Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}$ 

$=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}+\left(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FE}\right)$ 

$=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}+\left(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FE}\right)$ 

$=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EE}$ 

 $=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{0}$

$=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$ 

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: C

Lời giải

Vì tam giác ABC đều cạnh 2a nên $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=2a$.

*Phương pháp giải

*Lý thuyết

- Định nghĩa: Mỗi vecto đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ chính bằng độ dài đoạn thẳng AB. Kí hiệu: $\left|\overrightarrow{AB}\right|$

- Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)$ được tính theo công thức: $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$.

Xem thêm

Công thức tính độ dài vectơ (2024) chi tiết nhất 

Đáp án đúng là: A

*Phương pháp giải:

- Áp dụng quy tắc hình bình hành để xác định được tổng của hai vecto.

- Dựa vào các tính chất của hình thoi và dữ kiện đề bài đã cho để xác định số đo của các cạnh.

- Sử dụng định lí Pytago để tìm ra độ dài đoạn cần tính.

*Lời giải:

Tứ giác ABCD là hình thoi ⇒ AB = AD.

Do đó tam giác ABD cân tại A.

Mà $\widehat{BAD}=60°$.

Suy ra tam giác ABD là tam giác đều.

⇒ BD = AB = AD = 2a.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

Suy ra $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC$.

Vì O là tâm hình thoi ABCD nên O là trung điểm AC và BD.

Do đó AC = 2AO và BO = $\frac{1}{2}BD$ = a.

Tam giác ABO vuông tại O: $A{O}^2=A{B}^2-B{O}^2$ (Định lý Pytago)

$\iff A{O}^2=4a^2-a^2=3a^2$.

$\Rightarrow AO=a\sqrt{3}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC=2AO=2a\sqrt{3}$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải SGK Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Công thức về tổng và hiệu hai vectơ chi tiết nhất - Toán lớp 10

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì M là trung điểm AB nên ta có AM = $\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$.

Tam giác MAD vuông tại A: $D{M}^2=A{M}^2+A{D}^2$ (Định lý Pytago)

$\iff D{M}^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+a^2=\frac{5a^2}{4}$

$\Rightarrow DM=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P.

Ta có NP // AD, mà AD ⊥ CN (vì ABCD là hình vuông)

Do đó NP ⊥ CN hay NP ⊥ ND.

Suy ra $\widehat{PND}=90°$  (1).

Vì AD ⊥ ND nên $\widehat{ADN}=90°$  (2).

Tương tự, AD ⊥ AP nên $\widehat{PAD}=90°$ (3).

Từ (1) (2) (3), ta suy ra tứ giác ADNP là hình chữ nhật (4).

Vì N là điểm đối xứng của C qua D nên ND = CD = a.

Mà AD = a (do ABCD là hình vuông cạnh a).

Nên ND = AD = a (5).

Đáp án đúng là: D

Lời giải

Từ đẳng thức $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$, ta suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Vì k = – 3 < 0 nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ngược hướng. Do đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

Ta có $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$, suy ra $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|-3\overrightarrow{AC}\right|$, do đó AB = 3AC.

Suy ra BC = AB + AC = 3AC + AC = 4AC.

Mà $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

Do đó ta suy ra $\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{AC}$.

*Phương pháp giải

Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau.

+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

+ Hai vectơ  và  được gọi là bằng nhau, kí hiệu là $\overrightarrow{a}$  = $\overrightarrow{b}$ , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

*Lý thuyết

Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau.

+ Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

+ Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Hai vectơ  và  được gọi là bằng nhau, kí hiệu là $\overrightarrow{a}$  = $\overrightarrow{b}$ , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Ví dụ:

Trong hình trên đường thẳng m đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ $\overrightarrow{a}$, nên đường thẳng m gọi là giá của vectơ $\overrightarrow{a}$ .

Tương tự, đường thẳng n là giá của hai vectơ $\overrightarrow{b}$  và $\overrightarrow{c}$ .

Đường thẳng m và n song song với nhau nên ba vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$  và $\overrightarrow{c}$   là các vectơ cùng phương.

$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$  cùng phương nhưng ngược hướng; $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{c}$  cùng phương và cùng hướng.

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{c}$  cùng hướng, ngoài ra chúng có độ dài bằng nhau nên $\overrightarrow{a}$  = $\overrightarrow{c}$ .

Chú ý:

+ Ta cũng xét các vectơ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (chẳng hạn $\overrightarrow{AA}$ , $\overrightarrow{BB}$ ), gọi là các vectơ–không.

+ Ta quy ước vectơ–không có độ dài bằng 0, cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ.

+ Các vectơ–không có cùng độ dài và cùng hướng nên bằng nhau và được kí hiệu chung là $\overrightarrow{0}$ .

+ Với mỗi điểm O và vectơ $\overrightarrow{a}$  cho trước, có duy nhất điểm A sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ .

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

Chú ý: Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng như lực, vận tốc, gia tốc. Hướng của vectơ chỉ hướng của đại lượng, độ dài của vectơ thể hiện cho độ lớn của đại lượng và được lấy tỉ lệ với độ lớn của đại lượng.

Xem thêm các bài toán hay, chi tiết khác

Lý thuyết Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu - Kết nối tri thức

Giải Toán 10 Bài 7 (Kết nối tri thức): Các khái niệm mở đầu 

Đáp án đúng là: D

*Phương pháp giải:

- Vì giả thiết không cho góc nên ta sẽ phân tích các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ theo các vectơ vuông góc với nhau.

- Trong hình thoi 2 đường chéo sẽ vuông góc, mà tích 2 vecto vuông góc = 0.Sau đó tách thành các vecto dựa vào quy tắc 3 điểm để sử dụng được dữ kiện bài toán cho

*Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD hay AC ⊥ OB.

Suy ra $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{OB}$.

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OB}=0$.

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\right).\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}+0=\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^2=\frac{1}{2}A{C}^2=32$.

*Công thức cần nắm thêm:

- Quy tắc trung điểm: I là trung điểm của AB

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ ( M tùy ý )

- Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ ( M tùy ý )

- Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

- Phân tích một vectơ theo hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương: $\overrightarrow{x}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$ (h, k là duy nhất)

- Độ dài vectơ tích của vectơ với một số: $\left|k\overrightarrow{a}\right|=\left|k\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|$

- Điều kiện 2 vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$($\overrightarrow{b}\ne 0$) cùng phương: $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ ( k$\ne$0)

- Điều kiện 3 điểm thẳng hàng: $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$

- Tính chất của tích vectơ với một số:

$k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}(h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a}1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};(-1)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}0.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0};k.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án (Tổng hợp)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: Tứ giác ABCO là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}$.

Vì O là trung điểm BE nên $\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$.

Do đó ta có .

Vậy A đúng.

Đáp án B: Ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AO}$ và $\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{OD}$.

Do đó $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AD}$.

Vậy B đúng.

Đáp án C: Ta có $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{EO}$ (2 vectơ này cùng hướng và có độ dài bằng nhau).

Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{EB}$

Vậy C đúng.

Đáp án D: Vì tứ giác ABOF là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FO}$.

Vì tứ giác CDEO là hình bình hành nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OE}$.

Do đó ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{FE}\ne \overrightarrow{0}$

Vậy D sai.

Vậy ta chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vẽ $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}$.

Ta có $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{CBD}$.

Tam giác ABC vuông cân tại A. Ta suy ra $\widehat{ABC}=45°$.

Ta có $\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=180°$ (hai góc kề bù)

Khi đó ta được $\widehat{CBD}=180°-45°=135°$.

Tam giác ABC vuông cân tại A: BC² = AB² + AC² (Định lý Pytago)

⇔ BC² = 2a²

$\Rightarrow BC=a\sqrt{2}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=AB.BC.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=a.a\sqrt{2}.\cos 135°=-a^2$

Vậy ta chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mệnh đề (I) sai vì $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Mệnh đề (II) sai vì $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ không cùng phương.

Mệnh đề (III) đúng vì:

Ta có OB, OC là bán kính đường tròn (O) nên OB = OC = R.

Mà $\left|\overrightarrow{OB}\right|=OB$ và $\left|\overrightarrow{OC}\right|=OC$ nên ta có $\left|\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|=R$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Ta có $\overrightarrow{MB}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0\iff \overrightarrow{MB}.3\overrightarrow{MG}=0\iff \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MG}=0\iff \overrightarrow{MB}\perp \overrightarrow{MG}$ (*)

Biểu thức (*) chứng tỏ MB ⊥ MG hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông.

Do đó tập hợp các điểm M là một đường tròn đường kính BG.

Vậy ta chọn đáp án D

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì ABCD là hình vuông nên BC = AD = 3a.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

Tam giác ABC vuông tại B: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$ (Định lý Pytago)

$\iff A{C}^2=16a^2+9a^2=25a^2$

⇒ AC = 5a.

Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=5a$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Lời giải 

Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

Vectơ khác vectơ-không là vectơ có điểm đầu khác điểm cuối.

Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C, D là: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB}$.

Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

*Phương pháp giải:

Chọn điểm đầu là một trong $4$ điểm, đếm số véc tơ có điểm đầu là điểm vừa chọn và điểm cuối là các điểm còn lại.

Từ đó suy ra số véc tơ thỏa mãn bài toán.

*Lý thuyết:

1. Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.

Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và đọc là “vectơ AB”. Để vẽ được vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B.

Đối với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, ta gọi:

– Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B là giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

– Độ dài đoạn thẳng AB là độ dài của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, kí hiệu là $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$.

Vectơ còn được kí hiệu là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, $\overrightarrow{\mathrm{x}}$, $\overrightarrow{\mathrm{y}}$ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|.$ 

Ví dụ: Vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ có độ dài là 5, ta có thể viết như sau: $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$ = 5.

Xem thêm

Lý thuyết Khái niệm vectơ – Toán 10 Cánh diều 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\iff -\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\right)=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$.

Vì N là trung điểm CD nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}$

Suy ra $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)+2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$

Vậy ta chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đặt $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$. Khi đó ta có $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|$ = 50 (N) và $\widehat{AOB}=60°$.

Dựng điểm C sao cho tứ giác OACB là hình bình hành.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$ hay $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OC}$.

Suy ra lực tổng hợp của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là $\overrightarrow{OC}$.

Do đó cường độ tổng hợp lực của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là $\left|\overrightarrow{OC}\right|$.

Vì OA = OB nên tam giác OAB cân tại O.

Mà  $\widehat{AOB}=60°$ nên tam giác OAB đều.

Gọi I là giao điểm của OC và AB

⇒ I là trung điểm OC và AB ⇒ BI = $\frac{AB}{2}=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\right|}{2}=\frac{50}{2}$ = 25 (N).

Tam giác OAB đều có OI là đường trung tuyến.

Suy ra OI cũng là đường cao của tam giác OAB.

Tam giác OBI vuông tại I: $O{I}^2=O{B}^2-B{I}^2$ (Định lý Pytago)

$\iff O{I}^2={50}^2-{25}^2=1875$

⇒ OI = $25\sqrt{3}$ (N).

Do đó OC = 2OI = $50\sqrt{3}$ (N).

Vậy ta chọn đáp án B.