Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Nguyên hàm – Toán lớp 12 Cánh diều

    Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 1:  Nguyên hàm chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.

    1 258 16/08/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm- Cánh diều

    A. Lý thuyết Nguyên hàm

    1. Khái niệm nguyên hàm

    ● Định nghĩa: Với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ, ta có:

    Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

    Ví dụ 1. Hàm số F(x) = x44 là nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao?

    Hướng dẫn giải

    Hàm số F(x) = x44 là nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 trên ℝ vì x44'=x3 với mọi x ∈ ℝ.

    ● Định lí:

    Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.

    Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

    a) Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

    b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm H(x) của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho H(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

    Ví dụ 2. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

    Hướng dẫn giải

    Do (sin x)' = cos x nên sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

    Vậy mọi nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x đều có dạng sin x + C, với C là một hằng số.

    ● Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên K được kí hiệu là

    ∫fxdx.

    Nhận xét:

    + Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số. Vì vậy,

    ∫fxdx=Fx+C.

    + Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

    Ta có: ∫F'xdx=Fx+C .

    Chú ý: Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

    Nhận xét: ∫0dx=C và nếu ta quy ước ∫1dx=∫dx thì ∫dx=x+C .

    Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng ∫kx3dx=k4x4+C  k≠0 .

    Hướng dẫn giải

    Do k4x4'=kx3 nên k4x4 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = kx3 trên ℝ.

    Vậy ∫kx3dx=k4x4+C  k≠0 .

    2. Tính chất của nguyên hàm

    Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.

    Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K.

    ● Tính chất 1: ∫kfxdx=k∫fxdx với k là hằng số khác 0.

    ● Tính chất 2:

    ∫fx+gxdx=∫fxdx+∫gxdx

    ∫fx−gxdx=∫fxdx−∫gxdx

    Ví dụ 4. Tìm ∫3x3−4x+7dx .

    Hướng dẫn giải

    Ta có: ∫3x3−4x+7dx=34∫4x3dx−2∫2xdx+7∫dx

    =34∫x4'dx−2∫x2'dx+7∫dx=34x4−2x2+7x+C

    B. Bài tập Nguyên hàm

    Bài 1. ∫sinxdx bằng:

    A. – cos x + C.

    B. cos x + C.

    C. sin x + C.

    D. – sin x + C.

    Hướng dẫn giải

    Đáp án đúng là: A

    Ta có: ∫sinxdx = ∫−cosx'dx=−cosx+C .

    Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

    a) x6;

    b) 6x5 + 5x4;

    c) sin x – cos x.

    Hướng dẫn giải

    a) ∫x6dx=∫177x6dx=17∫x7'dx=x77+C .

    b) ∫6x5+5x4dx=∫6x5dx+∫5x4dx=∫x6'dx+∫x5'dx = x6 + x5 + C.

    c) ∫sin x−cosxdx=∫sinxdx−∫cosxdx

    =−∫cosx'dx−∫sinx'dx= – cos x – sin x + C.

    Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x2 + 4x3, biết F(0) = 1.

    Hướng dẫn giải

    Ta có: ∫3x2+4x3dx=∫3x2dx+∫4x3dx=∫x3'dx+∫x4'dx = x3 + x4 + C.

    Vì F(0) = 1 nên 03 + 04 + C = 1, suy ra C = 1.

    Vậy F(x) = x3 + x4 + 1.

    Bài 4. Một quả bóng được ném lên từ độ cao 20 m với vận tốc được tính bởi công thức v(t) = – 9,8t + 16 (m/s).

    a) Viết công thức tính độ cao của quả bóng theo thời gian t.

    b) Sau bao nhiêu lâu kể từ khi ném lên thì quả bóng chạm đất?

    Hướng dẫn giải

    a) Gọi h(t) là độ cao của quả bóng tại thời điểm t (h(t) tính theo mét, t tính theo giây).

    Suy ra: h'(t) = v(t), do đó h(t) là một nguyên hàm của v(t).

    Ta có: ∫−9,8t+16dt=−4,9t2+16t+C .

    Suy ra h(t) = – 4,9t2 + 16t + C.

    Mà quả bóng được ném lên từ độ cao 20 m, nghĩa là tại thời điểm t = 0 thì h = 20 hay h(0) = 20. Suy ra C = 20.

    Vậy công thức tính độ cao h(t) của quả bóng tại thời điểm t là:

    h(t) = – 4,9t2 + 16t + 20.

    b) Khi quả bóng chạm đất thì h(t) = 0.

    Ta có: – 4,9t2 + 16t + 20 = 0. Giải phương trình ta được t ≈ – 0,96; t ≈ 4,23.

    Mà t > 0 nên t ≈ 4,23.

    Vậy sau khoảng 4,23 giây kể từ khi được ném lên thì quả bóng chạm đất.

    Bài 5. Hàm số F(x) = x2 – x + 1 là một nguyên hàm của hàm số:

    A. f(x) = 2x + 1.

    B. f(x) = 2x – 1.

    C. f(x) = x3 – x2 + x.

    D. f(x) = x33−x22+x.

    Hướng dẫn giải

    Đáp án đúng là: B

    Ta có: F'(x) = (x2 – x + 1)' = 2x – 1. Suy ra f(x) = F'(x) = 2x – 1 với mọi x thuộc ℝ.

    Vậy hàm số F(x) = x2 – x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x – 1 trên ℝ.

    Tham khảo các loạt bài Toán 12 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 258 16/08/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: