Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước

Giải Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 5 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:

Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...

Kí hiệu a_n là lượng nước có trong bình sau bước $n\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

a) Tính a₁, a₂, a₃. Từ đó dự đoán công thức tính a_n với n $\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

a) Sau bước 1 thì trong bình có $\frac{1}{2}$ l nước, do đó a₁ = $\frac{1}{2}$

Sau bước 2 thì trong bình có: $\frac{\left(\frac{1}{2}+1\right)}{2}=\frac{3}{4}$ l nước, do đó a₂ = $\frac{3}{4}$

Sau bước 3 thì trong bình có: $\frac{\left(\frac{3}{4}+1\right)}{2}=\frac{7}{8}.$ l nước, do đó a₂ = $\frac{7}{8}$

Ta có thể dự đoán a_n = $\frac{2^n-1}{2^n}.$

b) Ta chứng minh bằng quy nạp:

Bước 1. Với n = 1, ta có a₁ = $\frac{1}{2}=\frac{2^1-1}{2^1}.$ Do đó công thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: a_k = $\frac{2^k-1}{2^k}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

a_{k + 1} = $\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}.$

Thật vậy:

a_k là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ k + 1 là:

a_{k + 1} = $\frac{a_k+1}{2}$

$$\begin{gathered} =\frac{\frac{2^k-1}{2^k}+1}{2}=\frac{\frac{\left(2^k-1\right)+2^k}{2^k}}{2} \\ =\frac{2.2^k-1}{2^k.2}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}. \end{gathered}$$

Vậy công thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. a) $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$...

Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n $\in {\mathbb{N}}^{*}$: a) 3ⁿ – 1 – 2n chia hết cho 4...

Bài 3 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng 8ⁿ ≥ n³ với mọi n $\in {\mathbb{N}}^{*}$...

Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}\le \frac{n+1}{2}$...

Bài 6 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x³ trong khai triển: a) (1 – 3x)⁸...

Bài 7 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶...

Bài 8 trang 40 Chuyên đề Toán 10: a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)⁶, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ...

Bài 9 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Trong khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁵ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số...

Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$: Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Elip

Bài 2: Hypebol

Bài 3: Parabol

Bài 4: Tính chất chung của ba đường conic

Bài tập cuối chuyên đề 3