Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc N*: 1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n^2(n+1)^2]/4

Giải Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

a) $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$;

b) $1.4+2.7+3.10+\dots +$$n(3n+1)=n{(n+1)}^2$;

c) $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\dots$$+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$.

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1³ = $\frac{1^2{\left(1+1\right)}^2}{4}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1^3+2^3+3^3+\dots +k^3$$=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$$\begin{gathered} 1^3+2^3+3^3+\dots +k^3+{\left(k+1\right)}^3 \\ =\frac{{\left(k+1\right)}^2{\left[(k+1)+1\right]}^2}{4}. \end{gathered}$$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 +  1)². Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$$\begin{gathered} 1.4+2.7+3.10+\dots +k(3k+1) \\ =k{(k+1)}^2. \end{gathered}$$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1.4+2.7+3.10+\dots +k(3k+1)+$$\left(k+1\right)\left[3\left(k+1\right)+1\right]=\left(k+1\right){\left[(k+1)+1\right]}^2.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{(2.1-1)(2.1+1)}$$=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\dots +$$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\dots +$$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+$$\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$$=\frac{k+1}{2\left(k+1\right)+1}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\dots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$$+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{\left[2\left(k+1\right)-1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

$=\frac{k\left(2k+3\right)+1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

$=\frac{2k^2+3k+1}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)}$

$$\begin{gathered} =\frac{\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)} \\ =\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2\left(k+1\right)+1}. \end{gathered}$$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n $\in {\mathbb{N}}^{*}$: a) 3ⁿ – 1 – 2n chia hết cho 4...

Bài 3 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng 8ⁿ ≥ n³ với mọi n $\in {\mathbb{N}}^{*}$...

Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}\le \frac{n+1}{2}$...

Bài 5 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước...

Bài 6 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x³ trong khai triển: a) (1 – 3x)⁸...

Bài 7 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶...

Bài 8 trang 40 Chuyên đề Toán 10: a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)⁶, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ...

Bài 9 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Trong khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁵ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số...

Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$: Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Elip

Bài 2: Hypebol

Bài 3: Parabol

Bài 4: Tính chất chung của ba đường conic

Bài tập cuối chuyên đề 3