∫cf(x)dx.
Ví dụ 4. Tính 2∫0|x−1| dx .
Hướng dẫn giải
Ta có:2∫0|x−1| dx=1∫0|x−1|dx+2∫1|x−1|dx=1∫0(1−x)dx+2∫1(x−1)dx
=(x−x22)|10+(x22−x)|21=[(1−12)−0]+[(42−2)−(12−1)]= 1.
3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp
3.1. Tích phân của hàm số lũy thừa
Với α ≠ – 1, ta có: b∫axαdx=xα+1α+1|ba=bα+1−aα+1α+1 .
Ví dụ 5. Tính:
a) 1∫−14x3dx ;
b) 2∫1x√3dx .
Hướng dẫn giải
a) 1∫−14x3dx=x4|1−1 = 14 – (– 1)4 = 0.
b) 2∫1x√3dx=x√3+1√3+1|21=2√3+1−1√3+1√3+1=2√3+1−1√3+1.
3.2. Tích phân của hàm số f(x) = 1x
Với hàm số f(x) = 1x liên tục trên đoạn [a; b], ta có:
b∫a1xdx=ln|x||ba=ln|b|−ln|a|.
Ví dụ 6. Tính e∫265xdx .
Hướng dẫn giải
Ta có: =65ln|x||e2=65(ln|e|−ln|2|)=65(1−ln2) .
3.3. Tích phân của hàm số lượng giác
● b∫asinxdx=−cosx|ba=−cosb−(−cosa)=cosa−cosb .
● b∫acosxdx=sinx|ba=sinb−sina .
● Với hàm số f(x) = 1sin2x liên tục trên đoạn [a; b], ta có:
b∫a1sin2xdx=−cotx|ba=−cotb−(−cota)=cota−cotb.
● Với hàm số f(x) = 1cos2x liên tục trên đoạn [a; b], ta có:
b∫a1cos2xdx=tanx|ba=tanb−tana.
Ví dụ 7. Tính:
a) π4∫0(cosx−sinx)dx ;
b) π4∫π6(4sin2x−5cos2x)dx .
Hướng dẫn giải
3.4. Tích phân của hàm số mũ
Với a > 0, a ≠ 1, ta có: β∫αaxdx=axlna|βα=aβ−aαlna .
Chú ý: Áp dụng công thức trên, ta có: β∫αexdx=ex|βα=eβ−eα .
Ví dụ 8. Tính:
a) 4∫25xdx ;
b) 1∫0(2⋅3x+ex)dx .
Hướng dẫn giải
B. Bài tập Tích phân
Bài 1. Nếu 2∫1f(x)dx=−3 và 3∫2f(x)dx=5 thì 3∫1f(x)dx bằng:
A. 8.
B. 2.
C. – 8.
D. – 15.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: 3∫1f(x)dx=2∫1f(x)dx+3∫2f(x)dx=(−3)+5=2 .
Bài 2. Cho 2∫−2f(x)dx=3, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 2] và F(– 2) = 5. Tính F(2).
Hướng dẫn giải
Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 2] nên ta có:
2∫−2f(x)dx=F(x)|2−2=F(2)−F(−2).
Mà 2∫−2f(x)dx=3 , F(– 2) = 5 nên suy ra F(2) = 3 + 5 = 8.
Bài 3. Tính:
Hướng dẫn giải
Bài 4. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái ô tô đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = – 5t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được quãng đường bằng bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải
Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0, tức là – 5t + 20 = 0 hay t = 4 (giây).
Quãng đường mà ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là:
4∫0(−5t+20)dt=(−52t2+20t)|40=40(m)
Bài 5. Tích phân 2∫1−5x3dx có giá trị bằng:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: 2∫1−5x3dx=−52∫1x−3dx=−5⋅x−2−2|21=52⋅1x2|21=52(122−112)=−158 .
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 12 Cánh diều (hay nhất)
- Văn mẫu 12 - Cánh diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12 – Cánh diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 12 - Cánh diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 12 – Cánh diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn 12 – Cánh diều
- Giải sgk Tiếng Anh 12 - ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh lớp 12 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Trọn bộ Ngữ pháp Tiếng Anh lớp 12 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Giải sbt Tiếng Anh 12 – iLearn Smart World
- Giải sgk Vật lí 12 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 12 – Cánh diều
- Lý thuyết Vật lí 12 – Cánh diều
- Giải sbt Vật lí 12 – Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 12 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Hóa 12 – Cánh diều
- Lý thuyết Hóa 12 – Cánh diều
- Giải sbt Hóa 12 – Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 12 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 12 – Cánh diều
- Lý thuyết Sinh học 12 – Cánh diều
- Giải sbt Sinh học 12 – Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 12 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 12 – Cánh diều
- Giải sbt Lịch sử 12 – Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 12 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 12 – Cánh diều
- Giải sbt Địa lí 12 – Cánh diều
- Giải sgk Tin học 12 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 12 – Cánh diều
- Giải sbt Tin học 12 – Cánh diều
- Lý thuyết Tin học 12 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 12 – Cánh diều
- Giải sgk Kinh tế pháp luật 12 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 12 – Cánh diều
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 12 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 – Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 – Cánh diều