Lời giải

Đặt:

$S=x+y,P=xy\left(S^2-4P\ge 0\right)$

Ta có :$\left\{\begin{array}{l}S=2a+1\\ S^2-2P=a^2-2a+3\end{array}\right.$

$\Rightarrow P=\frac{3a^2+6a-2}{2}$

Hệ phương trình có nghiệm khi  :

$$\begin{gathered} S^2-4P\ge 0 \\ \iff {\left(2a+1\right)}^2-2\left(3a^2+6a-2\right)\ge 0 \end{gathered}$$

$\iff 5a^2-8a-2\ge 0$

$$\begin{gathered} P=\frac{3}{2}\left(a^2+2a+\frac{1}{2}\right) \\ =\frac{3}{2}\left({\left(a+1\right)}^2-\frac{1}{2}\right)\ge -\frac{3}{4} \end{gathered}$$

Đẳng thức xảy ra khi a=-1 (nhận).

Lời giải

Ta có:  

$D=\left(a+b\right)\left(a^3-b^3\right)-\left(a^3+b^3\right)\left(a-b\right)$

$=2ab\left(a^2-b^2\right)$

$D_x=2\left(a^3-b^3\right)-2\left(a^2+b^2\right)\left(a-b\right)$

$=2ab\left(a-b\right)$

$D_y=\left(a-b\right)2\left(a^2+b^2\right)-2\left(a^3-b^3\right)$

$=2ab\left(a+b\right)$

Hệ có nghiệm

$x=\frac{D_x}{D}=\frac{1}{a+b};$

$y=\frac{D_y}{D}=\frac{1}{a-b}$.

Lời giải

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}2x-y=2-a\\ x+2y=a+1\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}4x-2y=4-2a\\ x+2y=a+1\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5-a}{5}\\ y=\frac{3a}{5}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow x^2+y^2={\left(\frac{5-a}{5}\right)}^2+\frac{9a^2}{25} \\ =\frac{10a^2-10a+25}{25} \\ =\frac{1}{5}\left(2a^2-2a+5\right) \\ =\frac{1}{5}\left({\left(\sqrt{2}a-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+\frac{9}{2}\right)\ge \frac{9}{10} \end{gathered}$$

Đẳng thức xảy ra khi $a=\frac{1}{2}$.

Lời giải

Ta có: $D=-2m^2+m+1$,

$D_x=-5m^2+3m+2$,  

$D_y=m^2-m$

Hệ phương trình có nghiệm khi:

$D\ne 0\iff m\ne 1;m\ne -\frac{1}{2}$

Nghiệm của hệ là:

$$\begin{gathered} x=\frac{D_x}{D}=\frac{-5m+2}{-2m+1}; \\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{m}{-2m+1} \end{gathered}$$

Thế vào phương trình $x+2y=4$ ta được:

$\frac{-5m+2}{-2m+1}+\frac{2m}{-2m+1}=4$

$\iff m=\frac{2}{5}$.

Lời giải

Ta có: $D=m^2-m-2$

$D_x=-2m^2-2m-6$,

$D_y=2m^2+3m-5$,  

Hệ phương trình có nghiệm khi :

$D\ne 0\iff m\ne -1;m\ne 2$

Hệ có nghiệm:

$$\begin{gathered} x=\frac{-2m^2-2m-6}{m^2-m-2} \\ y=\frac{2m^2+3m-5}{m^2-m-2} \end{gathered}$$

Hệ phương trình có nghiệm âm khi

$\left\{\begin{array}{l}{m}^2-m-2>0\\ 2m^2+3m-5<0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}m<-1\\ m>2\end{array}\right.\cap -\frac{5}{2}<m<1$

$\iff -\frac{5}{2}<m<-1$ .

Lời giải

Phương trình:

$\left(1\right)\iff \left(x+y\right)\left(2x-y\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-y\\ 2x=y\end{array}\right.$.

Trường hợp 1: $x=-y$  thay vào (2) ta được $x^2-4x+3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}\right.$. Suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là $\left(1;-1\right)$,$\left(3;-3\right)$

Trường hợp 2: $2x=y$ thay vào (2) ta được $-5x^2+17x+3=0$ phương trình này không có nghiệm nguyên

Vậy các cặp nghiệm (x,y) sao cho x,y đều là các số nguyên là $\left(1;-1\right)$ và $\left(3;-3\right)$.

Lời giải

Ta có :

$\left(1\right)\iff x^2-4xy+y^2=1$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\left(x-y\right)}^2=1+2xy\\ {\left(x+y\right)}^2=1+6xy\end{array}\right.$

$\left(2\right)\iff y-3xy=4$

$\iff \left(x+y\right)-\left(x-y\right)-8xy-4=0$

$\iff \left(x+y\right)-{\left(x+y\right)}^2-\left(x-y\right)-{\left(x-y\right)}^2-2=0$

$\iff {\left(x+y-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(x-y+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}=0$

 không có giá trị của x, y thỏa nên không tồn tại xy.

Lời giải

Ta có: $D=m^2-1$

$D_x=m-1$, $D_y=2m^2+m-3$ 

Hệ phương trình có nghiệm :

$x=\frac{D_x}{D}=\frac{1}{m+1},y=\frac{D_y}{D}=\frac{2m-1}{m+1}$

Hệ phương trình có nghiệm nguyên khi $m=0; m=-2$.

Lời giải

Khi $x,y\ge 0$ thì hệ trở thành $\left\{\begin{array}{l}x+2y=3\\ 7x+5y=2\end{array}\right.\iff x=-\frac{11}{9};y=\frac{19}{9}$ (loại)

Khi $x,y<0$ thì hệ trở thành $\left\{\begin{array}{l}-x-2y=3\\ 7x+5y=2\end{array}\right.\iff x=\frac{19}{9},y=\frac{-23}{9}$ (loại)

Khi $x\ge 0,y<0$ thì hệ trở thành $\left\{\begin{array}{l}x-2y=3\\ 7x+5y=2\end{array}\right.$ $\iff x=1;y=-1$ (nhận)

Khi $x<0,y\ge 0$ thì hệ trở thành $\left\{\begin{array}{l}-x+2y=3\\ 7x+5y=2\end{array}\right.$ $\iff x=-\frac{11}{19};y=\frac{23}{19}$ (nhận)

Lời giải

Đặt :

$S=x+y,P=xy\left(S^2-4P\ge 0\right)$

Ta có :$\left\{\begin{array}{l}P+S=5\\ PS=6\end{array}\right.$

$\Rightarrow S,P$ là nghiệm của phương trình :

$X^2-5X+6=0\iff X=2;X=3$

Khi $S=2,P=3$ (loại)

Khi $S=3,P=2$ thì x,y là nghiệm phương trình $X^2-3X+2=0$ $\iff X=1;X=2$

Vậy nghiệm của hệ là $\left(1;2\right),\left(2;1\right)$.

Lời giải

Ta có :   

$\left\{\begin{array}{l}2x^2+y^2+3xy=12\\ 2{(x+y)}^2-y^2=14\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x^2+y^2+3xy=12\\ 2x^2+y^2+4xy=14\end{array}\right.$

$\Rightarrow xy=2\Rightarrow y=\frac{2}{x}$

$\Rightarrow 2x^2+\frac{4}{x^2}+6=12$

$\iff 2x^4-6x^2+4=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2=1\\ x^2=2\end{array}\right.\iff x=\pm 1;x=\pm \sqrt{2}$

Vậy cặp nghiệm dương của hệ phương trình là $\left(1;2\right),\left(\sqrt{2};\sqrt{2}\right).$

Lời giải

Ta có :  

$$\begin{gathered} x^3-3x=y^3-3y \\ \iff \left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-3\left(x-y\right)=0 \end{gathered}$$

$\iff \left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-3\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=y\\ x^2+xy+y^2-3=0\end{array}\right.$

Khi $x=y$ thì hệ có nghiệm $\left(\pm \sqrt[6]{\frac{27}{2}};\pm \sqrt[6]{\frac{27}{2}}\right)$.

Khi

$$\begin{gathered} x^2+xy+y^2-3=0 \\ \iff x^2+y^2=3-xy \end{gathered}$$

ta có  $x^6+y^6=27$

$\iff \left(x^2+y^2\right)\left(x^4-x^2{y}^2+y^4\right)=27$

$\Rightarrow \left(3-xy\right)\left[{\left(3-xy\right)}^2-3x^2{y}^2\right]=27$

$\iff 3{\left(xy\right)}^3+27xy=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}xy=0\\ {\left(xy\right)}^2=-9\end{array}\right.$(vô lí).

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Lời giải

Điều kiện: $x,y\ge 1$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}2x+\sqrt{y-1}=1\\ 2y+\sqrt{x-1}=1\end{array}\right.$

$\Rightarrow 2x-2y+\sqrt{y-1}-\sqrt{x-1}=0$

$\Rightarrow 2\left(x-y\right)+\frac{y-x}{\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}=0}$

$\Rightarrow \left(x-y\right)\left(2-\frac{1}{\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}}\right)=0$

Khi $x=y$ thì

$$\begin{gathered} 2x+\sqrt{x-1}=1 \\ \Rightarrow \sqrt{x-1}=1-2x \end{gathered}$$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\le \frac{1}{2}\\ x-1={\left(1-2x\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\le \frac{1}{2}\\ 4x^2-5x=0\end{array}\right.$

$\iff x=0$

Khi $\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}=\frac{1}{2}$thì

$2x+2y+\frac{1}{2}=2\Rightarrow x+y=\frac{3}{4}$

(vô nghiệm vì $x,y\ge 1$)

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(0;0\right)$

Lời giải

Ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

$$\begin{gathered} \iff xy+yz+zx=xyz \\ \Rightarrow xyz=27 \end{gathered}$$

$\Rightarrow x,y,z$ là nghiệm của phương trình :

$X^3-9X^2+27X-27=0$

$\iff X=3$  

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(3;3;3\right)$.

Lời giải

Đặt $S=x+y, P=xy\left(S^2-4P\ge 0\right)$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}S+P=5\\ S^2-2P=5\end{array}\right.$  

$\Rightarrow S^2-2\left(5-S\right)=5$

$\Rightarrow S^2+2S-15=0$

$\Rightarrow S=-5;S=3$

$S=-5\Rightarrow P=10$ (loại)

$S=3\Rightarrow P=2$ (nhận)

Khi đó: x,y là nghiệm của phương trình:

$X^2-3X+2=0\iff X=1;X=2$

Vậy hệ có nghiệm $\left(2;1\right),\left(1;2\right).$

Lời giải

Đặt $S=x+y$

$P=xy\left(S^2-4P\ge 0\right)$ 

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}S+P=\frac{7}{2}\\ SP=\frac{5}{2}\end{array}\right.$$\Rightarrow S,P$ là nghiệm của phương trình:

$$\begin{gathered} X^2-\frac{7}{2}X+\frac{5}{2}=0 \\ \iff X=1;X=\frac{5}{2} \end{gathered}$$

Khi $S=1; P=\frac{5}{2}$ (loại)

Khi $S=\frac{5}{2}; P=1$ thì x,y là nghiệm của phương trình:

$X^2-\frac{5}{2}X+1=0\iff X=2; X=\frac{1}{2}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(2;\frac{1}{2}\right); \left(\frac{1}{2};2\right).$

Lời giải

Đặt  $S=x+y$

$P=xy\left(S^2-4P\ge 0\right)$

Ta có : $\left\{\begin{array}{l}S+P=5\\ S^2-P=7\end{array}\right.$

$\Rightarrow S^2-\left(5-S\right)=7$

$\Rightarrow S^2+S-12=0$  

$\Rightarrow S=3;S=-4$

Khi $S=3\Rightarrow P=2$ thì x,y là nghiệm của phương trình:

$X^2-3X+2=0\iff X=1;X=2$

Khi $S=2\Rightarrow P=3$ (loại)

Vậy hệ có nghiệm là $\left(1;2\right)$ hoặc $\left(2;1\right).$

Lời giải

Đặt  $S=x+y$

$P=xy\left(S^2-4P\ge 0\right)$

Ta có : $\left\{\begin{array}{l}S+P=11\\ S^2-2P+3S=28\end{array}\right.$

$\Rightarrow S^2-2\left(11-S\right)+3S=28$

$\Rightarrow S^2+5S-50=0$

$\Rightarrow S=5;S=-10$

Khi $S=5\Rightarrow P=6$ thì x,y là nghiệm của phương trình :

$$\begin{gathered} X^2-5X+6=0 \\ \iff X=2;X=3 \end{gathered}$$

Khi $S=-10\Rightarrow P=21$ thì x,y là nghiệm của phương trình:

$$\begin{gathered} X^2+10X+21=0 \\ \iff X=-3;X=-7 \end{gathered}$$

Vậy hệ có nghiệm:

$\left(3;2\right),\left(2;3\right),\left(-3;-7\right),\left(-7;-3\right).$

Lời giải

Ta có :$x^2+{\left(x+m\right)}^2=1$

$\iff 2x^2+2mx+m^2-1=0\left(*\right)$

Hệ phương trình có đúng 1 nghiệm khi phương trình $\left(*\right)$ có đúng 1 nghiệm

$$\begin{gathered} \Rightarrow \Delta \text{'}=m^2-2m^2+2=0 \\ \iff m=\pm \sqrt{2}. \end{gathered}$$

Lời giải

Đặt $u=x+y,v=x-y$

Ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}2u+3v=4\\ u+2v=5\end{array}\right.$

$\Rightarrow 2\left(5-2v\right)+3v=4$

$\Rightarrow v=6\Rightarrow u=-7$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x+y=-7\\ x-y=6\end{array}\right.$

$\Rightarrow x+x-6=-7$

$\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=-\frac{13}{2}$

Lời giải

Ta có: $\left|x-1\right|+2x-5=0$

$\iff 5-2x\ge 0\cap \left[\begin{array}{l}x-1=5-2x\\ x-1=-5+2x\end{array}\right.$

$\iff x=2\Rightarrow y=-1$

Lời giải

Ta có :  

$D=m\left(m+2\right)-3=m^2+2m-3$

Phương trình có nghiệm duy nhất khi $D\ne 0\iff m\ne 1$ và $m\ne -3.$

Lời giải

Ta có : hệ trở thành

$\left\{\begin{array}{l}mx+\left(m+4\right)y=2\\ mx+\left(m+1\right)y=1\end{array}\right.$  

$\Rightarrow D=m\left(m+1\right)-m\left(m+4\right)=-3m$

Hệ vô nghiệm $\Rightarrow D=0\Rightarrow \Rightarrow m=0$

Thử lại thấy $m=0$ thoả điều kiện.

Lời giải

Ta có : $y=8-x$

$\Rightarrow x^2-{\left(8-x\right)}^2+6x+2\left(8-x\right)=0$

$\Rightarrow 20x-48=0$

Lời giải

Ta có :  $y=2x-3$

$$\begin{gathered} \Rightarrow x^2-3x\left(2x-3\right)+{\left(2x-3\right)}^2 \\ +2x+3\left(2x-3\right)-6=0 \end{gathered}$$

$\Rightarrow -x^2+5x-6=0$

$\Rightarrow x=2;x=3$

$x=3\Rightarrow y=3$