Chứng minh rằng bất đẳng thức: 1+1/2+1/3+...+1/n bé hơn hoặc bằng (n+1)/2

Giải Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}\le \frac{n+1}{2}$ đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{1}=1=\frac{1+1}{2}.$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{k}\le \frac{k+1}{2}.$

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}$$\le \frac{\left(k+1\right)+1}{2}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\le$$\frac{k+1}{2}+\frac{1}{k+1}=$$\frac{{\left(k+1\right)}^2+2}{2\left(k+1\right)}=\frac{k^2+2k+3}{2\left(k+1\right)}$

$\le \frac{k^2+2k+1+2}{2\left(k+1\right)}\le \frac{k^2+2k+k+2}{2\left(k+1\right)}$$=\frac{k^2+3k+2}{2\left(k+1\right)}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2\left(k+1\right)}$$=\frac{k+2}{2}=\frac{\left(k+1\right)+1}{2}.$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. a) $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$...

Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n $\in {\mathbb{N}}^{*}$: a) 3ⁿ – 1 – 2n chia hết cho 4...

Bài 3 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng 8ⁿ ≥ n³ với mọi n $\in {\mathbb{N}}^{*}$...

Bài 5 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước...

Bài 6 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x³ trong khai triển: a) (1 – 3x)⁸...

Bài 7 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶...

Bài 8 trang 40 Chuyên đề Toán 10: a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)⁶, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ...

Bài 9 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Trong khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁵ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số...

Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$: Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Elip

Bài 2: Hypebol

Bài 3: Parabol

Bài 4: Tính chất chung của ba đường conic

Bài tập cuối chuyên đề 3