Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ – Toán lớp 12 Cánh diều

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Cánh diều

A. Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Nếu $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂; z₂) thì

$\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂);

$\overrightarrow{u}$ − $\overrightarrow{v}$ = (x₁ − x₂; y₁ − y₂; z₁ − z₂);

m $\overrightarrow{u}$ = (mx₁; my₁; mz₁) với m ∈ ℝ.

Nhận xét: Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁), $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂; z₂) ($\overrightarrow{v}$ ≠ 0) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực m sao cho $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=m{x}_2\\ y_1=m{y}_2\\ z_1=m{z}_2.\end{array}\right.$

Ví dụ 1:

a) Cho $\overrightarrow{u}$ = (2; 1; 0), $\overrightarrow{v}$ = (0; 5; −2), $\overrightarrow{w}$ = (4; 0; 3).

Tìm tọa độ của vectơ 2$\overrightarrow{u}$ − 3$\overrightarrow{v}$ + 4 $\overrightarrow{w}$.

b) Cho ba điểm A(−1; −3; −2), B(2; 3; 4), C(3; 5; 6). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Lời giải

a) Ta có: 2$\overrightarrow{u}$ = (4; 2; 0); 3$\overrightarrow{v}$ = (0; 15; −6); 4$\overrightarrow{w}$ = (16; 0; 12) nên

2$\overrightarrow{u}$ − 3$\overrightarrow{v}$ = (4; −13; 6)

Do đó 2$\overrightarrow{u}$ − 3$\overrightarrow{v}$ + 4$\overrightarrow{w}$ = (20; −13; 18).

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (3; 6; 6) = 3(1; 2; 2);$\overrightarrow{AC}$ = (4; 8; 8) = 4(1; 2; 2).

Nhận thấy: $\overrightarrow{AB}$ = $\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$ ⇒ Ba điểm A, B, C thẳng hàng.

2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác

• Cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B). Nếu M(x_M; y_M; z_M) là trung điểm đoạn thẳng AB thì

x_M = $\frac{x_A+x_B}{2}$ ; y_M = $\frac{y_A+y_B}{2}$ ; z_M = $\frac{z_A+z_B}{2}$ .

• Cho tam giác ABC có A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C). Nếu G(x_G; y_G; z_G) là trọng tâm tam giác ABC thì

x_G = $\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$; y_G = $\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$; z_G = $\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(2; 4; 3), B(−1; 4; 2), C(5; 1; 4). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng BC và trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải

Do I(x_I; y_I; z_I) là trung điểm của đoạn thẳng BC nên

x_I = $\frac{-1+5}{2}$ = 2; y_I = $\frac{4+1}{2}$ = $\frac{5}{2}$ ; z_{I ­} = $\frac{2+4}{2}$ = 3.

Vậy I(2;$\frac{5}{2}$; 3).

Do G(x_G; y_G; z_G) là trọng tâm tam giác ABC nên

x_G =$\frac{2+(-1)+5}{3}$ = 2; y_G =$\frac{4+4+1}{3}$= 3; z_G = $\frac{3+2+4}{3}$ = 3.

Vậy G(2; 3; 3).

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁), $\overrightarrow{v}$= (x₂; y₂; z₂) thì $\overrightarrow{u}$ . $\overrightarrow{v}$ = x₁.x₂ + y₁.y₂ + z₁.z₂.

Nhận xét:

a) Nếu $\overrightarrow{a}$ (x; y; z) thì |$\overrightarrow{a}$ | =$\sqrt{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}}$ = $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

b) Nếu A(x₁; y₁; z₁) và B(x₂; y₂; z₂) thì

AB = |$\overrightarrow{AB}$ | = $\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2\text{+ }{\left(y_2-y_1\right)}^2\text{+ }{\left(z_2-z_1\right)}^2}$ .

c) Với hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂; z₂) khác vectơ $\overrightarrow{0}$ , ta có:

• $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x₁.x₂ + y₁.y₂ + z₁.z₂ = 0.

• cos( $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ ) = $\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}$ = $\frac{x_1.x_2+y_1.y_2+z_1.z_2}{\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}.\sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}}$ .

Ví dụ 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2; 3; 0), B(4; 2; 1), C(2; −1; 1).

a) Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi của tam giác ABC.

c) Tính cos $\widehat{BAC}$.

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (2; −1; 1), $\overrightarrow{AC}$ = (0; −4; 1).

Suy ra $\overrightarrow{AB}$ = (2; −1; 1) ≠ k $\overrightarrow{AC}$= (0; −4k; k) với mọi k ∈ ℝ.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Ta có: AB = $\sqrt{2^2+{(-1)}^2+1^2}$ = $\sqrt{6}$ .

AC = $\sqrt{0^2+{(-4)}^2+1^2}$ = $\sqrt{17}$ .

BC = $\sqrt{{(-2)}^2+{(-3)}^2+0^2}$ =$\sqrt{13}$ .

Vậy chu vi của tam giác ABC bằng $\sqrt{6}$ + $\sqrt{17}$ + $\sqrt{13}$ .

c) Ta có:

cos $\widehat{BAC}$ = cos( $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ ) = $\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}$ = $\frac{2.0+(-1).(-4)+1.1}{\sqrt{6}.\sqrt{17}}$ = $\frac{5}{\sqrt{102}}$ = $\frac{5\sqrt{102}}{102}$ .

4. Cách tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước

• Ta có định lí sau:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\overrightarrow{v}$= (x₂; y₂; z₂) không cùng phương.

Khi đó, vectơ $\overrightarrow{w}$ = (y₁z₂ – y₂z₁; z₁x₂ – z₂x₁; x₁y₂ – y₂x₁) vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ .

Nhận xét:

• Vectơ $\overrightarrow{w}$ trong định lí trên còn được gọi là tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ , kí hiệu là $\overrightarrow{w}$ = [ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ ].

• Để thuận tiện trong cách viết, ta quy ước: $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$ = ad – bc, với a, b, c, d là các số thực.

Khi đó, hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂; z₂) ta có:

[ $\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{v}$ ] = $\left(\left|\begin{array}{cc}{y}_1& z_1\\ y_2& z_2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{z}_1& x_1\\ z_2& x_2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right|\right)$ = (y₁z₂ – y₂z₁; z₁x₂ – z₂x₁; x₁y₂ – y₂x₁).

• Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ không cùng phương khi và chỉ khi vectơ $\overrightarrow{w}$ = [$\overrightarrow{u}$ ,$\overrightarrow{v}$ ] ≠ $\overrightarrow{0}$.

Ví dụ 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$= (2; 3; 1) và $\overrightarrow{v}$= (1; 0; 3).

Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{w}$ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ .

Lời giải

Ta có:

[$\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ ] = $\left(\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 0\end{array}\right|\right)$ = (9; −5; −3).

Chọn $\overrightarrow{w}$ = (9; −5; −3).

Theo định lí trên, vectơ $\overrightarrow{w}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và$\overrightarrow{v}$

B. Bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}$= (2; 0; −2); $\overrightarrow{b}$ = (3; 4; −1). cos($\overrightarrow{a}$ ,$\overrightarrow{b}$ ) là:

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: cos($\overrightarrow{a}$ ,$\overrightarrow{b}$ ) =$\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$ = $\frac{2.3+0.4+(-2).(-1)}{\sqrt{2^2+0^2+{(-2)}^2}.\sqrt{3^2+4^2+{(-1)}^2}}$ = $\frac{2\sqrt{13}}{13}$ .

Bài 2: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho tam giác ABC có A(2; −1; 1), B(1; −1; 2) và C(3; 0; 2).

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$= $\overrightarrow{AB}$ − 2 $\overrightarrow{AC}$.

b) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải

a) Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (−1; 0; 1),

$\overrightarrow{AC}$ = (1; 1; 1) ⇒ 2$\overrightarrow{AC}$ = (2; 2; 2).

$\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{AB}$ − 2$\overrightarrow{AC}$ = ( −1 − 2; 0 – 2; 1 – 2) = (−3; −2; −1).

Vậy $\overrightarrow{u}$ = (−3; −2; −1).

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{AC}$ = −1.1 + 0.1 + 1.1 = 0.

⇒ $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\overrightarrow{AC}$ .

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (−2; 3; 1) và $\overrightarrow{v}$ = (1; 2; 3).

Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{w}$ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ .

Lời giải

Ta có: [$\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ ] = $\left(\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 3\\ 1& 2\end{array}\right|\right)$ = (7; 7; −7).

Chọn $\overrightarrow{w}$ = (7; 7; −7).

Khi đó, vectơ $\overrightarrow{w}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ .

Bài 4: Một vật có trọng lượng 360 N được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trong các điểm P(−2; 0; 0), Q(1; $\sqrt{3}$ ; 0), R(1; −$\sqrt{3}$ ; 0) còn đầu kia gắn với vật tại điểm S(0; 0;−2) như hình dưới. Gọi F­₁, F₂; F₃ lần lượt là lực căng trên các sợi dây cáp RS, QS và PS. Tìm tọa độ của các lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$.

Lời giải

Theo giả thiết, ta có các điểm:

S(0; 0; −2), P(−2; 0; 0), Q(1;$\sqrt{3}$ ; 0), R(1;- $\sqrt{3}$ ; 0).

Khi đó: $\overrightarrow{SP}$ = )-2; 0; 2), $\overrightarrow{SQ}=\left(1;\sqrt{3};2\right)$ , $\overrightarrow{SR}=\left(1;-\sqrt{3};2\right)$ .

Suy ra: $\left|\overrightarrow{SP}\right|=\left|\overrightarrow{SQ}\right|=\left|\overrightarrow{SR}\right|=2\sqrt{2}.$

Lại có: $\overrightarrow{PQ}=\left(3;\sqrt{3};0\right)$ , $\overrightarrow{QR}=\left(0;-2\sqrt{3};0\right)$ ; $\overrightarrow{PR}=\left(3;-\sqrt{3};0\right)$ .

Vì $\left|\overrightarrow{RP}\right|=\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\left|\overrightarrow{QR}\right|=2\sqrt{3}$ nên tam giác PQR đều. Do đó, $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|$ .

Vậy tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:

Ta có: $\overrightarrow{F_1}$= c $\overrightarrow{SR}$ = (c; −c$\sqrt{3}$ ; 2c).

$\overrightarrow{F_2}$ = c $\overrightarrow{SQ}$ = (c; c$\sqrt{3}$ ; 2c).

$\overrightarrow{F_3}$ = c $\overrightarrow{SP}$ = (−2c; 0; 2c).

Suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}$ = (0; 0; 6c).

Mặt khác, ta có: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{F}$ , trong đó $\overrightarrow{F}$ = (0; 0; −360) là trọng lực của vật.

Suy ra 6c = −360 thì c = −60.

Vậy tọa độ của các lực là:

$\overrightarrow{F_1}$ $\left(-60;60\sqrt{3};-120\right)$ ;$\overrightarrow{F_2}$$\left(-60;-60\sqrt{3};-120\right)$ ; $\overrightarrow{F_3}\left(120;0;-120\right)$ .

Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}$ = (2; 3; −2); $\overrightarrow{b}$ = (3; 1; −1). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ − 2$\overrightarrow{b}$ là:

A. (−4; 1; 0).

B. (4; 1; 0).

C. (6; 5; −4).

D. (6; −5; 4).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow{a}$= (2; 3; −2); 2 $\overrightarrow{b}$ = (6; 2; −2).

Vậy $\overrightarrow{a}$− 2 $\overrightarrow{b}$ = (2 – 6; 3 – 2; −2 – (−2)) = (−4; 1; 0).