Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

Đáp án đúng là: D

*Phương pháp giải:

- Vì giả thiết không cho góc nên ta sẽ phân tích các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ theo các vectơ vuông góc với nhau.

- Trong hình thoi 2 đường chéo sẽ vuông góc, mà tích 2 vecto vuông góc = 0.Sau đó tách thành các vecto dựa vào quy tắc 3 điểm để sử dụng được dữ kiện bài toán cho

*Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD hay AC ⊥ OB.

Suy ra $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{OB}$.

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OB}=0$.

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\right).\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}+0=\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^2=\frac{1}{2}A{C}^2=32$.

*Công thức cần nắm thêm:

- Quy tắc trung điểm: I là trung điểm của AB

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ ( M tùy ý )

- Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ ( M tùy ý )

- Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

- Phân tích một vectơ theo hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương: $\overrightarrow{x}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$ (h, k là duy nhất)

- Độ dài vectơ tích của vectơ với một số: $\left|k\overrightarrow{a}\right|=\left|k\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|$

- Điều kiện 2 vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$($\overrightarrow{b}\ne 0$) cùng phương: $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ ( k$\ne$0)

- Điều kiện 3 điểm thẳng hàng: $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$

- Tính chất của tích vectơ với một số:

 

$k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}(h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a}1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};(-1)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}0.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0};k.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số có đáp án (Thông hiểu) 

Trắc nghiệm Toán 10 Tích của một số với một vectơ có đáp án

Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án (Tổng hợp)