Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = (x + 3)/(x + 1)

Với giải bài tập 11 trang 46 sgk Toán lớp 12 Giải tích được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 12. Mời các bạn đón xem:

1 4361 lượt xem

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 11 trang 46 Toán lớp 12 Giải tích:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{x + 3}{x + 1} .$

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

c) Xác định m sao cho độ dài MN nhỏ nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số $y = \frac{x + 3}{x + 1} .$

- TXĐ: D = $ℝ$ \ {-1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

$y^{'} = \frac{- 2}{{(x + 1)}^{2}} < 0 \forall x \in D$

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

$\lim_{x \to - 1^{-}} \frac{x + 3}{x + 1} = - \infty; \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{x + 3}{x + 1} = + \infty$

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có:

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 3}{x + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 1$

Suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (ảnh 1)

- Đồ thị:

+ Giao với Ox: (-3; 0)

+ Giao với Oy: (0; 3)

+ Đồ thị hàm số nhận (-1; 1) là tâm đối xứng.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (ảnh 1)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) y = 2x + m là: $\frac{x + 3}{x + 1} = 2 x + m$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 3 = (2 x + m) (x + 1) (1) \\ x \neq - 1 \end{cases}$

Ta có:

(1) $\Leftrightarrow$ (2x + m)(x + 1) = x + 3

$\Leftrightarrow$ 2x² + mx + 2x + m = x + 3

$\Leftrightarrow$ 2x² + (m + 1)x + m – 3 = 0 (*)

Ta có:

2 . (-1)² + (m + 1) . (-1) + m – 3

= 2 – m – 1 + m – 3 = - 2 ≠ 0

nên x = - 1 không phải là nghiệm của (*)

Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow$ Δ = (m + 1)² – 8(m – 3) > 0

$\Leftrightarrow$ m² – 6m + 25 > 0

$\Leftrightarrow$ (m – 3)² + 16 > 0

Đúng với mọi $m \in ℝ$ .

Vậy với mọi $m \in ℝ$ , (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

c) Gọi M(x_M; y_M); N(x_N; y_N)

Suy ra x_M; x_Nlà nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Vi-et ta có :

$\{\begin{cases} x_{M} + x_{N} = \frac{- (m + 1)}{2} \\ x_{M} . x_{N} = \frac{m - 3}{2} \end{cases}$

Ta có:

$M N^{2} = {(x_{M} - x_{N})}^{2} + {(y_{M} - y_{N})}^{2} = {(x_{M} - x_{N})}^{2} + {(2 x_{M} + m - 2 x_{N} - m)}^{2} = 5 {(x_{M} - x_{N})}^{2} = 5 {(x_{M} + x_{N})}^{2} - 20 x_{M} . x_{N} = 5. {(\frac{- (m + 1)}{2})}^{2} - 20. \frac{m - 3}{2} = \frac{5}{4} m^{2} - \frac{15}{2} m + \frac{125}{4} \begin{array}{l} = \frac{5}{4} (m^{2} - 6 m + 9) + 20 \\ = \frac{5}{4} {(m - 3)}^{2} + 20 \geq 20 \forall m \end{array}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ m - 3 = 0 $\Leftrightarrow$ m = 3

Vậy độ dài MN nhỏ nhất khi m = 3.

d) Gọi $S (x_{0}; \frac{x_{0} + 3}{x_{0} + 1})$ là một điểm thuộc (C).

Ta có: $y^{'} (x_{0}) = \frac{- 2}{{(x_{0} + 1)}^{2}}$

+ Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại S là:

$y = \frac{- 2}{{(x_{0} + 1)}^{2}} (x - x_{0}) + \frac{x_{0} + 3}{x_{0} + 1}$

+ Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng x = -1:

Tại x = -1 thì

$y = \frac{- 2}{{(x_{0} + 1)}^{2}} (- 1 - x_{0}) + \frac{x_{0} + 3}{x_{0} + 1}$

Suy ra giao điểm $P (- 1; \frac{x_{0} + 5}{x_{0} + 1})$

+ Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang y = 1:

Tại y = 1

$\Rightarrow \frac{- 2}{{(x_{0} + 1)}^{2}} (x - x_{0}) + \frac{x_{0} + 3}{x_{0} + 1} = 1$

$\Rightarrow x = 2 x_{0} + 1$

Suy ra giao điểm Q(2x₀ + 1; 1)

Ta có:

$\{\begin{cases} x_{P} + x_{Q} = - 1 + 2 x_{0} + 1 = 2 x_{0} = 2 x_{S} \\ y_{P} + y_{Q} = \frac{x_{0} + 5}{x_{0} + 1} + 1 = \frac{2 x_{0} + 6}{x_{0} + 1} = 2. \frac{x_{0} + 3}{x_{0} + 1} = 2 y_{S} \end{cases}$