Lý thuyết Nguyên hàm – Toán lớp 12 Cánh diều

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm- Cánh diều

A. Lý thuyết Nguyên hàm

1. Khái niệm nguyên hàm

● Định nghĩa: Với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ, ta có:

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Ví dụ 1. Hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}$ là nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Hàm số F(x) = $\frac{x^4}{4}$ là nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ trên ℝ vì ${\left(\frac{x^4}{4}\right)}^{\text{'}}=x^3$ với mọi x ∈ ℝ.

● Định lí:

Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm H(x) của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho H(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Ví dụ 2. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Do (sin x)' = cos x nên sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

Vậy mọi nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x đều có dạng sin x + C, với C là một hằng số.

● Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên K được kí hiệu là

$\int f\left(x\right)dx$.

Nhận xét:

+ Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số. Vì vậy,

$\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$.

+ Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ta có: $\int F^{\text{'}}\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$ .

Chú ý: Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

Nhận xét: $\int 0dx=C$ và nếu ta quy ước $\int 1dx=\int dx$ thì $\int dx=x+C$ .

Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng $\int k{x}^{3}dx=\frac{k}{4}{x}^4+C\left(k\ne 0\right)$ .

Hướng dẫn giải

Do ${\left(\frac{k}{4}{x}^4\right)}^{\text{'}}=k{x}^3$ nên $\frac{k}{4}{x}^4$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = kx³ trên ℝ.

Vậy $\int k{x}^{3}dx=\frac{k}{4}{x}^4+C\left(k\ne 0\right)$ .

2. Tính chất của nguyên hàm

Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.

Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K.

● Tính chất 1: $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$ với k là hằng số khác 0.

● Tính chất 2:

$\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$

$\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$

Ví dụ 4. Tìm $\int \left(3x^3-4x+7\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int \left(3x^3-4x+7\right)dx$$=\frac{3}{4}\int \left(4x^3\right)dx-2\int \left(2x\right)dx+7\int dx$

$=\frac{3}{4}\int {\left(x^4\right)}^{\text{'}}dx-2\int {\left(x^2\right)}^{\text{'}}dx+7\int dx$$=\frac{3}{4}{x}^4-2x^2+7x+C$

B. Bài tập Nguyên hàm

Bài 1. $\int \sin xdx$ bằng:

A. – cos x + C.

B. cos x + C.

C. sin x + C.

D. – sin x + C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int \sin xdx$ = $\int {\left(-\cos x\right)}^{\text{'}}dx=-\cos x+C$ .

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) x⁶;

b) 6x⁵ + 5x⁴;

c) sin x – cos x.

Hướng dẫn giải

a) $\int x^{6}dx=\int \frac{1}{7}\left(7x^6\right)dx=\frac{1}{7}\int {\left(x^7\right)}^{\text{'}}dx=\frac{x^7}{7}+C$ .

b) $\int \left(6x^5+5x^4\right)dx=\int 6x^{5}dx+\int 5x^{4}dx=\int {\left(x^6\right)}^{\text{'}}dx+\int {\left(x^5\right)}^{\text{'}}dx$ = x⁶ + x⁵ + C.

c) $\int \left(\sin x-\cos x\right)dx=\int \sin xdx-\int \cos xdx$

$=-\int {\left(\cos x\right)}^{\text{'}}dx-\int {\left(\sin x\right)}^{\text{'}}dx$= – cos x – sin x + C.

Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x² + 4x³, biết F(0) = 1.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int \left(3x^2+4x^3\right)dx=\int 3x^{2}dx+\int 4x^{3}dx$$=\int {\left(x^3\right)}^{\text{'}}dx+\int {\left(x^4\right)}^{\text{'}}dx$ = x³ + x⁴ + C.

Vì F(0) = 1 nên 0³ + 0⁴ + C = 1, suy ra C = 1.

Vậy F(x) = x³ + x⁴ + 1.

Bài 4. Một quả bóng được ném lên từ độ cao 20 m với vận tốc được tính bởi công thức v(t) = – 9,8t + 16 (m/s).

a) Viết công thức tính độ cao của quả bóng theo thời gian t.

b) Sau bao nhiêu lâu kể từ khi ném lên thì quả bóng chạm đất?

Hướng dẫn giải

a) Gọi h(t) là độ cao của quả bóng tại thời điểm t (h(t) tính theo mét, t tính theo giây).

Suy ra: h'(t) = v(t), do đó h(t) là một nguyên hàm của v(t).

Ta có: $\int \left(-9,8t+16\right)dt=-4,9t^2+16t+C$ .

Suy ra h(t) = – 4,9t² + 16t + C.

Mà quả bóng được ném lên từ độ cao 20 m, nghĩa là tại thời điểm t = 0 thì h = 20 hay h(0) = 20. Suy ra C = 20.

Vậy công thức tính độ cao h(t) của quả bóng tại thời điểm t là:

h(t) = – 4,9t² + 16t + 20.

b) Khi quả bóng chạm đất thì h(t) = 0.

Ta có: – 4,9t² + 16t + 20 = 0. Giải phương trình ta được t ≈ – 0,96; t ≈ 4,23.

Mà t > 0 nên t ≈ 4,23.

Vậy sau khoảng 4,23 giây kể từ khi được ném lên thì quả bóng chạm đất.

Bài 5. Hàm số F(x) = x² – x + 1 là một nguyên hàm của hàm số:

A. f(x) = 2x + 1.

B. f(x) = 2x – 1.

C. f(x) = x³ – x² + x.

D. f(x) = $\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: F'(x) = (x² – x + 1)' = 2x – 1. Suy ra f(x) = F'(x) = 2x – 1 với mọi x thuộc ℝ.

Vậy hàm số F(x) = x² – x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x – 1 trên ℝ.

Trắc nghiệm: Nguyên hàm

I. Nhận biết

Câu 1. Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên khoảng $K$ nếu

A. $F^{\text{'}}\left(x\right)=-f\left(x\right),\forall x\in K.$

B. $f^{\text{'}}\left(x\right)=F\left(x\right),\forall x\in K.$

C. $F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right),\forall x\in K.$

D. $f^{\text{'}}\left(x\right)=F\left(x\right),\forall x\in K.$

Câu 2. Cho $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right),\int g\left(x\right)dx=G\left(x\right)$. Khi đó, $I=\int \left[2g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx$ bằng

A. $2F\left(x\right)+G\left(x\right).$

B. $2F\left(x\right)-G\left(x\right).$

C. $2G\left(x\right)-F\left(x\right).$

D. $F\left(x\right)-2G\left(x\right).$

Câu 3. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên K. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?

A. $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C.$

B. ${\left(\int f\left(x\right)dx\right)}^{\text{'}}=f\left(x\right).$

C. ${\left(\int f\left(x\right)dx\right)}^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right).$

D. ${\left(\int f\left(x\right)dx\right)}^{\text{'}}=F^{\text{'}}\left(x\right).$

Câu 4. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C.$

B. $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx.$

C. $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$ với mọi $k\in ℝ.$

D. $\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx.$

Câu 5. Cho hai hàm số $f\left(x\right),g\left(x\right)$ là hàm số liên tục, có $F\left(x\right),G\left(x\right)$ lần lượt là nguyên hàm của $f\left(x\right),g\left(x\right)$. Xét các mệnh đề sau:

(I). $F\left(x\right)+G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)+g\left(x\right).$

(II). $kF\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $kf\left(x\right)$ với $k\ne 0.$

(III). $F\left(x\right).G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right).g\left(x\right)$

Các mệnh đề đúng là

A. (I) và (II).

B. (II) và (III).

C. (I) và (III).

D. Cả ba mệnh đề.

II. Thông hiểu

Câu 6. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x+6$ là

A. $x^2+C.$

B. $x^2+6x+C.$

C. $2x^2+C.$

D. $2x^2+6x+C.$

Câu 7. $\int x^{2}dx$ bằng

A. $2x+C.$

B. $\frac{x^3}{3}+C.$

C. $x^3+C.$

D. $3x^3+C.$

Câu 8. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số $y=x^{2022}$?

A. $\frac{x^{2023}}{2023}+1.$

B. $\frac{x^{2023}}{2022}-1.$

C. $\frac{x^{2023}}{2023}-2.$

D. $\frac{x^{2023}}{2023}.$

Câu 9. Hàm số $F\left(x\right)=\frac{5}{3}{x}^3+5$ là nguyên hàm của hàm số nào?

A. $x^2+5.$

B. $5x^2+5.$

C. $5x^2.$

D. $\frac{1}{3}{x}^2+5.$

III. Vận dụng

Câu 10. Một vật chuyển động với gia tốc $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int \left(3t^2+t\right)dt=t^3\text{+}\frac{t^2}{2}\text{+C. }$. Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là $2\left(m/s\right).$ Vận tốc của vật đó sau hai giây là.

A. $\text{8 }\left(m/s\right).$

B. $\text{12 }\left(m/s\right).$

C. $\text{10 }\left(m/s\right).$

D. $\text{16 }\left(m/s\right).$