Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Chứng minh rằng với mọi n thuộc N*: 3^n – 1 – 2n chia hết cho 4

    Lời giải Bài 2 trang 40 sách Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập.

    1 343 08/11/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chuyên đề 2

    Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10:

    Chứng minh rằng với mọi n ∈ℕ*:

    a) 3n – 1 – 2n chia hết cho 4;

    b) 7n – 4n – 3n chia hết cho 12.

    Lời giải:

    a) Bước 1. Với n = 1, ta có 31 – 1 – 2 . 1 = 0 ⁝ 4. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

    Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 3k – 1 – 2k ⁝ 4.

    Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

    3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

    Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

    3k + 1 – 1 – 2(k + 1) = 3 . 3k – 1 –2k – 2 = 3 . 3k – 3 –2k = 3 . 3k – 3 –6k + 4k

    = 3(3k – 1 – 2k) + 4k

    Vì (3k – 1 – 2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên 3(3k – 1 – 2k) + 4k ⁝ 4 hay 3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

    Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

    Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

    b) Bước 1. Với n = 1, ta có 71 – 41 – 31 = 0 ⁝ 12. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

    Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 7k – 4k – 3k ⁝ 12.

    Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

    7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.

    Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

    7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 = 7 . 7k – 4 . 4k – 3 . 3k = 7 . 7k – 7 . 4k – 7 . 3k + 3 . 4k + 4 . 3k

    = 7(7k – 4k – 3k) + 3 . 4k + 4 . 3k = 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 (vì k ≥ 1).

    Vì 7(7k – 4k – 3k), 12 . 4k – 1 và 12 . 3k – 1 đều chia hết cho 12 nên 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 ⁝ 12 hay 7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.

    Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

    Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

    Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

    Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*. a) 13+23+33+…+n3=n2(n+1)24...

    Bài 3 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng 8n ≥ n3 với mọi n ∈ℕ*...

    Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức 1+12+13+…+1n≤n+12...

    Bài 5 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước...

    Bài 6 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x3 trong khai triển: a) (1 – 3x)8...

    Bài 7 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x5 trong khai triển (2x + 3)(x – 2)6...

    Bài 8 trang 40 Chuyên đề Toán 10: a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)6, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ...

    Bài 9 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Trong khai triển biểu thức (3x – 4)15 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số...

    Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*: Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10...

    Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

    Bài 1: Elip

    Bài 2: Hypebol

    Bài 3: Parabol

    Bài 4: Tính chất chung của ba đường conic

    Bài tập cuối chuyên đề 3

    Tham khảo các loạt bài Toán 10 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 343 08/11/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: