Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x^3 + 3x^2 + 1

Giải Toán 12 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 7 trang 45, 46 Toán lớp 12 Giải tích:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x³ + 3x² + 1.

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo m: x³ + 3x² + 1 = $\frac{m}{2}$.

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số y = x³ + 3x² + 1.

- TXĐ: D = $ℝ$

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 3x² + 6x = 3x(x + 2)

y' = 0 $\iff$ x = 0 hoặc x = -2

+ Giới hạn:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên các khoảng

(-∞; -2) và (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng

(-2; 0).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; y_CT = 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = -2 ; y_CĐ = 5.

- Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 1).

+ Đồ thị (C) đi qua điểm (–3; 1), (1; 5).

b) Số nghiệm của phương trình

x³ + 3x² + 1 = $\frac{m}{2}$ bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = $\frac{m}{2}$.

Từ đồ thị ta có:

+ Đường thẳng cắt đồ thị tại 1 điểm khi và chỉ khi:

$\left[\begin{array}{l}\frac{m}{2}<1\\ \frac{m}{2}>5\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m<2\\ m>10\end{array}\right.$

Khi đó phương trình có 1 nghiệm.

+ Để đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi :

$\left[\begin{array}{l}\frac{m}{2}=1\\ \frac{m}{2}=5\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=10\end{array}\right.$

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

+ Với $1<\frac{m}{2}<5\iff$2 < m < 10.

Khi đó đường thẳng y = $\frac{m}{2}$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm

Do đó phương trình có ba nghiệm phân biệt.

c) Điểm cực đại A(-2; 5) và điểm cực tiểu B(0; 1).

Vtcp của đường thẳng AB: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left(0+2;1-5\right) \\ =\left(2;-4\right)=2\left(1;-2\right) \end{gathered}$$

Suy ra VTPT của AB là $\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)$

Đường thẳng AB đi qua A(-2 ; 5) và có VTPT $\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)$ nên có phương trình:

2(x + 2) + 1( y – 5) = 0

hay 2x + y - 1 = 0

Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm cực tiểu và điểm cực đại của đồ thị (C) là: 2x + y – 1 = 0. 

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 45 Toán 12 Giải tích: Phát biểu các điều kiện đồng biến và nghịch biến của hàm số...

Bài 2 trang 45 Toán 12 Giải tích: Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm...

Bài 3 trang 45 Toán 12 Giải tích: Nêu cách tìm ra tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số...

Bài 4 trang 45 Toán 12 Giải tích: Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...

Bài 5 trang 45 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số y = 2x² + 2mx + m - 1 có đồ thị là (Cm), m là tham số...

Bài 6 trang 45 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số...

Bài 8 trang 46 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số f(x) = x³ - 3mx² + 3(2m - 1)x + 1 (m là tham số)...

Bài 9 trang 46 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = $\frac{1}{2}{x}^{4 }- 3x^2 + \frac{3}{2}$...

Bài 10 trang 46 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số y = -x⁴ + 2mx² - 2m + 1 (m tham số) có đồ thị là (Cm)...

Bài 11 trang 46 Toán 12 Giải tích: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = $\frac{x+3}{x+1}$...

Bài 12 trang 47 Toán 12 Giải tích: Cho hàm số f(x) = $\frac{1}{3}{x}^3 - \frac{1}{2}{x}^2 - 4x +6$...

Bài 1 trang 47 Toán 12 Giải tích: Số điểm cực trị của hàm số y = $-\frac{1}{3}{x}^{3 }- x +7$ là...

Bài 2 trang 47 Toán 12 Giải tích: Số điểm cực đại của hàm số y = x⁴ + 100 là...

Bài 3 trang 47 Toán 12 Giải tích: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = $\frac{1-x}{1+x}$ là...

Bài 4 trang 47 Toán 12 Giải tích: Hàm số y = $\frac{2x-5}{x+3}$ đồng biến trên...

Bài 5 trang 47 Toán 12 Giải tích: Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = $\frac{1}{3}{x}^3 - 2x^2 + 3x -5$...