Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định

Giải Toán 12 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 8 trang 46 Toán lớp 12 Giải tích: Cho hàm số

f(x) = x³ - 3mx² + 3(2m - 1)x + 1 (m là tham số).

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

b) Với giá trị nào của tham số m thì hàm số có một cực đại và một cực tiểu?

c) Xác định m để f"(x) > 6x.

Lời giải:

a) TXĐ: D = $ℝ$

f'(x) = 3x² - 6mx + 3(2m - 1)

Hàm số đồng biến trên

$\iff$f' (x) $⩾$0 với mọi $x\in ℝ$

$\iff$ Δ_f'(x) = (3m)² - 3.3(2m - 1) ≤ 0

 $\iff$9m² – 18m + 9 ≤ 0

 $\iff$9.(m – 1)² ≤ 0

 $\iff$(m – 1)² ≤  0

 $\iff$m = 1 (do (m – 1)² ) $\ge 0\forall x\in ℝ$

Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định.

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

$\iff$phương trình f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

$\iff$ Δ_f'(x) = 9(m - 1)² > 0

 $\iff$m ≠ 1

Vậy với m ≠ 1 thì hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

c) Ta có: f"(x) = 6x - 6m

f"(x) > 6x$\iff$6x - 6m > 6x

$\iff$- 6m > 0$\iff$m < 0

Vậy m < 0 thì thỏa mãn yêu cầu.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 45 Toán 12 Giải tích: Phát biểu các điều kiện đồng biến và nghịch biến của hàm số...

Bài 2 trang 45 Toán 12 Giải tích: Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm...

Bài 3 trang 45 Toán 12 Giải tích: Nêu cách tìm ra tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số...

Bài 4 trang 45 Toán 12 Giải tích: Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...

Bài 5 trang 45 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số y = 2x² + 2mx + m - 1 có đồ thị là (Cm), m là tham số...

Bài 6 trang 45 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số...

Bài 7 trang 45, 46 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x³ + 3x² + 1...

Bài 9 trang 46 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = $\frac{1}{2}{x}^{4 }- 3x^2 + \frac{3}{2}$...

Bài 10 trang 46 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số y = -x⁴ + 2mx² - 2m + 1 (m tham số) có đồ thị là (Cm)...

Bài 11 trang 46 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = $\frac{x+3}{x+1}$...

Bài 12 trang 47 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số f(x) = $\frac{1}{3}{x}^3 - \frac{1}{2}{x}^2 - 4x +6$...

Bài 1 trang 47 Toán 12 Giải tích: Số điểm cực trị của hàm số y = $-\frac{1}{3}{x}^{3 }- x +7$ là...

Bài 2 trang 47 Toán 12 Giải tích: Số điểm cực đại của hàm số y = x⁴ + 100 là...

Bài 3 trang 47 Toán 12 Giải tích: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = $\frac{1-x}{1+x}$ là...

Bài 4 trang 47 Toán 12 Giải tích: Hàm số y = $\frac{2x-5}{x+3}$ đồng biến trên...

Bài 5 trang 47 Toán 12 Giải tích: Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = $\frac{1}{3}{x}^3 - 2x^2 + 3x -5$...