Chọn C.

+ A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.

+ B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.

+ D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.

Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa $C_4^3 = 4$ mặt phẳng.

Chọn B.

Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng $d_1,d_2,d_3$ đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$; đồng thời $d_3$ là giao tuyến $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$.

Gọi $O=HF\cap IG$. Ta có

● $O\in HF$ mà $HF\subset \left(ACD\right)$ suy ra $O\in \left(ACD\right)$.

● $O\in IG$ mà $IG\subset \left(BCD\right)$ suy ra $O\in \left(BCD\right)$.

Do đó $O\in \left(ACD\right)\cap \left(BCD\right)$. $\left(1\right)$

Mà $\left(ACD\right)\cap \left(BCD\right)=CD$.  $\left(2\right)$ 

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$, suy ra $O\in CD$.

Vậy ba đường thẳng $CD,IG,HF$ đồng quy.

Chọn B.

Gọi $I=AD\cap BC.$ Trong mặt phẳng $\left(SBC\right)$, gọi $K=BM\cap SI$. Trong mặt phẳng $\left(SAD\right)$, gọi $N=AK\cap SD$.

Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng $\left(AMB\right)$.

Gọi $O=AB\cap CD$. Ta có:

● $O\in AB$ mà $AB\subset \left(AMB\right)$ suy ra $O\in \left(AMB\right)$.

● $O\in CD$ mà $CD\subset \left(SCD\right)$ suy ra $\text{IJ},MN,SE$.

Do đó $O\in \left(AMB\right)\cap \left(SCD\right)$.  $\left(1\right)$ 

Mà $\left(AMB\right)\cap \left(SCD\right)=MN$.  $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$, suy ra $O\in MN$. Vậy ba đường thẳng $AB,CD,MN$ đồng quy tại O.

Chọn C.

Đáp án đúng: C.

* Lời giải:

+ A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

+ B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

+ D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

* Phương pháp giải:

- nắm lại lý thuyết về mặt phẳng và các tính chất của mặt phẳng:

Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

* Lý thuyết cần nắm thêm về đường thẳng và mặt phẳng: 

Mặt phẳng

- Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn.

- Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ). Ví dụ: mp(P), mp(Q), mp(α), mp(β)…

2. Điểm thuộc mặt phẳng.

Cho điểm A và mặt phẳng (α).

- Khi điểm A thuộc mặt phẳng (α) ta nói A nằm trên (α) hay (α) chứa A, hay (α) đi qua A và kí hiệu là $A\in \left(\alpha \right)$.

- Khi điểm A không thuộc mặt phẳng (α) ta nói điểm A nằm ngoài (α) hay (α)  không chứa A và kí hiệu là $A\notin \left(\alpha \right)$.

Hình trên cho ta hình biểu diễn của điểm A thuộc mặt phẳng , còn điểm B không thuộc (α).

Các tính chất thừa nhận

- Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

- Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. Ta kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C là mặt phẳng (ABC) hoặc mp(ABC) hoặc (ABC).

- Tính chất 3. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (α) thì ta nói đường thẳng d nằm trong (α) hay (α) chứa d và kí hiệu là $d\subset \left(\alpha \right)$ hay $\left(\alpha \right)\supset d$.

- Tính chất 4. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói chúng không đồng phẳng.

- Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.

Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) được gọi là giao tuyến của (α) và (β) và kí hiệu là $d=\left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right)$.

- Tính chất 6. Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

Cách xác định mặt phẳng

1) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

2) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Khi đó điểm A và đường thẳng d xác định một mặt phẳng, kí hiệu là mp(A, d) hay (A, d) hoặc mp(d, A) hay (d, A).

3) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Khi đó hai đường thẳng a và b xác định một mặt phẳng và kí hiệu là mp(a, b) hay (a, b) hoặc mp(b, a) hay (b, a).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng (mới + Bài Tập) - Toán 11

Toán 11 Bài 1 giải SGK : Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

50 Bài tập Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng Toán 11 mới nhất 

Ta có

● $M\in SB$ suy M là điểm chung của $\left(LMN\right)$ và $\left(SBC\right)$.

● I là điểm chung của $\left(LMN\right)$ và $\left(SBC\right)$.

● J là điểm chung của $\left(LMN\right)$ và $\left(SBC\right)$.

Vậy M , J , I thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của $\left(LMN\right)$ và $\left(SBC\right)$.

Chọn B.

Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left(ACD\right)$ và $\left(GAB\right).$ 

Do $BG\cap CD=M$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}M\in BG\subset \left(ABG\right)\\ M\in CD\subset \left(ACD\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}M\in \left(ABG\right)\\ M\in \left(ACD\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\Rightarrow M$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left(ACD\right)$ và $\left(GAB\right).$

$\Rightarrow \left(ABG\right)\cap \left(ACD\right)=AM\stackrel{}{\to }$ A đúng.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}BI\subset \left(ABG\right)\\ AM\subset \left(ABM\right)\\ \left(ABG\right)\equiv \left(ABM\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow AM,BI$  đồng phẳng.

 $\Rightarrow J=BI\cap AM\Rightarrow A,J,M$ thẳng hàng 

$\underset{}{\overset{}{\to }}$B đúng.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}DJ\subset \left(ACD\right)\\ DJ\subset \left(BDJ\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow DJ=\left(ACD\right)\cap \left(BDJ\right)$

$\stackrel{}{\to }$ D đúng.

Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM 

 $\underset{}{\overset{}{\to }}$ C sai.

Chọn C.

Nếu 2 mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2 mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.

Chọn B.

Chọn A.

+ B sai. Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.

+ C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3 điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1 mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.

Khi thiết diện cắt 3 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 3 giao tuyến. Ba giao tuyến lập thành 1 hình tam giác.

Khi thiết diện cắt cả 4 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 4 giao tuyến. Bốn giao tuyến lập thành 1 hình tứ giác.

Thiết diện không thể là ngũ giác vì thiết diện có 4 mặt, số giao tuyến tối đa là 4.

Chọn D.

+ Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên: $\left(SAB\right),\left(SBC\right),\left(SCD\right),\left(SAD\right).$ Do đó A đúng.

+ S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBD\right).$ 

$\left\{\begin{array}{l}O\in AC\subset \left(SAC\right)\Rightarrow O\in \left(SAC\right)\\ O\in BD\subset \left(SBD\right)\Rightarrow O\in \left(SBD\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow O$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBD\right).$

$\stackrel{}{\to }\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)=SO.$ Do đó B đúng.

+ Tương tự, ta có $\left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)=SI.$ Do đó C đúng.

+ $\left(SAB\right)\cap \left(SAD\right)=SA$ mà SA không phải là đường trung bình của hình thang ABCD. Do đó D sai.

Chọn D.

+ A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left(ACD\right)$ và $\left(GAB\right).$ 

+ Ta có $BG\cap CD=N$

$$\begin{gathered} \stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}N\in BG\subset \left(ABG\right)\\ N\in CD\subset \left(ACD\right)\end{array}\right. \\ \underset{}{\overset{}{\to }}\left\{\begin{array}{l}N\in \left(ABG\right)\\ N\in \left(ACD\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\Rightarrow N$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left(ACD\right)$ và $\left(GAB\right).$

Vậy $\left(ABG\right)\cap \left(ACD\right)=AN.$

Chọn B.

Điểm I là giao điểm của EF và BC mà  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}EF\subset \left(DEF\right)\\ EF\subset \left(ABC\right)\\ EF\subset \left(AEF\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}I=\left(BCD\right)\cap \left(DEF\right)\\ I=\left(BCD\right)\cap \left(ABC\right)\\ I=\left(BCD\right)\cap \left(AEF\right)\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Chọn D.

+ S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left(SMN\right)$ và $\left(SAC\right).$

+ Gọi $O=AC\cap BD$ là tâm của hình hình hành.

Trong mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ gọi $T=AC\cap MN$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}O\in AC\subset \left(SAC\right)\\ O\in MN\subset \left(SMN\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}O\in \left(SAC\right)\\ O\in \left(SMN\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\Rightarrow O$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left(SMN\right)$ và $\left(SAC\right).$ 

Vậy $\left(SMN\right)\cap \left(SAC\right)=SO.$

Chọn B.

+ Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB

$\Rightarrow IJ\parallel AB\parallel CD\Rightarrow IJ\parallel CD$ là hình thang. Do đó A đúng.

+ Ta có $\left\{\begin{array}{l}IB\subset \left(SAB\right)\\ IB\subset \left(IBC\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(SAB\right)\cap \left(IBC\right)=IB.$ Do đó B đúng.

+ Ta có $\left\{\begin{array}{l}JD\subset \left(SBD\right)\\ JD\subset \left(JB\text{}D\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(SBD\right)\cap \left(JBD\right)=JD.$ Do đó C đúng.

+ Trong mặt phẳng $\left(IJCD\right)$, gọi $M=IC\cap JD$

$\Rightarrow \left(IAC\right)\cap \left(JBD\right)=MO.$ Do đó D sai.

Chọn D.

+ B  là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left(MBD\right)$ và $\left(ABN\right).$

+ Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC, CD  nên suy ra AN, DM là hai trung tuyến của tam giác ACD. Gọi $G=AN\cap DM$ 

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}G\in AN\subset \left(ABN\right)\\ G\in DM\subset \left(MBD\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}G\in \left(ABN\right)\\ G\in \left(MBD\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\Rightarrow G$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left(MBD\right)$ và $\left(ABN\right).$

Vậy  $\left(ABN\right)\cap \left(MBD\right)=BG.$

Chọn C.

+ S  là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left(MSB\right)$ và $\left(SAC\right).$

+ Ta có $\left\{\begin{array}{l}I\in BM\subset \left(SBM\right)\Rightarrow I\in \left(SBM\right)\\ I\in \left(AC\right)\in \left(SAC\right)\Rightarrow I\in \left(SAC\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow I$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left(MSB\right)$ và $\left(SAC\right).$

Vậy  $\left(MSB\right)\cap \left(SAC\right)=SI.$

Chọn A.

Ta có A là điểm chung thứ nhất của $\left(ADM\right)$ và $\left(SAC\right)$.

Trong mặt phẳng $\left(SBD\right)$, gọi $E=SI\cap DM$.

Ta có:

● $E\in SI$ mà $SI\subset \left(SAC\right)$ suy ra $E\in \left(SAC\right)$.

● $E\in DM$ mà $DM\subset \left(ADM\right)$ suy ra $E\in \left(ADM\right)$.

Do đó E là điểm chung thứ hai của $\left(ADM\right)$ và $\left(SAC\right)$.

Vậy AE là giao tuyến của $\left(ADM\right)$ và $\left(SAC\right)$.

Chọn B.

Trong mặt phẳng  $\left(BCD\right),$ IJ cắt CD tại $H\Rightarrow H\in \left(ACD\right).$

Điểm $H\in IJ$ suy ra bốn điểm $M,I,J,H$ đồng phẳng.

Nên trong mặt phẳng $\left(IJM\right)$, MH cắt IJ tại H và $MH\subset \left(IJM\right).$

Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}M\in \left(ACD\right)\\ H\in \left(ACD\right)\end{array}\right.\Rightarrow MH\subset \left(ACD\right).$

 Vậy $\left(ACD\right)\cap \left(IJM\right)=MH.$ 

Chọn A.

Điểm K là trung điểm của BC suy ra $K\in \left(IBC\right)\Rightarrow IK\subset \left(IBC\right).$

Điểm I là trung điểm của AD suy ra $I\in \left(KAD\right)\Rightarrow IK\subset \left(KAD\right).$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(IBC\right)$ và $\left(KAD\right)$ là IK 

Chọn A.

Vì G là trọng tâm tam giác BCD, F là trung điểm của CD $\Rightarrow G\in \left(ABF\right).$

Ta có E là trung điểm của AB$\Rightarrow E\in \left(ABF\right).$

Gọi M là giao điểm của EG và AF mà $AF\subset \left(ACD\right)$ suy ra $M\in \left(ACD\right).$

Vậy giao điểm của EG và $mp\left(ACD\right)$ là giao điểm  $M=EG\cap AF.$

Chọn B.

● Chọn mặt phẳng phụ $\left(SBD\right)$ chứa SD.                         

● Tìm  giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(SBD\right)$ và $\left(ABM\right)$.

Ta có  là điểm chung thứ nhất của $\left(SBD\right)$ và $\left(ABM\right)$.

Trong mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, gọi $O=AC\cap BD$. Trong mặt phẳng $\left(SAC\right)$, gọi $K=AM\cap SO$. Ta có:

+ ABCD mà 2a suy ra M.

+ N mà AC suy ra BC.

Suy ra P là điểm chung thứ hai của BCD và $\left(MNP\right)$.

Do đó $\frac{a^2\sqrt{11}}{2}.$.

● Trong mặt phẳng $\frac{a^2\sqrt{2}}{4}.$, gọi $\frac{a^2\sqrt{11}}{4}.$ Ta có:

+ $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$ mà BCD suy ra P.

+ N.

Vậy BC.

Chọn C.

● Chọn mặt phẳng phụ $\left(ABC\right)$ chứa BC.

● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $DH\perp MN$ và

$S_{\Delta MND}=\frac{1}{2}MN.DH$

$=\frac{1}{2}MN.\sqrt{D{M}^2-M{H}^2}$

$=\frac{a^2\sqrt{11}}{4}$.

Ta có H là điểm chung thứ nhất của $\left(ABC\right)$ và $\left(IHK\right)$.

Trong mặt phẳng $\left(SAC\right)$, do IK không song song với AC nên gọi $F=IK\cap AC$. Ta có

     ▪ $F\in AC$ mà $AC\subset \left(ABC\right)$ suy ra $F\in \left(ABC\right)$.

     ▪ $F\in IK$ mà $IK\subset \left(IHK\right)$ suy ra $F\in \left(IHK\right)$.

Suy ra F là điểm chung thứ hai của $\left(ABC\right)$ và $\left(IHK\right)$.

Do đó $\left(ABC\right)\cap \left(IHK\right)=HF$.

● Trong mặt phẳng $\left(ABC\right)$, gọi $E=HF\cap BC$. Ta có

▪ $E\in HF$ mà $HF\subset \left(IHK\right)$ suy ra $E\in \left(IHK\right)$.

▪ $E\in BC$.

Vậy $E=BC\cap \left(IHK\right)$.

Chọn D.

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của AC.

Nối AM cắt SO tại I mà $SO\subset \left(SBD\right)$ suy ra $I=AM\cap \left(SBD\right).$

Tam giác SAC có M , O lần lượt là trung điểm của SA , AC .

Mà $I=AM\cap SO$ suy ra I là trọng tâm tam giác $SAC$

$\hspace{0.17em}\Rightarrow AI=\frac{2}{3}AM\iff IA=2IM.$

Điểm I nằm giữa A và M suy ra $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{MI}=-2\overrightarrow{IM}.$ 

Chọn A.

Tam giác ABC có M,N lần lượt là trung điểm của AB, AC

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC$\Rightarrow$MN // BC

Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại F$\Rightarrow$EF // BC

Do đó MN // EF suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng và MNEF là hình thang.

Vậy hình thang MNEF là thiết diện cần tìm.

Chọn D.

Ta có HK, KM là đoạn giao tuyến của $\left(HKM\right)$ với $\left(ABC\right)$ và $\left(BCD\right)$.

Trong mặt phẳng $\left(BCD\right)$, do KM không song song với BD nên gọi $L=KM\cap BD$.

Vậy thiết diện là tam giác HKL.

Chọn C.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ suy ra $AN\cap MC=G.$

Dễ thấy mặt phẳng $\left(GCD\right)$ cắt đường thắng AB tại điểm M.

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng $\left(GCD\right)$ và tứ diện ABCD.

Tam giác ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra $MD=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Tam giác ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra $MC=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Gọi H là trung điểm của CD 

$$\begin{gathered} \Rightarrow MH\perp CD \\ \Rightarrow S_{\Delta MCD}=\frac{1}{2}.MH.CD \end{gathered}$$

Với $MH=\sqrt{M{C}^2-H{C}^2}$

$=\sqrt{M{C}^2-\frac{C{D}^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Vậy  $S_{\Delta MCD}=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.a=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}.$

Chọn B.

Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC. Suy ra N, P, D thẳng hàng.

Vậy thiết diện là tam giác MND.

Xét tam giác MND, ta có

$MN=\frac{AB}{2}=a$; $DM=DN=\frac{AD\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Do đó tam giác MND cân tại D.

Gọi H là trung điểm MN suy ra $DH\perp MN$.

Diện tích tam giác $S_{\Delta MND}=\frac{1}{2}MN.DH$

$=\frac{1}{2}MN.\sqrt{D{M}^2-M{H}^2}=\frac{a^2\sqrt{11}}{4}$.

Chọn C.

Ta có $\left(ABD\right)\cap \left(BCD\right)=BD$.

Lại có $\left\{\begin{array}{l}I\in MP\subset \left(ABD\right)\\ I\in NQ\subset \left(BCD\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow I$ thuộc giao tuyến của $\left(ABD\right)$ và  $\left(BCD\right)$

$\Rightarrow I\in BD\Rightarrow I,B,D$ thẳng hàng.

Chọn B.

Gọi Q là trung điểm của SD.

Tam giác SAD có M, Q lần lượt là trung điểm của SA, SD suy ra MQ // AD .

Tam giác SBC có N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC suy ra NP // BC

Mặt khác AD // BC suy ra MQ // NP và $MQ=NP\Rightarrow MNPQ$ là hình vuông.

Khi đó $M,N,P,Q$ đồng phẳng $\Rightarrow \left(MNP\right)$ cắt SD tại Q và MNPQ là thiết diện của hình chóp S.ABCD với $mp\left(MNP\right).$

Vậy diện tích hình vuông MNPQ là  $S_{MNPQ}=\frac{S_{ABCD}}{4}=\frac{a^2}{4}.$

Chọn C.