Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc N*: Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$:

a) $1+2C_n^1+4C_n^2+\dots$$+2^{n-1}{C}_n^{n-1}+2^n{C}_n^n=3^n;$

b) $C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=$$C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\dots +C_{2n}^{2n-1}.$

Lời giải:

a)

= (1 + 2)ⁿ = 3ⁿ.

b) Ta có:

${(x+1)}^{2n}=C_{2n}^0{x}^{2n}+C_{2n}^1{x}^{2n-1}1$$+C_{2n}^2{x}^{2n-2}{1}^2+\dots +$$C_{2n}^{2n-1}x{1}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}{1}^{2n}$

$=C_{2n}^0{x}^{2n}+C_{2n}^1{x}^{2n-1}+$$C_{2n}^2{x}^{2n-2}+\dots +C_{2n}^{2n-1}x+C_{2n}^{2n}.$

Cho x = –1, ta được:

${(-1+1)}^{2n}={\text{C}}_{2n}^0{\left(-1\right)}^{2n}{\text{+C}}_{2n}^1{\left(-1\right)}^{2n-1}$$+{\text{C}}_{2n}^2{\left(-1\right)}^{2n-2}+\dots +{\text{C}}_{2n}^{2n-1}\left(-1\right)+{\text{C}}_{2n}^{2n}$

$={\text{C}}_{2n}^0-{\text{C}}_{2n}^1+{\text{C}}_{2n}^2-\dots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}$

$\Rightarrow {\text{C}}_{2n}^0-{\text{C}}_{2n}^1+{\text{C}}_{2n}^2-\dots$$-{\text{C}}_{2n}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}=0$

$\Rightarrow C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=$$C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\dots +C_{2n}^{2n-1}.$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. a) $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$...

Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n $\in {\mathbb{N}}^{*}$: a) 3ⁿ – 1 – 2n chia hết cho 4...

Bài 3 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng 8ⁿ ≥ n³ với mọi n $\in {\mathbb{N}}^{*}$...

Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}\le \frac{n+1}{2}$...

Bài 5 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước...

Bài 6 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x³ trong khai triển: a) (1 – 3x)⁸...

Bài 7 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶...

Bài 8 trang 40 Chuyên đề Toán 10: a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)⁶, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ...

Bài 9 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Trong khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁵ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Elip

Bài 2: Hypebol

Bài 3: Parabol

Bài 4: Tính chất chung của ba đường conic

Bài tập cuối chuyên đề 3