Đáp án: B

Giải thích:

Gọi độ dài cạnh AB là x (x > 0).

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$8-1<\mathrm{x}<8+1\iff 7<\mathrm{x}<9$

Vì x là số nguyên nên $\mathrm{x}=8$. Độ dài cạnh $\mathrm{AB}=8\mathrm{cm}$

Tam giác ABC có $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=8\mathrm{cm}$ nên tam giác ABC cân tại A

Đáp án: B

Giải thích:

Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho $\mathrm{MN}=\mathrm{MA}$

Vì M là trung điểm BC(gt) $\Rightarrow \mathrm{MA}=\mathrm{MB}$ (tính chất trung điểm)

Xét $△\mathrm{MAB}$ và $△\mathrm{MNC}$ có:

MB = MC (cmt)

AM = MN (gt)

$\widehat{\mathrm{AMB}}=\widehat{\mathrm{MNC}}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow △\mathrm{MAB}=△\mathrm{MNC}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{NC}=\mathrm{AB}$ (1) (2 cạnh tương ứng)

Xét $△\mathrm{ACN}$ có: $\mathrm{AN}<\mathrm{AC}+\mathrm{CN}$ (2) (bất đẳng thức tam giác)

Từ (1) (2) $\Rightarrow \mathrm{AN}<\mathrm{AC}+\mathrm{AB}$

Mặt khác, $\mathrm{AN}=2\mathrm{AM}\left(\mathrm{gt}\right)\Rightarrow 2\mathrm{AM}<\mathrm{AB}+\mathrm{AC}$

Đáp án: D

Giải thích:

Vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại và hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại nên các đáp án A, B, C đều đúng, đáp án D sai.

Đáp án: D

Giải thích:

Xét $△\mathrm{AMB}$ có: $\mathrm{AM}<\mathrm{AB}-\mathrm{BM}$ (bất đẳng thức tam giác)       

Xét $△\mathrm{AMC}$ có: $\mathrm{AM}<\mathrm{AC}-\mathrm{CM}$ (bất đẳng thức tam giác)

Vì M nằm giữa B và C (gt) $\Rightarrow \mathrm{BC}=\mathrm{BM}+\mathrm{MC}$

Cộng theo từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:

$$\begin{gathered} 2\mathrm{AM}<\mathrm{AB}+\mathrm{AC}-\left(\mathrm{BM}+\mathrm{MC}\right) \\ \Rightarrow 2\mathrm{AM}<\mathrm{AB}+\mathrm{AC}-\mathrm{BC} \end{gathered}$$

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi độ dài cạnh AB là x (x > 0).

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$5-1<\mathrm{x}<5+1\iff 4<\mathrm{x}<6$

Vì x là số nguyên nên $\mathrm{x}=5$. Độ dài cạnh $\mathrm{AB}=5\mathrm{cm}$

Tam giác ABC có $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=5\mathrm{cm}$ nên tam giác ABC cân tại B

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi giao điểm của AO và BC là D. Do O nằm trong nên D nằm giữa B và C

$\Rightarrow \mathrm{BC}=\mathrm{BD}+\mathrm{DC}\left(*\right)$

Xét $△\mathrm{ABD}$ có: $\mathrm{AD}<\mathrm{AB}+\mathrm{BD}$ (bất đẳng thức tam giác)

$\Rightarrow \mathrm{OA}+\mathrm{OD}<\mathrm{AB}+\mathrm{BD}\left(1\right)$

Xét $△\mathrm{OCD}$ có: $\mathrm{OC}<\mathrm{OD}+\mathrm{DC}\left(2\right)$ (bất đẳng thức tam giác)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

$$\begin{gathered} \mathrm{OA}+\mathrm{OD}+\mathrm{OC}<\mathrm{AB}+\mathrm{BD}+\mathrm{OD}+\mathrm{DC} \\ \Rightarrow \mathrm{OA}+\mathrm{OC}<\mathrm{AB}+\mathrm{BD}+\mathrm{DC}\left(**\right) \end{gathered}$$

Từ (*) và (**) ta có $\mathrm{OA}+\mathrm{OC}<\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi độ dài cạnh còn lại là $\mathrm{x}\left(\mathrm{x}>0\right)$

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$7-2<\mathrm{x}<7+2\iff 5<\mathrm{x}<9$

Vì x là số nguyên nên $\mathrm{x}\in \left\{6; 7; 8\right\}$

Vì có ba giá trị của x thỏa mãn nên có ba tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài

Đáp án: C

Giải thích:

Trên tia đối của tia MA ta lấy điểm A' sao cho $\mathrm{MA}=\mathrm{MA}\text{'}$

Xét $△\mathrm{AMB}$ và $△\mathrm{A}\text{'}\mathrm{MC}$ có:

AM = A'M (cách vẽ)

MB = MC (vì M là trung điểm BC)

$\widehat{\mathrm{AMB}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{MC}}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow △\mathrm{AMB}=△\mathrm{A}\text{'}\mathrm{MC}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $△\mathrm{ACA}\text{'}$ có: $\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}-\mathrm{AC}<\mathrm{AA}\text{'}<\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}+\mathrm{AC}$ (bất đẳng thức tam giác)

Mà $\mathrm{AB}=\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}$ (cmt); $\mathrm{AA}\text{'}=2\mathrm{AM}$ (theo cách vẽ) nên ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{AB}-\mathrm{AC}<2\mathrm{AM}<\mathrm{AB}+\mathrm{AC} \\ \frac{\mathrm{AB}-\mathrm{AC}}{2}<\mathrm{AM}<\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}{2} \end{gathered}$$

Đáp án: D

Giải thích:

Vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại và hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại nên các đáp án B, C đều đúng.

Đáp án: C

Giải thích:

Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho $\mathrm{AK}=\mathrm{AB}$

Xét $△\mathrm{ABE}$ và $△\mathrm{AKE}$ có:

AE chung

AB = AK (cách dựng)

$\widehat{\mathrm{BAE}}=\widehat{\mathrm{KAE}}$ (vì AD là tia phân giác $\widehat{\mathrm{BAC}}$)

$\Rightarrow △\mathrm{ABE}=△\mathrm{AKE}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{EB}=\mathrm{EK}$ (hai cạnh tương ứng)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $△\mathrm{CEK}$ ta có: $\mathrm{EC}-\mathrm{EK}<\mathrm{KC}$ mà $\mathrm{EB}=\mathrm{EK}$(cmt) suy ra $\mathrm{EC}-\mathrm{EB}<\mathrm{KC}$ (1)

Mặt khác $\mathrm{KC}=\mathrm{AC}-\mathrm{AK}=\mathrm{AC}-\mathrm{AB}$ (vì $\mathrm{AB}=\mathrm{AK}$ theo cách dựng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\mathrm{EC}-\mathrm{EB}<\mathrm{AC}-\mathrm{AB}$ 

Đáp án: A

Giải thích:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $△\mathrm{MIN}$ ta có:

$\mathrm{MN}<\mathrm{MI}+\mathrm{IN}$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $△\mathrm{EIF}$ ta có:

 $\mathrm{EF}<\mathrm{IF}+\mathrm{IE}$ (2)

Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:

$$\begin{gathered} \mathrm{MN}+\mathrm{EF}<\left(\mathrm{MI}+\mathrm{IF}\right)+\left(\mathrm{NI}+\mathrm{IE}\right) \\ \mathrm{MN}+\mathrm{EF}<\mathrm{MF}+\mathrm{NE} \end{gathered}$$

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi độ dài cạnh còn lại là $\mathrm{x}\left(\mathrm{x}>0\right)$

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$9-3<\mathrm{x}<9+3\iff 6<\mathrm{x}<12$

Vì x là số nguyên nên $\mathrm{x}\in \left\{7; 8; 9; 10;11\right\}$

Vì có năm giá trị của x thỏa mãn nên có năm tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c.

Nửa chu vi tam giác là $\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{a}<\mathrm{b}+\mathrm{c}\Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{a}<\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ \Rightarrow 2\mathrm{a}<\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ \Rightarrow \mathrm{a}<\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2} \end{gathered}$$

Tương tự ta cũng có $\mathrm{b}<\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}$; $\mathrm{c}<\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}$

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi độ dài cạnh AC là x (x > 0).

 Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$10-7<\mathrm{x}<10+7\iff 3<\mathrm{x}<17$

Vì x là một số nguyên tố lớn hơn 11 nên x = 13.

Vậy độ dài cạnh $\mathrm{AC}=13\mathrm{cm}$

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi M là trung điểm của BC

Xét $△\mathrm{BCE}$ vuông tại E, M là trung điểm BC nên $\mathrm{ME}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$

Xét $△\mathrm{BCF}$ vuông tại F, M là trung điểm BC nên $\mathrm{MF}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$

Do đó:

$$\begin{gathered} \mathrm{ME}+\mathrm{MF}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}+\frac{1}{2}\mathrm{BC} \\ \Rightarrow \mathrm{ME}+\mathrm{MF}=\mathrm{BC}\left(1\right) \end{gathered}$$

Ba điểm M, E, F nằm trên cạnh của tam giác ABC nên không thể thẳng hàng do đó ba điểm M, E, F tạo thành một tam giác

Xét $△\mathrm{MEF}$ có: $\mathrm{ME}+\mathrm{MF}>\mathrm{EF}$ (bất đẳng thức tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\mathrm{BC}>\mathrm{EF}$

Đáp án: B

Giải thích:

Xét tam giác AED có $\mathrm{AE}+\mathrm{ED}>\mathrm{AD}$ (1) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác ECD có $\mathrm{CE}+\mathrm{DE}>\mathrm{CD}$ (2) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác EBC có: $\mathrm{ED}+\mathrm{EC}>\mathrm{BC}$ (3) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác ABE có $\mathrm{AE}+\mathrm{EB}>\mathrm{AB}$ (4) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Từ (1)(2)(3)(4) ta có:

Mà $\mathrm{AE}+\mathrm{EC}=\mathrm{AC}$; $\mathrm{DE}+\mathrm{BE}=\mathrm{BD}$ nên

$2\left(\mathrm{AC}+\mathrm{BC}\right)>\mathrm{AD}+\mathrm{CD}+\mathrm{BC}+\mathrm{AB}$

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi độ dài cạnh AC là x (x > 0). Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$4-1<\mathrm{x}<4+1\iff 3<\mathrm{x}<5$

Vì x là số nguyên nên x = 4.

Vậy độ dài cạnh $\mathrm{AC}=4\mathrm{cm}$

Đáp án: A

Giải thích:

Kéo dài BM cắt AC tại E

Xét tam giác BEC có $\mathrm{BE}<\mathrm{EC}+\mathrm{BC}$ và xét tam giác AME có $\mathrm{MA}<\mathrm{ME}+\mathrm{EA}$

(quan hệ giữa các cạnh trong tam giác)

Suy ra $\mathrm{MA}+\mathrm{MB}<\mathrm{ME}+\mathrm{MB}+\mathrm{EA}<\mathrm{BE}+\mathrm{EA}<\mathrm{EC}+\mathrm{BC}+\mathrm{EA}$ mà $\mathrm{EC}+\mathrm{EA}=\mathrm{AC}$

Vậy MA + MB < AC +BC

Đáp án: C

Giải thích:

+ Xét bộ ba: 3cm; 5cm; 7cm. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}3+5=8>7\\ 3+7=10>5\\ 5+7=12>3\end{array}\right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 3cm; 5cm; 7cm lập thành một tam giác. Loại A

+ Xét bộ ba: 4cm; 5cm; 6cm. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}4+5=9>6\\ 5+6=11>4\\ 4+6=10>5\end{array}\right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 4cm; 5cm; 6cm lập thành một tam giác. Loại B

+ Xét bộ ba: 2cm; 5cm; 7cm. Ta có: $2+5=7$ (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 2cm; 5cm; 7cm không lập thành một tam giác. Chọn  C

+ Xét bộ ba: 3cm; 5cm; 6cm. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}3+6=9>5\\ 3+5=8>6\\ 5+6=11>3\end{array}\right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 3cm; 5cm; 6cm lập thành một tam giác. Loại D

Đáp án: A

Giải thích:

$△\mathrm{ABC}$ cân tại A

Trường hợp 1:

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5\mathrm{cm}\Rightarrow \mathrm{BC}=17-5-5=7\mathrm{cm}$

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=5+5=10>\mathrm{BC}=7\mathrm{cm}\\ \mathrm{AB}+\mathrm{BC}=5+7=12>\mathrm{AC}=5\mathrm{cm}\\ \mathrm{BC}+\mathrm{AC}=7+5=12>\mathrm{AB}=5\mathrm{cm}\end{array}\right.$

(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Trường hợp 2:

$\mathrm{BC}=5\mathrm{cm}\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\left(17-5\right):2=6\mathrm{cm}$

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=6+6=12>\mathrm{BC}=5\mathrm{cm}\\ \mathrm{AB}+\mathrm{BC}=5+6=11>\mathrm{AC}=6\mathrm{cm}\\ \mathrm{BC}+\mathrm{AC}=6+5=11>\mathrm{AB}=6\mathrm{cm}\end{array}\right.$

(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Vậy nếu $△\mathrm{ABC}$ cân tại A có:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5\mathrm{cm}\Rightarrow \mathrm{BC}=7\mathrm{cm}\\ \mathrm{BC}=5\mathrm{cm}\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5\mathrm{cm}\end{array}\right.$

Vậy BC = 5cm hoặc BC = 7cm

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi độ dài cạnh AC là x (x > 0).

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$7-2<\mathrm{x}<7+2\iff 5<\mathrm{x}<9$

Vì x là số tự nhiên lẻ nên $\mathrm{x}=7$.

Độ dài cạnh $\mathrm{AC}=7\mathrm{cm}$

Chu vi tam giác ABC là:

$\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=2+7+7=16\mathrm{cm}$

Đáp án: D

Giải thích:

$△\mathrm{ABC}$ cân tại A

Trường hợp 1:

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=6\mathrm{cm}\Rightarrow \mathrm{BC}=20-6-6=8\mathrm{cm}$

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=6+6=12>\mathrm{BC}=8\mathrm{cm}\\ \mathrm{AB}+\mathrm{BC}=6+8=14>\mathrm{AC}=6\mathrm{cm}\\ \mathrm{BC}+\mathrm{AC}=8+6=14>\mathrm{AB}=6\mathrm{cm}\end{array}\right.$

(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Trường hợp 2:

$\mathrm{BC}=6\mathrm{cm}\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\left(20-6\right):2=7\mathrm{cm}$

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=7+7=14>\mathrm{BC}=6\mathrm{cm}\\ \mathrm{AB}+\mathrm{BC}=7+6=13>\mathrm{AC}=7\mathrm{cm}\\ \mathrm{BC}+\mathrm{AC}=6+7=13>\mathrm{AB}=7\mathrm{cm}\end{array}\right.$

(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Vậy nếu $△\mathrm{ABC}$ cân tại A có:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=6\mathrm{cm}\Rightarrow \mathrm{BC}=8\mathrm{cm}\\ \mathrm{BC}=6\mathrm{cm}\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=7\mathrm{cm}\end{array}\right.$

Vậy BC = 8cm hoặc BC = 6cm

Đáp án: D

Giải thích:

+ Xét bộ ba: 6cm; 6cm; 5cm. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}6+6=12>5\\ 6+5=11>6\end{array}\right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 6cm; 6cm; 5cm lập thành một tam giác. Loại A

+ Xét bộ ba: 7cm; 8cm; 10cm. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}7+8=15>10\\ 8+10=18>7\\ 10+7=17>8\end{array}\right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 7cm; 8cm; 10cm lập thành một tam giác. Loại B

+ Xét bộ ba: 12cm; 15cm; 9cm. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}12+15=27>9\\ 15+9=24>12\\ 9+12=21>15\end{array}\right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 12cm; 15cm; 9cm lập thành một tam giác. Loại C

+ Xét bộ ba: 11cm; 20cm; 9cm. Ta có: $11+9=20$ (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 11cm; 20cm; 9cm không lập thành một tam giác.

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi độ dài cạnh AC là x (x > 0).

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$9-1<\mathrm{x}<9+1\iff 8<\mathrm{x}<10$

Vì x là số nguyên nên $\mathrm{x}=9$.

Độ dài cạnh $\mathrm{AC}=9\mathrm{cm}$

Chu vi tam giác ABC là:

$\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=1+9+9=19\mathrm{cm}$