Lời giải.

Ta có E là điểm chung của hai mặt phẳng $\left(MNE\right)$ và $\left(BCD\right).$ 

Lại có $\left\{\begin{array}{l}MN\subset \left(MNE\right)\\ BC\subset \left(BCD\right)\\ MN\parallel BC\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(MNE\right)$ và $\left(BCD\right)$ là đường thẳng d đi qua điểm E và song song với BC và MN

Trong mặt phẳng $\left(BCD\right)$, gọi $F=d\cap BC$.

Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left(MNE\right)$ và tứ diện ABCD là hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà $EF\parallel BC.$ 

Lời giải.

Ta có  

$\left\{\begin{array}{l}\left(IJK\right)\cap \left(ABD\right)=K\\ IJ\subset \left(IJK\right),AB\subset \left(ABD\right)\\ IJ\parallel AB\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }\left(IJK\right)\cap \left(ABD\right)=KM\parallel IJ\parallel AB.$  

Lời giải.

Đáp án B, C sai. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau thì có thể chéo nhau.

Đáp án D sai vì  qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được vô số đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó

Lời giải.

Để ý hai tam giác MNP và SIC đồng dạng với tỉ số $\frac{AM}{AI}=\frac{2x}{a}$

 $\to \frac{C_{MNP}}{C_{SIC}}=\frac{2x}{a}$

$\iff C_{MNP}=\frac{2x}{a}\left(SI+IC+SC\right)$

$=\frac{2x}{a}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{2}+a\right)$

$=2x\left(\sqrt{3}+1\right).$

Lời giải.

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Dựng đường thẳng qua O song song $BB\text{'}$ và cắt $B\text{'}D\text{'}$ tại $O\text{'}$

Theo cách dưng trên, ta có $OO\text{'}$ là đường trung bình của hình thang $BB\text{'}D\text{'}D$

$\stackrel{}{\to }O{O}^{\text{'}}=\frac{B{B}^{\text{'}}+D{D}^{\text{'}}}{2}=3$

Ngoài ra ta có $OO\text{'}$ là đường trung bình của tam giác $ACC\text{'}$

$\stackrel{}{\to }C{C}^{\text{'}}=2O{O}^{\text{'}}=6.$

Lời giải.

Đáp án B sai: hai đường thẳng đó có thể song song nhau.

Đáp án C sai: hai đường thẳng đó có thể cắt  nhau.

Đáp án D sai: hai đường thẳng đó có thể song song hoặc cắt nhau.

Lời giải.

Lần lượt lấy các điểm $N,P,Q$ thuộc các cạnh $CD,SD,SA$ thỏa $MN\parallel BC,$ $NP\parallel SC,$$PQ\parallel AD$ .

Suy ra $\left(\alpha \right)\equiv \left(MNPQ\right)$ và $\left(\alpha \right)\parallel \left(SBC\right)$.

Theo cách dựng trên thì thiết diện là hình thang.  

Lời giải.

Lần lượt lấy các điểm $N,P,Q$ thuộc các cạnh $CD,SD,SA$ thỏa $MN\parallel BC,$ $NP\parallel SC,$ $PQ\parallel AD$.

Suy ra $\left(\alpha \right)\equiv \left(MNPQ\right)$ và $\left(\alpha \right)\parallel \left(SBC\right)$.

Vì  $I=MQ\cap NP\underset{}{\to }\left\{\begin{array}{l}I,S\in \left(SCD\right)\\ I,S\in \left(SAB\right)\end{array}\right.$

$\underset{}{\to }$I nằm trên đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và $\left(SCD\right)$.

Khi $\left\{\begin{array}{l}M\equiv B\Rightarrow I\equiv S\\ M\equiv A\Rightarrow I\equiv T\end{array}\right.$ với T là điểm thỏa mãn tứ giác ABST là hình bình hành.

Vậy quỹ tích cần tìm là đoạn thẳng song song với AB.

Lời giải.

A. Sửa lại cho đúng: Ba điểm không thẳng hàng.

B. Sửa lại cho đúng: Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó.

Lời giải.

A. Sửa lại cho đúng: a và b không có điểm chung và không đồng phẳng.

B. Sửa lại cho đúng: a và b là hai cạnh đối của một hình tứ diện.

C. Sai vì a và b có thể song song.

Lời giải.

Ta có $I\in \left(ABC\right),B\in \left(ABC\right)$

$\stackrel{}{\to }BI\not\subset \left(ABC\right).$

Lời giải.

Ta có ABC là tam giác $\underset{}{\to }$ ba điểm A,B,C không thẳng hàng. Vậy có duy nhất một mặt phẳng chứa A,B,C . 

Lời giải.

Giả sử bốn điểm đó là tứ diện ABCD.

Có các mặt phẳng đó là:  $\left(ABC\right),\left(ABD\right),\left(ACD\right),\left(BCD\right).$

Lời giải.

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)=S\\ O\in AC\subset \left(SAC\right)\\ O\in BD\subset \left(SBD\right)\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)=SO.$

Lời giải.

Hình chóp tứ giác có tất cả 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.

Lời giải.

Dễ thấy $\left(MPR\right)\parallel \left(BCD\right),$ mà $S\in \left(BCD\right)\stackrel{}{\to }S\notin \left(MPR\right).$

Vậy $M,P,R,S$ không đồng phẳng.

Lời giải.

Hai đường thẳng a và b chéo nhau có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b

Lời giải.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\parallel AB\\ AB\subset \left(ABC\right)\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }\left(\alpha \right)\cap \left(ABC\right)=MN\parallel AB$ với $N\in BC.$

Tương tự ta có  $\left\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\parallel AD\\ AD\subset \left(ACD\right)\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }\left(\alpha \right)\cap \left(ACD\right)=MK\parallel AD$ với $K\in CD.$

Vậy thiết diện của $\left(\alpha \right)$ với tứ diện ABCD là tam giác MNK 

Lời giải.

Các cạnh chéo nhau với đường chéo $AC\text{'}$ của hình lập phương là: A'B', A'D', DD', CD, BC, BB'

Lời giải.

Hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian có ba vị trí tương đối là: cắt nhau, song song, chéo nhau.

Lời giải.

Lời giải.

Lời giải.

Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng có hai vị trí tương đối là: cắt nhau, song song.

Lời giải.

Ta có   $\left\{\begin{array}{l}\left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)=S\\ AD\subset \left(SAD\right),BC\subset \left(SBC\right)\\ AD\parallel BC\end{array}\right.$

 $\underset{}{\to }\left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)=Sx\parallel AD\parallel BC.$

Lời giải.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(ADM\right)\cap \left(SBC\right)=M\\ AD\subset \left(ADM\right),BC\subset \left(SBC\right)\\ AD//BC\end{array}\right.$nên

$\left(ADM\right)\cap \left(SBC\right)=MN\parallel AD\parallel BC$ với $N\in SC.$

Tứ giác AMND có $MN\parallel AD\stackrel{}{\to }AMND$ là hình thang.

Lời giải.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\parallel AB\\ AB\subset \left(ABC\right)\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }\left(\alpha \right)\cap \left(ABC\right)=MN\parallel AB$ với $N\in AC.$

Tương tự ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\parallel CD\\ CD\subset \left(ACD\right)\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }\left(\alpha \right)\cap \left(ACD\right)=NK\parallel CD$ với $K\in AD.$

+ $\left\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\parallel AB\\ AB\subset \left(ABD\right)\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }\left(\alpha \right)\cap \left(ABD\right)=KP\parallel AB$ với $P\in BD.$

+ $\left\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\parallel CD\\ CD\subset \left(BCD\right)\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }\left(\alpha \right)\cap \left(BCD\right)=MP\parallel CD.$

Do đó $NK\parallel MP$ và $MN\parallel KP\stackrel{}{\to }MNKP$ là hình bình hành.

Lời giải.

Đường thẳng a song song với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ khi chúng không có điểm chung.

Lời giải.

Trong không gian hai mặt phẳng phân biệt $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ có hai vị trí tương đối là: cắt nhau hay song song.