Cho các véctơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai vectơ bằng 60⁰. Xác định cosin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{a}+ 2\overrightarrow{b}; \overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$

Đáp án đúng: C.

*Phương pháp giải:

- Tính tích của 2 vecto: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$

- Tính độ dài của từng vecto

- Áp dụng công thức tính góc giữa 2 vecto dể tính ra cosin

*Lời giải:

Ta có:

Mặt khác :  nên 

 nên 

Suy ra 

* Các dạng bài tập và lý thuyết thêm 

a) Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$ được xác định bởi công thức:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

b) Ứng dụng của tích vô hướng

+ Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$, khi đó độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ được tính theo công thức:

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_2^2}$

+ Cho hai điểm $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$. Do đó ta có

+ Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$. Khi đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính theo công thức:

$$\begin{gathered} \cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|} \\ =\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}} \end{gathered}$$

(với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$)

+ Hai vectơ vuông góc: Cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$. Khi đó:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0 \\ \iff a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0 \end{gathered}$$

2. Tích có hướng của hai vectơ

a) Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b},$ kí hiệu là $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$, được xác định bởi

$$\begin{gathered} \left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|\right) \\ =\left(a_2{b}_3-a_3{b}_2;a_3{b}_1-a_1{b}_3;a_1{b}_2-a_2{b}_1\right) \end{gathered}$$

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

3. Ứng dụng của tích có hướng

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số có đáp án (Nhận biết) 

Bài toán về tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ (có đáp án)

75 câu trắc nghiệm Vectơ nâng cao