Chọn đáp án C

Số hoán vị của ba phần tử của A là 3! = 6.

Chọn đáp án B

Lời giải

Số học sinh giỏi ít nhất 1 môn là:

30 – 10 = 20

Số học sinh giỏi cả văn lẫn toán là:

18 + 14 – 20 = 12.

*Phương pháp giải:

Tính số học sinh giỏi chỉ 1 môn

Tính số học sinh giỏi cả 2 môn

*Lý thuyết

1. Phép cộng hai số tự nhiên

                    a + b = c

        (số hạng) + (số hạng) = (tổng)

Ví dụ: 3 + 2 = 5; 10 + 24 = 34

2. Tính chất của phép cộng các số tự nhiên

+ Phép cộng các số tự nhiên có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0.

+ Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a + b + c có thể được tính theo một trong hai cách sau: a + b + c = (a + b) + c hoặc a + b + c = a + (b + c).

Ví dụ: Tính: 65 + 97 + 35

Lời giải:

   65 + 97 + 35

= 65 + 35 + 97     (tính chất giao hoán)

= (65 + 35) + 97   (tính chất kết hợp)

= 100 + 97

= 197

II. Phép trừ

1. Phép trừ hai số tự nhiên

                a – b = c     (a $\ge$ b)

(số bị trừ) – (số trừ) = (hiệu)

Ví dụ: 12 – 7 = 5; 23 – 3 = 20

 2. Lưu ý

+ Nếu a – b = c thì a = b + c và b = a – c.

+ Nếu a + b = c thì a = c – b và b = c – a.

Xem thêm

Lý thuyết Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều 

Chọn đáp án A

Chọn 3 học sinh lớp 12 có $C_4^3.C_3^1.C_5^1=60$ cách chọn.

Chọn đáp án D

Số hoán vị của n phần tử là  

Chọn đáp án C

Số có 4 chữ số khác nhau tạo thành từ tập trên là $A_5^4$

Chọn đáp án A

Ta có $P_0=0$ nên A sai.

Chọn đáp án C

Giả sử số đó là 

Trường hợp 1: 

Trường hợp 2:   $\Rightarrow$

Do đó có 

Chọn đáp án B

Ta có 3 đội bất kì trong 18 đội đều có khả năng đạt huy chương, và thứ tự của 3 đội này sẽ cho biết loại huy chương mà mỗi đội nhận, đo đó số cách trao cần tìm: 

Chọn đáp án D

Số ước dương là: 

Chọn đáp án B

Để ý rằng 

Với mỗi ước dương của $2^5.3^4.5^4$ khi nhân với $2^{10}.3^6.5^8$ đều là ước dương của  thỏa mãn yêu cầu đề. Số ước dương cần tìm là: $\left(5+1\right)\left(4+1\right)\left(4+1\right)=150$

Chọn đáp án B

Số cách lấy hai viên bi cùng màu đỏ là $C_4^2$ cách.

Chọn đáp án B

Theo bài ra, ta thấy cách sắp xếp chính là việc nam nữ đứng xen kẽ nhau.

Như vậy sẽ có hai trường hợp, hoặc là bạn nam đứng đầu hàng hoặc là bạn nữ đứng đầu hàng.

Và 5 bạn nam thay đổi vị trí cho nhau tương ứng với 5! cách.

Tương tự với 5 bạn nữ thay đổi vị trí tương ứng với 5! cách.

Vậy số cách sắp xếp cần tìm $2.{\left(5!\right)}^2$

Chọn đáp án B

Chọn đáp án A

Chọn đáp án A

Số có 5 chữ số khác nhau dc tạo thành từ tập trên là 5! = 120.

Chọn đáp án C

Số cách xếp là 10!.

Chọn đáp án B

Giả sử số đó là 

Chọn $a_5$ có 2 cách, 

Chọn đáp án C

TH1. Trong 4 bạn được mời, có Hùng nhưng không có Tuấn.

$C_6^3$ cách.

TH3. Trong 4 bạn được mời, không có cả Hùng và Tuấn.

 $\underset{}{\overset{}{\to }}$Số cách chọn nhóm 4 người trong trường hợp này là ${\mathrm{C}}_6^4$$C_6^4$ cách.

Vậy số cách chọn cần tìm là 

Chọn đáp án D

Lời giải

Ta xét hai trường hợp:

TH1. Bạn nam đứng đầu hàng, khi đó số cách sắp xếp là 3.2.3! = 36 cách.

TH2. Bạn nữ đứng đầu hàng, tương tự TH1, suy ra có 36 cách sắp xếp.

Vậy có 72 cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

*Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc nhân và quy tắc cộng

*Lý thuyết:

1. Quy tắc cộng

– Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc B. Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án A. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo m + n cách.

Ví dụ: Lớp 10A có 20 học sinh, lớp 10C có 24 học sinh. Có bao nhiêu cách cử 1 học sinh lớp 10A hoặc lớp 10C đi tham dự đại hội Đoàn trường?

Hướng dẫn giải

Công việc cử 1 học sinh đi có 2 phương án thực hiện:

Phương án 1: Cử 1 học sinh của lớp 10A, ta có 20 cách.

Phương án 2: Cử 1 học sinh của lớp 10C, ta có 24 cách.

Ta thấy mỗi cách thực hiện của phương án B đều không trùng với cách của phương án A. Do đó theo quy tắc cộng, có 20 + 24 = 44 cách cử 1 học sinh lớp 10A hoặc lớp 10C đi tham dự đại hội Đoàn trường.

2. Quy tắc nhân

– Giả sử một công việc được chia thành hai công đoạn. Công đoạn thứ nhất có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn thứ hai. Khi đó công việc có thể thực hiện theo m. n cách.

Ví dụ: Từ nhà An đến trường đi qua 3 điểm A, B, C. Từ nhà An đến điểm A có 3 cách đi, từ điểm A đến điểm B có 4 cách đi, từ điểm B đến điểm C có 2 cách đi. Từ điểm C đến trường học có 2 cách đi. Hỏi có bao nhiêu cách từ nhà An đến trường?

Hướng dẫn giải

Từ nhà An đến trường đi qua 3 điểm A, B, C, như vậy có 4 công đoạn:

+ Công đoạn 1: Từ nhà An đến điểm A có 3 cách đi.

+ Công đoạn 2: Từ điểm A đến điểm B có 4 cách đi

+ Công đoạn 3: Từ điểm B đến điểm C có 2 cách đi.

+ Công đoạn 4: Từ điểm C đến trường học có 2 cách đi.

Do đó, theo quy tắc nhân, có 3. 4. 2. 2 = 48 cách đi từ nhà An đến trường.

Xem thêm

Lý thuyết Quy tắc cộng và quy tắc nhân – Toán 10 Chân trời sáng tạo 

Chọn đáp án A

Số cách chọn 3 người từ đơn vị A là $C_5^3$ cách.

Số cách chọn 3 người từ đơn vị B là $C_6^3$ cách thực hiện việc ghép cặp thi đấu.

Chọn đáp án C

Số cách chọn ban quản trị gồm 1 nam và 3 nữ là $C_5^1.C_4^3$ cách.

Số cách chọn ban quản trị gồm 2 nam và 2 nữ là $C_5^2.C_4^2$ cách.

Số cách chọn ban quản trị gồm 3 nam và 1 nữ là $C_5^3.C_4^1$ cách.

Số cách chọn ban quản trị gồm 4 nam là $C_5^4$ cách.

Vậy tổng số cách chọn cần tìm là 

Chọn đáp án A

Số cách chọn 5 cầu thủ trong 11 cầu thủ và sắp xếp có thứ tự là 

Chọn đáp án D

Số cách chọn ban quản trị gồm 1 nam và 3 nữ là $C_5^1.C_4^3$ cách.

Số cách chọn ban quản trị gồm 2 nam và 2 nữ là $C_5^2.C_4^2$ cách.

Vậy tổng số cách chọn cần tìm là

cách.

Chọn đáp án A

Lời giải

Số cách phân công 3 học sinh để làm vệ sinh lớp học là 

*Phương pháp giải:

Sử dụng  chỉnh hợp

*Lý thuyết:

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_n^k$, được tính bằng công thức:

$A_n^k$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$(1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy P_n = $A_n^n$

Ví dụ: Một nhóm có 8 học sinh, giáo viên muốn chọn ra hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn lần lượt 2 bạn trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó là một chỉnh hợp chập 2 của 8 học sinh.

Ta có : $A_8^2=\frac{8!}{(8-2)!}=56$

Vậy có 56 cách chọn ra 2 trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó.

Xem thêm

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức 

Chọn đáp án D

Cố định 3 tem thư xếp theo hàng ngang từ trái sang phải là các vị trí 1, 2, 3.

Rõ ràng nếu có 3 bì thư thì mỗi thứ tự xếp 3 bì thư này từ trái sáng phải cũng chính là cách dán.

Số cách làm cần tìm là: 

Chọn đáp án A

Chọn đáp án D

Đối với 3 vị trí của 3 loại sách thì sách hóa chỉ có thể đứng ở đầu hoặc cuối: 2 cách chọn.

Tương ứng mỗi vị trí của loại sách hóa thì số cách xếp các cuốn sách hóa là: 2!

Tương tự, số cách xếp toán và lý là: 2.4!.3!

Vậy tổng số cách xếp cần tìm: 2.4!.3!.(2!.2) = 4.4!.3!.2!.

Chọn đáp án B

Số số có 7 chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho: 7!

Xếp 4 chữ số lẻ trên 1 hàng ngang với vị trí bất kì: 4! Cách.

Ở đây giữa sẽ tạo thành 5 khoảng trống (bao gồm 3 khoảng trống giữa hai chữ số lẻ và 2 khoảng trống tại vị trí đầu và cuối). Ở mỗi khoảng trống, ta sẽ điền các chữ số chẵn 2, 4, 6 vào không kể thứ tự sao cho mỗi khoảng trống chỉ có 1 chữ số chẵn: $A_5^3$

Cách xếp này cũng chính là số số thỏa yêu cầu đề: $A_5^3.4!=2.6!$

Chọn đáp án C

Số cách xếp bất kì 3 môn vào 3 buổi thi bất kì là: 3!

Giả sử môn Toán luôn thi buổi đầu, thì số cách xếp 2 môn còn lại vào bất kì 2 buổi còn lại là: 2!

Vậy số cách xếp cần tìm: 3! – 2!.

Đáp án đúng là C

Lời giải

Ở đây yêu cầu 3 người về đích đầu tiên, nên giữa 3 người này không cần phải phân định thứ tự nhất nhì ba. Số kết quả xảy ra là: $C_{12}^3=220$

*Phương pháp giải:

Sử dụng tổ hợp để tính số kết quả xảy ra

*Lý thuyết:

a) Định nghĩa:

- Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

- Quy ước: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

b) Số các tổ hợp:

- Kí hiệu C_n^k là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n).

- Định lý:

c) Tính chất của các số C_n^k

- Tính chất 1:

    C_n^k = C_n^{n - k} (0 ≤ k ≤ n)

- Tính chất 2:

Xem thêm

Lý thuyết Tổ hợp - xác suất hay, chi tiết